浙江省2023-2024学年高一下学期3月四校联考数学试题 Word版含解析.docx

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2023学年第二学期高一年级四校联考数学试题考生须知:1.本卷满分150分,考试时间120分钟;2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号(填涂);3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效;第Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集和并集概念及运算即可求解.【详解】因为,,所以,.又因为,,,所以,,,.故故选:C.2.设,则“”是“”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件【答案】A【解析】【分析】先得到充分性成立,再举出反例得到必要性不成立,得到答案.【详解】若,则,即,故,充分性成立, 不妨设,此时,但不满足,故必要性不成立,所以“”是“”的充分非必要条件.故选:A3.已知向量,,,若,则()A.B.C.6D.【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示可求解.【详解】根据题意,,又,所以,即,解得.故选:A4.在四边形ABCD中,O为任意一点,若,则()A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是正方形D.四边形ABCD是平行四边形【答案】D【解析】【分析】根据向量的减法可得,进而分析求解即可.【详解】因为,则,即,可知两边平行且相等,所以四边形ABCD是平行四边形,但没有足够条件判断ABCD是否为矩形、菱形或正方形,故ABC错误,D正确.故选:D.5.在中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是()A.,,B.,,C.,,D.,,【答案】B 【解析】【分析】由余弦定理可判定选项A,利用正弦定理和大边对大角可判断选项B,C,D.【详解】对于A,已知三角形三边,且任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,从而可由余弦定理求内角,只有一解,A错误;对于B,根据正弦定理得,,又,,B有两解,故B符合题意;对于C,由正弦定理:得:,C只有一解,故C不符合题意.对于D,根据正弦定理得,,又,,D只有一解,故D不符合题意.故选:B6.已知六边形ABCDEF为正六边形,且,,以下不正确是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据正六边形的特征求出,,再由向量加法的三角形法则以及向量的减法即可求解.【详解】如图,设 因为六边形ABCDEF为正六边形,所以,且.又是等腰三角形,所以,从而可有,则,所以,同理有.所以,所以选项A不符合题意;,所以选项B不符合题意;,所以选项C符合题意;,所以选项D不符合题意.故选:C7.鼎湖峰,矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区,状如春笋拔地而起,其峰顶镶嵌着一汪小湖,传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖.白居易曾以诗赋之:“黄帝旌旗去不回,片云孤石独崔嵬.有时风激鼎湖浪,散作晴天雨点来”.某校开展数学建模活动,有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度,为此,他们设计了测量方案.如图,在山脚A测得山顶P得仰角为,沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达B点(A,B,P,Q在同一个平面内),在B处测得山顶P得仰角为,则鼎湖峰的山高PQ为()米A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】在中,利用正弦定理求,进而在中求山的高度.【详解】在中,则,因为,且,则,在中,则.故选:B.8.已知点是所在平面内的动点,且满足,射线与边交于点,若,,则的最小值为()A.B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知得,所以点在的平分线上,即为的角平分线,利用正弦定理得,,可知,结合三角函数的性质可求最小值. 【详解】表示与共线单位向量,表示与共线的单位向量,的分向与的平分线一致,,所以点在的平分线上,即为的角平分线,在中,,,利用正弦定理知:同理,在中,,其中分析可知当时,取得最小值,即故选:C二、多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.在下列各组向量中,可以作为基底的是()A.,B.,C.,D.,【答案】AD【解析】【分析】根据平面向量基底的意义,利用共线向量的坐标表示判断作答.【详解】由于,所以,不共线,可以作为基底,A正确; 由于,所以,共线,不可以作为基底,B错误;由于零向量与任意非零向量都共线,所以,共线,不可以作为基底,C错误;,所以,不共线,可以作为基底,D正确.故选:AD10.函数()的图象如图所示,则()A.的最小正周期为B.是奇函数C.的图象关于直线对称D.若()在上有且仅有两个零点,则【答案】ACD【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数,结合给定图象求出,再逐项判断即可.【详解】依题意,,由,得,解得,而,解得,,的最小正周期为,A正确;是偶函数,B错误;,令,则,的图象关于直线对称,C正确;,,当时,, 依题意,,解得,D正确.故选:ACD11.在中,,,O为内的一点,设,则下列说法正确的是()A.若O为的重心,则B.若O为的外心,则C.若O为的内心,则D.若O为的垂心,则【答案】ABD【解析】【分析】对A,由重心可知,根据,,整理可得,即可判断;对B,由等腰三角形的性质可得,由外心可知,结合余弦定理可得,进而判断;对C,由内心可知,结合,即可求解判断;对D,由垂线可知,则,整理可得,而,代入求解,即可判断.【详解】对于A选项,重心中线交点,则,即,因为,则,所以,,所以,故A正确; 对于B选项,外心为垂直平分线交点,即的外接圆圆心,因为,设为边的中点,所以,,所以,因为,所以,在中,,则,,所以,易知,所以,所以,故B正确;对于C选项,内心为角平分线交点,分别为方向上的单位向量,平分,),令()化简得则,即,所以, 由A选项,则,,则,所以,故C错误;对于D选项,垂心为高线交点,设,垂足为边上点,则,,共线,根据等腰三角形的性质,已知,,所以,因为,则,即,因为,所以,即,因为,所以,所以,所以,解得,所以,故D正确.故选:ACD【点睛】知识点点睛:的“四心”,可知:(1)重心为中线交点,则;(2)内心为角平分线交点,内切圆圆心,则;(3)外心为垂直平分线交点,外接圆圆心,则;(4)垂心为高线交点,则. 第Ⅱ卷三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知向量与的夹角为,,,则__________.【答案】【解析】【分析】根据求得结果.【详解】∵,∴.故答案为:.13.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知,,,,则的面积是__________.【答案】【解析】【分析】由已知利用三角函数恒等变形化简,得,可得,从而可得,又,正弦定理可求,再由三角形面积公式得解.【详解】由题意得,,即,,由得,,又,得,即,所以;由,,得,由,得,从而,, 故,所以的面积为.故答案为:14.已知函数在上有两个不同的零点,则满足条件的所有m的值组成的集合是_________.【答案】【解析】【分析】将原函数转化为同角三角函数,再利用对勾函数的性质数形结合,分类讨论处理即可.【详解】解:,令,则,则当时,显然无解;当时可化为.利用对勾函数的性质与图象可知(如下图所示):①当时,即,此时或,符合题意; ②当时,即或,此时或,符合题意;③当时,即,由可得,易知当时,只有一个解满足,不符合题意;④当时,即,方程有两根,不妨记为,其中,只有一个根,有两个根,故方程有3个解,也不符合题意.∴满足条件的所有m的值组成的集合是:.故答案为:四、解答题:本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中,已知点,,.(1)求向量在的投影向量的坐标;(2)求的面积.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)由投影向量的定义求解即可;(2)由数量积的定义和模长公式求出,再由同角三角函数的基本公式求出,最后由三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】因为,,所以在上的投影向量为:.【小问2详解】 ,,,,,,.16.已知函数.(1)若,求的取值范围;(2)当时,求函数的值域.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)设,将不等式转化为二次不等式,解不等式,结合对数函数的单调性及对数函数的定义域解不等式即可;(2)设,可得,该函数可转化为关于的二次函数,根据二次函数的性质求值域.小问1详解】设,,,所以,即,解得,所以,解得,即;【小问2详解】 由(1)得,当,,所以函数可转化为,,当时,取最小值为,当或时,取最大值为,即当时,取最小值为,当或时,取最大值,即函数的值域为.17.如图,在中,D是BC中点,E在边AB上,且,AD与CE交于点O.(1)用,表示;(2)过点O作直线交线段AB于点G,交线段AC于点H,且,,求t的值;(3)若,求的值.【答案】(1)(2)(3).【解析】【分析】(1)由E,O,C三点共线,得,又,从两个角度用,表示,从而得的值得解;(2)因为H,O,G三点共线,所以,转化为用,表示,可得的值; (3)用,表示,从而进行数量积运算.【小问1详解】因为A,O,D三点共线,所以,,且E,O,C三点共线,所以存在实数,使,其中D是BC中点,且,所以即解得,,所以.【小问2详解】因为H,O,G三点共线,所以存在实数,使,其中,,所以,根据平面向量基本定理可得:即,所以.【小问3详解】,整理可得:,所以.18.已知内角,,的对边分别是,,,. (1)求的大小;(2)若,将射线和射线分别绕点,顺时针旋转,,旋转后相交于点(如图所示),且,求.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)利用两角和(差)的余弦公式展开得到,再利用正弦定理将边化角,即可求出,从而得解;(2)在中,由正弦定理求出,再在中,由正弦定理求出,最后在中利用余弦定理计算可得.【小问1详解】,,,,,由正弦定理可得,又在中,,所以,又因为,所以.【小问2详解】依题意,,所以, 所以,又,所以,在中,由正弦定理得,在中,由正弦定理得,于是,在中,由余弦定理得.19.古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a,b,c计算三角形面积的公式:,这个公式常称为海伦公式.其中,.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a,b,c计算三角形面积的公式:,这个公式常称为“三斜求积”公式.(1)利用以上信息,证明三角形的面积公式;(2)在中,,,求面积的最大值.【答案】(1)证明见详解(2)【解析】【分析】(1)根据题意结合余弦定理分析证明;(2)利用三角恒等变换结合正弦定理分析可得,再运用题中公式结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为,即,可得 ,且,则,所以.【小问2详解】因为,由题意可得,即,整理得,由正弦定理可得,即,的面积,因为,当且仅当时,等号成立,则,所以面积的最大值为.

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