山东省德州市实验中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）.docx

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2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题第I卷（共60分）一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A和集合B，利用集合交集运算的定义即可得出结果.【详解】，故选：B2.已知aR，函数，若，则a的值为（）A.3B.1C.-4D.2【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式，求得，结合，列出方程，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，则，解得.故选：D.3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()A.B.C.D.【答案】B【解析】第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：，解得：，由，解得：，故函数的定义域是，故选：B．4.若关于的不等式的解集是，则应满足的条件是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分和两种情况讨论,可求得的取值范围.【详解】当时，不等式为，解集为，符合题意；当时，因为不等式的解集是，所以,解得.综上，的取值范围是.故选B.【点睛】本题考查了含参一元二次不等式的解法,要注意讨论二次项的系数是否为0,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.5.若函数满足：（1），（2），（3）则的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据条件得出函数是奇函数，在区间上单调递增，在区间上单调递增，再利用即可求出结果.【详解】因为对，都有，所以函数在区间上单调递增，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 又，所以函数为奇函数，且知函数在区间上单调递增，又，所以，当时，，当时，，又，所以解为，故选：C.6.设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得成立，则称函数为“呆呆函数”，下列为“呆呆函数”的是（）A.B.CD.【答案】A【解析】【分析】A选项，判断出为奇函数，满足要求；B选项，不存在，使得，B错误；CD选项，举出反例.【详解】A选项，因为定义域为R，且，故对任意的，存在，使得成立，A正确；B选项，，不存在，使得，故不满足要求，B错误；C选项，，当时，，但不存，使得，故不满足要求，C错误；D选项，，当时，，不存在，使得，不满足要求，D错误.故选：A7.“”是“函数是定义在上的增函数”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【分析】求得分段函数在上是增函数的充要条件，再从集合的包含关系即可判断和选择.【详解】函数是定义在上的增函数的充要条件是：，解得.又是的真子集，故“”是“函数是定义在上的增函数”的必要不充分条件.故选：.8.已知函数，若，，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】画出图象，根据图象确定，的取值范围，得出的取值范围．【详解】根据图象有两个交点，，，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 ，，时，，令，，故，所以；时，，令，，故，根据题意，所以所以，．故选：B【点睛】本题主要考查分段函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知全集，集合，则（）A.P的子集有8个B.C.D.U中的元素个数为5【答案】AD【解析】【分析】根据元素与集合的关系，子集的定义，集合的运算即可求解.【详解】因为,所以,所以,对于A,P的子集有个,所以A正确;对于B,,所以,所以B错误;对于C,,所以C错误;对于D,中的元素个数为5个，所以D正确；故选:AD.10.高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（）A.B.函数的值域为C.在上为增函数D.函数在区间有10个零点【答案】AB第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】根据“高斯函数”的性质，画出函数的图象，即可判断选项.【详解】如图画出函数的图象，根据“高斯函数”的定义，故A正确；由图象可知，函数的值域为，故B正确；由图象可知，函数在上不是单调增函数，故C错误；函数在区间有11个零点，故D错误.故选：AB11.已知正实数，满足，则下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用条件将化为，展开后结合基本不等式可判断A；直接利用基本不等式判断B；举反例判断C；将化为，l由基本不等式即可判断D.【详解】由题意正实数，满足，故，当且仅当，结合，即时取等号，A错误；由可得，即，当且仅当，结合，即时取等号，B正确；取满足，但，C错误；由于，，故，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 当且仅当，结合，即时取等号，D正确，故选：BD12.已知函数的定义域是，且，当时，，则下列说法正确的是（）A.B.函数在上是减函数C.D.不等式的解集为【答案】ABD【解析】【分析】利用赋值判断A；根据函数单调性的定义，结合条件和赋值，即可判断B；利用，即可判断C；利用条件中的性质，结合函数的单调性，即可求解不等式.【详解】A.令，得，所以，故A正确；B.令，得，所以，任取，且，则，因为，所以，所以，所以在上是减函数，故B正确；C.，故C错误；第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 D.因为，且，所以所以不等式等价于，即，又在上单调递减，所以，解得所以不等式的解集为，故D正确.故选：ABD第II卷（共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题，则：__________.【答案】【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式可得.【详解】由存在量词命题的否定形式可知，的否定为.故答案为：14.已知，则最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据条件变形，展开后，再利用基本不等式求最小值.【详解】由，可知，，得，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 即，，当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：15.函数在上单调递减，且是偶函数，若，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】记，根据的奇偶性和单调性，将不等式转化为求解即可.【详解】记，因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，又是偶函数，所以在上单调递增，因为，所以，解得或，所以的取值范围是.故答案为：16.已知函数，则__________；函数第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 ，函数有6个零点，则实数的取值范围是__________.【答案】①.②.或【解析】【分析】根据分段函数，代入数值，即可求值；首先根据函数的解析式，以及函数性质，画出函数的图象，并求得时，或，利用数形结合，根据零点个数，即可求解.【详解】，，令，则，得或，当时，，在上单调递减，在上单调递增，且，且当时，图象始终在的下方，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，且，作出函数的图象，与的图象有4个交点，即有4个实数根，所以只需有2个实数根据，即和的图象有2个交点，观察可知，当或时，符合题意，解得：或故答案为：；或四､解答题（本题共6小题，共70分）第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 17.已知集合，全集.（1）当时，求；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求得集合，再由交集定义计算；（2）由题意得出是的真子集，然后根据包含关系求解．【小问1详解】，则，则【小问2详解】是的充分不必要条件，则⫋当时，，解得；当时，且，等号不能同时成立，解得.综上所述：.18.已知.（1）求的解析式；（2）试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明.【答案】（1）；（2）在上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）用换元法求解析式；第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 （2）根据单调性的定义判断并证明．【小问1详解】令，则，得，则；【小问2详解】由（1）可得，则.任取满足，则因为，所以所以故在上单调递增.19.已知函数是定义在上的奇函数，当时，．（1）求函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质即可得解；（2）利用函数的奇偶性与单调性可去掉符号，再考虑到定义域即可得解．小问1详解】因为为奇函数，所以，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 当时，，则，由为奇函数，得，又满足，所以【小问2详解】当时，易知为单调递增函数，则由奇函数的性质可知是定义在上的增函数，又因为，所以，故有，即，解得，所以.20.实施乡村振兴战略，是党的十九大做出的重大决策部署．某地区因地制宜，致力于建设“特色生态樱桃基地”．经调研发现：某品种樱桃树的单株产量L（单位：千克）与施肥量x（单位：千克）满足函数关系：，且单株樱桃树的肥料成本投入为25x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为20x元．已知这种樱桃的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该樱桃树的单株利润为（单位：元）．（1）求的函数关系式；（2）当单株施肥量为多少千克时，该樱桃树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）当单株施肥量为4千克时，该樱桃树的单株利润最大，最大利润是720元．第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】（1）由题干条件得到，根据求出答案；（2）考虑时，配方求出的最大值660元，再考虑，变形后利用基本不等式求出的最大值720元，从而得到答案.【小问1详解】由题意得：，所以；【小问2详解】当时，，所以当时，取最大值为（元）.当时，，而，当且仅当，即时取等号，所以（元），因为，故当单株施肥量为4千克时，该樱桃树的单株利润最大，最大利润是720元．21.已知函数（1）当时，解不等式；（2）解关于的不等式；（3）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 （2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）利用十字相乘法求解可得；（2）根据相应方程两根的大小关系分类讨论即可；（3）将问题转化为的值域是的值域的子集求参数范围的问题，然后根据包含关系讨论可得.【小问1详解】当时，，所以，解得或，即不等式的解集为.【小问2详解】因为函数，所以不等式，等价于，即，当时，解得；当时，解得；当时，解得，综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【小问3详解】当时，，因为，所以函数的值域是，因为对任意的，总存在，使成立，所以的值域是的值域的子集，当时，在区间上单调递增，得，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 则，解得；当时，在区间上单调递减，得，则，解得，当时，，不满足题意.综上，实数的取值范围.22.已知定义在上的函数满足，且.（1）求；判断的奇偶性，并用定义证明.（2）证明：.【答案】（1），偶函数，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题设关系，令求，令，结合奇偶性定义判断奇偶性；（2）令易证，再说明，即可证结论.【小问1详解】令，得，因为，所以，令，得，即，根据奇偶性的定义知：为偶函数.【小问2详解】令，则，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 即，则.因为，所以，即.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司