安徽省宿州市泗县第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题 Word版含解析.docx

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泗县一中2023-2024学年高二第二学期开学考数学试题说明:本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若,则()A.B.-2024C.D.2024【答案】A【解析】【分析】根据求导公式计算即可.【详解】,则.故选:A.2.已知等差数列,则“单调递增”是“”的()条件A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的概念得到,进而推得结果.【详解】已知等差数列的公差为,即,当单调递增时,,令得到,;反之,,为单调递增.故“单调递增”是“”的充要条件.故选:A.3.曲线在点处的切线方程为A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用导数的几何意义进行求解即可.【详解】由,所以曲线在点处的切线的斜率为,而,因此切线方程为,故选:C4.已知数列满足.若数列的前项和为,则()A.4046B.4047C.8092D.8094【答案】B【解析】【分析】根据等差中项的性质得到数列为等差数列,然后利用等差中项的性质和前项和公式求即可.【详解】因为,所以数列为等差数列,则.故选:B.5.设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且,,则点M的轨迹方程为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设,根据,得到,结合,即可求解.【详解】设, 由,可得,则,解得,因为,可得,即.故选:A.6.若A,B,C,D,E,F六人站队照相,要求A、B相邻且C、D不相邻,则所有不同的站法有()A.36B.72C.108D.144【答案】D【解析】【分析】根据相邻元素的捆绑法与不相邻元素的插空法即可得不同的站法数.【详解】由于A、B相邻捆绑再一起有种方法,再与E,F一起安排有种方法,最后插空安排不相邻的C、D有种方法,根据分步乘法计数原理可得所有不同的站法有种.故选:D.7.已知,则的值为()A.-66B.-65C.-63D.-62【答案】C【解析】【分析】根据赋值法,先代入,得,代入,可得,进而可得.【详解】设,当时,可得,得,当时,可得,得,当时,可得,得 ,故,得,故,故选:C8.在等比数列中,,,函数,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出,按导数的运算法则求导,令代入相应值即可得解.【详解】,,,,.故选:B【点睛】本题考查等比数列的基本量求解、导数运算法则,属于基础题.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.如图是导函数的图象,则下列说法正确的是()A.为函数的单调递减区间B.为函数的单调递增区间C.函数在处取得极大值 D.函数在处取得极小值【答案】AC【解析】【分析】对于AB选项,利用函数的单调性和导数的正负关系进行判断;对于CD选项,利用函数的极值点的定义判断.【详解】由图象可知,时,,所以为函数的单调递减区间,故A正确;由图象可知,时,,所以为函数的单调递减区间,故B错误;由图象可知,,且当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,故函数在处取得极大值,故C正确;由图象可知,,故不是函数的极值点,故D错误,故选:AC.10.已知数列的前项和为,下列说法正确的()A.若,则是等差数列B.若,则是等比数列C.若是等差数列,则D.若是等比数列,且,,则【答案】ABC【解析】【分析】利用并结合等差等比数列的定义即可判断选项A,B;根据等差求和公式和等差数列性质即可判断选项C;举反例时,即可判断选项D. 【详解】对于选项A:由,得Sn﹣1=(n﹣1)2+2(n-1)=n2-1,两式相减得an=Sn﹣Sn﹣1=,又当n=1时,a1=S1=12+2=3,满足上式,所以an=,故是等差数列,选项A正确;对于选项B:由,得,两式相减得,又,满足上式,所以,故,即是以1为首项,以2为公比的等比数列,选项B正确;对于选项C:由是等差数列,得,选项C正确;对于选项D:若等比数列的公比,则,选项D错误.故选:ABC.11.已知正方体的棱长为2,过棱的中点作正方体的截面,下列说法正确的是()A.该正方体外接球的表面积是B.若截面是正六边形,则直线与截面垂直C.若截面是正六边形,则直线与截面所成角的正弦值的3倍为2D.若截面过点,则截面周长【答案】BD【解析】【分析】由正方体对角线是外接球直径求出球表面积判断A,正六边形截面与相应棱交点是棱中点,建立空间直角坐标系,由空间向量法证其垂直求线面角可判断BC,由正方体性质作出截面求出周长后判断D.【详解】对于A,外接球的半径为,故外接球的表面积为,故A错误; 对于B,建立如图1所示的空间直角坐标系,设的中点为G,则,,,,,∴,,,∴,,则,,即,,又,,正六边形截面,∴正六边形截面,故B正确;对于C,如图1,易得,为正六边形截面的一个法向量,设直线与截面所成的角为,则,故C错误;对于D,如图2,延长,与的延长线交于点K,与的延长线交于点L,连接交于点M,连接交于点N,则截面为平面.因此有,M为的三等分点,N为的三等分点,于是.∵,,,故截面的周长为,故D正确.故选:BD. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若,则__________.【答案】1或2023【解析】分析】由组合知识进行求解.【详解】由于,故或,其他值不合要求.故答案为:1或202313.若的展开式中的系数为9,则实数__________.【答案】1【解析】【分析】根据二项式定理得出展开式的通项公式,即可得出的展开式中为或时,则的系数为,即可解出答案.【详解】展开式的通项公式为:,则,,所以展开式中的系数为,解得.故答案为:114.已知,,直线与曲线相切,则最小值为___________.【答案】8【解析】【分析】设直线与曲线相切于点,根据导数的几何意义先求出,进而得到关系,再由均值不等式可得出答案.【详解】设直线与曲线相切于点由函数的导函数为,则解得所以,即 则当且仅当,即时取得等号.故答案为:8四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图,抛物线的顶点在原点,圆的圆心恰是抛物线的焦点.(1)求抛物线的方程;(2)一条直线的斜率等于2,且过抛物线焦点,它依次截抛物线和圆于、、、四点,求的值.【答案】(1)圆的圆心坐标为,即抛物线的焦点为,……………………3分∴∴抛物线方程为……………………6分1.由题意知直线AD的方程为…………………7分即代入得=0设,则,……………………11分∴【解析】【分析】(1)设抛物线方程为,由题意求出其焦点坐标,进而可求出结果;(2)先由题意得出直线的方程,联立直线与抛物线方程,求出,再由为圆的直径,即可求出结果. 【详解】(1)设抛物线方程为,圆的圆心恰是抛物线的焦点,∴.抛物线的方程为:;(2)依题意直线的方程为设,,则,得,,..【点睛】本题主要考查抛物线的方程,以及直线与抛物线的位置关系;由抛物线的焦点坐标可直接求出抛物线的方程;联立直线与抛物线方程,结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长,进而可求出结果,属于常考题型.16.在等差数列中,已知且.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由等差数列基本量的计算即可求解;(2)由裂项相消求和法即可求解.【小问1详解】解:由题意,设等差数列的公差为,则,,解得,,;【小问2详解】解:, .17.如图,在四棱锥中,四边形为梯形,,,,为正三角形,,,O为中点.(1)求证;平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)取的中点E,证明,由,有,又,可得平面;(2)以O为坐标原点建立空间直角坐标系,利用平面法向量解决二面角的余弦值.小问1详解】取的中点E,连接,,如图所示,则,.∵,,∴且,∴四边形为平行四边形,∴. ∵,∴,∴,∵,∴,又,平面,∴平面.【小问2详解】连接,∵为正三角形,∴,∵平面,∴,,两两垂直,以O为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,,,∴,,,由可得,∴,,.设平面的法向量为,则,令,则,得.设平面的法向量为,则,令,则,得, 则,由图可知,二面角为锐二面角,∴二面角的余弦值为18.已知函数(其中为自然对数的底数).(1)求函数的单调区间;(2)若为两个不相等的实数,且满足,求证:.【答案】(1)增区间为,减区间为(2)证明见解析【解析】【分析】(1)求导,然后根据导函数的正负来判断得单调性;(2)将变形为得到,然后构造函数,根据得单调性和得到,最后根据和得单调性即可证明.【小问1详解】,令,解得,令,解得,所以的增区间为,减区间为.【小问2详解】证明:将两边同时除以得,即,所以,由(1)知在上单调递增,在上单调递减,又,,当时,,设,则, 令,则,由得,所以,,所以,在上单调递增,又,所以,当时,,即,即,又,所以,又,,在上单调递减,所以,即.【点睛】方法点睛:处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下:①求导确定的单调性,得到的范围;②构造函数,求导可得恒正或恒负;③得到与的大小关系后,将置换为;④根据与的范围,结合的单调性,可得与的大小关系,由此证得结论.19.基本不等式:对于2个正数,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即,当且仅当时,等号成立.可以推广到一般的情形:对于个正数,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,.当且仅当时,等号成立.若无穷正项数列同时满足下列两个性质:①;②为单调数列,则称数列具有性质.(1)若;求数列的最小项;(2)若数列的前项和为,判断数列是否具有性质,并说明理由; (3)若,求证:数列具有性质.【答案】(1)4(2)数列具有性质,证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】(1)利用基本不等式的推广求数列得最小项即可;(2)利用放缩的思路得到,然后利用等比求和公式得到,即可得到数列满足性质①,然后根据得到数列的单调性即可即可得到数列满足性质②;(3)利用二项式定理得到,然后通过放缩得到时,即可得到,满足性质①;利用基本不等式的推广得到,,满足性质②,即可证明数列具有性质.【小问1详解】,当且仅当,即时等号成立,所以数列得最小项为4.【小问2详解】数列具有性质,理由如下:因为,所以,所以数列满足性质①,因为,所以,数列单调递增,满足性质②,所以数列具有性质.【小问3详解】 先证数列满足性质①,当时,,则,而,所以数列满足性质①再证数列满足性质②:,(,等号取不到),所以数列为单调递增数列,满足性质②,综上,数列具有性质.【点睛】关键点睛:本题考查等比数列求和即二项式定理,证明性质①需要放缩为可求和数列.

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