黑龙江省双鸭山市第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试 数学 Word版含解析.docx

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双鸭山市第一中学2023-2024学年度高一（下）学期开学考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.A.B.C.D.2.已知集合，，则（）A.B.C.D.3.“”是“关于x函数（）的图像过一、三象限”的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若函数且在上是增函数，那么大致图象是（）A.B.C.D.5.若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（）A4B.C.D.86.若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则的解集为（） A.B.C.D.7.设，，则，，的大小关系是A.B.C.D.8.已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（）A.B.C.D.10.下列结论正确是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，，则11.已知是定义在R上的函数，且满足，当时，，则下列命题正确的是（）A.是周期为2的函数B.当时，C.是偶函数D.12.已知直线是函数图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（）A.在上的两个零点B.的图象关于点对称 C.在上单调递增D.将的图象向右平移个单位长度，可得的图象三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知幂函数的图像过点，则___________.14.已知函数（且）的图象恒过定点，则________.15.定义：，若，则函数的最大值与最小值之和是______16.已知是上的增函数，则a的取值范围为_________四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）（2）18.已知是二次函数，且满足，（1）求的解析式.（2）当，求的值域.19.已知定义域为的函数是奇函数．（1）求值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．20.已知函数.（1）化简； （2）若，且，求的值.21.已知函数，．（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，求在区间上的值域．22.已知点，是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为π.（1）求的解析式；（2）若方程在上有实数解，求实数a的取值范围. 双鸭山市第一中学2023-2024学年度高一（下）学期数学开学考试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由诱导公式和两角和公式得即为所求.【详解】.故选C.【点睛】本题主要考查了诱导公式，两角和正弦公式，属于基础题.2已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据交集定义可得.【详解】由交集定义可知，.故选：C3.“”是“关于x的函数（）的图像过一、三象限”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】本题先根据所过象限判断充分性满足，再根据单调性判断必要性满足，最后给出答案【详解】解：充分性：因为，所以关于x的函数（ ）的图像过一、二、三象限或关于x的函数（）的图像过一、三、四象限，所以关于x的函数（）的图像过一、三象限，故充分性满足；必要性：因为关于x的函数（）的图像过一、三象限，所以函数单调递增，所以，故必要性满足；所以“”是“关于x的函数（）的图像过一、三象限”的充要条件.故选：C【点睛】本题考查充要条件的判断，是基础题.4.若函数且在上是增函数，那么的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用指数复合函数的单调性确定a的范围，再由对数函数的性质判断所过的点及其单调性.【详解】由函数在上递增，当时在上递增且在上递减，故；由得：过原点，且时，在定义域上递增.故选：A5.若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（） A.4B.C.D.8【答案】A【解析】【分析】由已知得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可得出实数的最大值.【详解】已知正数、满足，可得，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，.因此，实数的最大值为.故选：A.6.若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造特殊函数，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论【详解】构造特殊函数f（x）＝﹣x2+1，当x＞0时，0，得﹣x2+1＜0，即x＞1，当x＜0时，得﹣x2+1＞0，﹣1＜x＜0，故解集为：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D．【点睛】 本题主要考查不等式的解法，构造特殊函数，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．7.设，，则，，的大小关系是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意，根据对数函数的性质，可得，，又由指数函数的性质，可得，即可得到答案.【详解】由题意，根据对数函数的性质，可得，，又由指数函数的性质，可得，所以.故选A.【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中合理利用对数函数与指数函数的图象与性质，得出的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依题意，函数的图象与直线有4个交点，作出函数图象，通过图象分析找到临界情况，即可得解．【详解】函数，函数有4个零点，即有四个不同交点. 画出函数图像如下图所示：由图可知，当时，设对应二次函数顶点为，则，，当时，设对应二次函数的顶点为，则，.所以.当直线与时的函数图像相切时与函数图像有三个交点，此时，化简可得.，解得(舍)；当直线与时的函数图像相切时与函数图像有五个交点，此时，化简可得.，解得(舍)；故当有四个不同交点时.故选：B.【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断可得；【详解】解：对于A：为偶函数，但是在上不具有单调性，故A错误；对于B：为偶函数，且在单调递增，故B正确；对于C：为奇函数，故C错误；对于D：，定义域为，，所以为偶函数，当时，单调递增，故D正确；故选：BD10.下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，，则【答案】BC【解析】【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.【详解】A.取特殊值，，，显然不满足结论；B.由可知，，由不等式性质可得，结论正确；C.由同向不等式的性质知，，可推出，结论正确；D.取，满足条件，显然不成立，结论错误.故选：BC.11.已知是定义在R上的函数，且满足，当时，，则下列命题正确的是（）A.是周期为2的函数B.当时，C.是偶函数D.【答案】ABD 【解析】【分析】A选项：根据得到，然后两式相减得到，即可得到的周期；B选项：根据和时的解析式求时的解析式即可；C选项：利用特殊值的思路和奇偶性的定义判断即可；D选项：利用周期求函数值即可.【详解】A选项：由得，两式相减可得，即可得到，所以得周期为2，故A正确；B选项：令，则，，所以，故B正确；C选项：，，，所以不是偶函数，故C错；D选项：，故D正确.故选：ABD12.已知直线是函数图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（）A.在上的两个零点B.的图象关于点对称C.在上单调递增D.将的图象向右平移个单位长度，可得的图象【答案】BD【解析】【分析】根据为对称轴，可求得值，进而可得的解析式，逐一检验选项，即可判断A、B、 C的正误；由三角函数的平移变换即可判断D的正误，即可得答案.【详解】依题意可得，，即，因为，所以，故.令，所以，令；；，故在上的一个零点，故A不正确；因为，故选项B正确；由，，得，，所以在，上单调递减，因为，所以在上单调递减，故选项C不正确；将的图象向右平移个单位长度，可得的图象，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知幂函数的图像过点，则___________.【答案】【解析】【分析】先设幂函数解析式，再将代入即可求出的解析式，进而求得.【详解】设，幂函数的图像过点，，，，故答案为：14.已知函数（且）的图象恒过定点，则________.【答案】3 【解析】【分析】根据指数函数图像过定点的知识，求得的值，进而求得的值.【详解】根据指数函数过定点的知识可知，解得，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查指数型函数过定点问题，属于基础题.15.定义：，若，则函数的最大值与最小值之和是______【答案】【解析】【分析】根据正余弦函数的关系，数形结合分析求最值即可.【详解】由题，.画出的图像，易得的最大值为1，最小值为.故最大最小值之和为.故答案为： 【点睛】本题主要考查了数形结合求解三角函数的最值问题，需要根据三角函数平移的以及对称的性质求解.属于中档题.16.已知是上的增函数，则a的取值范围为_________【答案】【解析】【分析】根据在上单调递增，列出不等式组，求解即可.【详解】解：在上单调递增，即，解得：，即，故答案为：.【点睛】易错点点睛：在解决分段函数的单调性问题时，要注意上下段端点值的问题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）（2）【答案】(1)7；(2)【解析】【分析】（1）利用对数的运算法则、换底公式进行求值，即可得答案；（2）利用指数幂的运算法则求值，即可得答案.【详解】（1） （2）【点睛】本题考查对数运算法则、指数运算法求多项式的值，考查基本运算求解能力，求解过程中要注意符号的正负.18.已知是二次函数，且满足，（1）求的解析式.（2）当，求的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设，通过，可求函数的解析式；（2）利用二次函数的性质求解函数的最值即可．【详解】（1）设，因为，所以c=2又，∴即，∴，∴，∴. (2)∵在区间单调递减，在区间单调递增，又因为，所以当时，的最小值是又因为，当时，，，所以的值域是.19.已知定义域为的函数是奇函数．（1）求值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，结合奇函数的定义进行求解即可；（2）根据函数单调性的性质，结合奇函数的性质进行求解即可.【小问1详解】因为定义域为的函数是奇函数，所以有，即，因为，所以该函数是奇函数，故；【小问2详解】，由函数的单调性的性质可知：该函数是实数集上的减函数，而该函数是奇函数，于是有：，可得：，因此有， 即实数的取值范围为.20.已知函数.（1）化简；（2）若，且，求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）根据诱导公式化简即可．（2）由题意得，又由题意得到，根据与的关系求解．【详解】（1）由题意得.（2）由（1）知．∵，∴，∴.又，∴，∴.∴.【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．21.已知函数，． （1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，求在区间上的值域．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）将函数化为的形式，求单调递增区间即可；（2）利用函数图象变换的规则，求得函数的解析式，进而求出在区间上的值域.【小问1详解】由已知，得：，即，，由正弦函数的单调性，令，解之；所以的单调递增区间为；【小问2详解】由（1）知，函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，只需将函数中的换为，得到：， 由，得，当时，取得最小值；当时，取得最大值；所以的值域为．22.已知点，是函数图象上任意两点，，且当时，的最小值为π.（1）求的解析式；（2）若方程在上有实数解，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先代入，求，再由条件求得函数的最小正周期，即可求，求得函数的解析式；（2）首先整理方程为，再通过换元，设，并求得的取值范围，参变分离，转化为在区间上有解，利用基本不等式求实数的取值范围.【小问1详解】由，得，又因为当时，的最小值为π，所以，即，所以.【小问2详解】 方程在上有实数解，即在上有实数解，令，所以，由，所以，所以，则，同时，所以，所以在上有实数解，等价于在上有解，即在上有解，①时，方程无解；②时，有解，即在有解令，，则，，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的值域为，所以，在有解等价于.综上：实数a的取值范围为.