宁夏银川市育才中学2023-2024学年高三上学期1月期末考试 数学（理） Word版含解析.docx

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宁夏育才中学2023-2024学年高三第一学期月考五数学（理科）试卷第I卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，共60分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知曲线在点处的切线方程为，则A.B.C.D.4.据中国地震台测定，2023年12月18日深夜在甘肃省临夏积石山发生了6.2级地震.里氏震级可以测出最大振幅，其计算公式为.其中是被测地震的最大振幅，是0级地震的振幅.请问8级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的几倍（）A.10B.100C.1000D.100005.下列说法不正确的是（）①命题“，”的否定是“,”；②“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件；③命题，，命题,，则为真命题；④“函数在上是减函数”，为真命题.A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④6.函数的图象大致为（） A.B.C.D.7.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A.8种B.14种C.20种D.16种8.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm，盆口直径40cm，盆底直径20cm．现往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（）A.B.C.D.9.已知各项均为正数的等比数列，，，成等差数列，若中存在两项，，使得为其等比中项，则的最小值为（）A4B.9C.D. 10.已知双曲线：（，）的右焦点为，、两点在双曲线的左、右两支上，且，，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.11.如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱的中点，则下列说法错误的是（ ）A.直线共面B.C.直线与平面所成角正切值为D.过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为912.已知定义在上的函数满足，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知一个半径为4的扇形圆心角为，面积为，若，则_____．14.设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若，则展开式中的系数为_______． 15.抛物线上的动点到点的距离之和的最小值为________．16.已知是球的球面上的三点，，且三棱锥的体积为，则球的体积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答．问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知______．（1）求B；（2）若的外接圆半径为2，且，求ac．注：若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分．18.已知数列满足，且点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值.19.如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．（1）求证：平面平面PAD；（2）若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20.已知椭圆的离心率为 ，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若，求k的值；（3）若点Q坐标为，求证：为定值.21.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）若不等式恒成立，求整数a的最小值．22.在直角坐标系中，曲线，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）射线的极坐标方程为，若分别与交于异于极点的两点，求的最大值.23.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若是的最小值，且正数满足，证明：． 宁夏育才中学2023-2024学年第一学期高三数学（理科）月考五试卷第I卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，共60分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别求一元二次方程的解和偶次根式型函数的定义域，求交集即得.【详解】由可解得：或，即，由函数有意义可得：，解得：，即，于是.故选：D.2.在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由已知得出，然后根据复数的除法运算化简得出，根据复数的几何意义，即可得出答案.【详解】由已知可得，，，则，所以，复数对应的点为，该点位于第一象限. 故选：A.3.已知曲线在点处的切线方程为，则A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【详解】详解：，将代入得，故选D．【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．4.据中国地震台测定，2023年12月18日深夜在甘肃省临夏积石山发生了6.2级地震.里氏震级可以测出最大振幅，其计算公式为.其中是被测地震的最大振幅，是0级地震的振幅.请问8级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的几倍（）A.10B.100C.1000D.10000【答案】B【解析】【分析】根据题意，得到，分别令和，求得最大振幅，即可求解.【详解】由函数，可得，所以，可得，当时，地震的最大振幅为；当时，地震的最大振幅为，所以，两次地震的最大振幅之比为.故选：B.5.下列说法不正确的是（）①命题“，”的否定是“,”； ②“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件；③命题，，命题,，则为真命题；④“函数在上是减函数”，为真命题.A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】C【解析】【分析】对于①：根据全称命题的否定是特称命题分析判断；对于②：根据奇函数的定义结合充要条件分析判断；对于③：根据特称命题结合逻辑联结词分析判断；对于④：根据单调性的定义举例分析判断.【详解】对于①：命题“，”的否定是“,”，故①不正确；对于②：若，则的定义域为，且，所以函数为奇函数，即充分性成立；若函数为奇函数，且的定义域为，可得，整理得恒成立，解得，即必要性不成立；所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件，故②正确；对于③：因为恒成立，即命题,为假命题，所以为假命题，故③不正确；对于④：当时，当时，但，可得，所以函数在上不是减函数，故④不正确；故选：C.6.函数图象大致为（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性和赋值即可判断选项.【详解】由，可知是奇函数，且定义域为，排除BD；当时，，排除A.故选：C7.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A.8种B.14种C.20种D.16种【答案】B【解析】【分析】分甲、乙都不在天和核心舱和甲、乙恰好有一人在天和核心舱两种情况求解可得.【详解】第一类，甲、乙都不在天和核心舱共有种；第二类，甲、乙恰好有一人在天和核心舱，先排天和核心舱有种，然后排问天实验舱与梦天实验舱有种，所以，甲、乙恰好有一人天和核心舱共有种.综上，甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验共有种. 故选：B8.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm，盆口直径40cm，盆底直径20cm．现往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据轴截面和相似关系，以及圆台体积即可求解.【详解】如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长与于点.根据题意，，，，，设，所以，解得，，所以，故选：B.9.已知各项均为正数的等比数列，，，成等差数列，若中存在两项，，使得为其等比中项，则的最小值为（） A.4B.9C.D.【答案】D【解析】【分析】根据，，成等差数列，可得，即可求得q值，根据为，的等比中项，可求得，利用基本不等式“1”的活用，即可求得答案.【详解】因，，成等差数列，所以，又为各项均为正数的等比数列，设首项为，公比为q，所以，所以，解得或（舍），又为，的等比中项，所以，所以，所以，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D【点睛】解题的关键是熟练掌握等差中项、等比中项、基本不等式等知识，并灵活应用，数列中应用基本不等式时，应注意取等条件，即角标m，n必须为正整数，属中档题.10.已知双曲线：（，）的右焦点为，、两点在双曲线的左、右两支上，且，，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，连接，则由题意可得四边形为矩形，设，则，，分别在和中，运用勾股定理，结合离心率公式可求得结果.【详解】设双曲线的左焦点为，连接，因为，所以，因为，所以，因为，所以四边形为矩形，设（），则，，在中，，所以，化简得，解得，在中，，所以，所以，所以，得，所以离心率，故选：B11.如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱的中点，则下列说法错误的是（ ） A.直线共面B.C.直线与平面所成角的正切值为D.过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9【答案】D【解析】【分析】对于A项，一般考虑寻找两平行线较易说明共面问题；对于B项，三棱锥的体积问题，大都是通过等体积转化，使其易于求解即可；对于C项，充分利用正方体条件，找到直线与平面所成的角，在三角形中求解即得；对于D项，关键是寻找到经过三点的正方体的截面，然后求其面积即可.【详解】对于A项，如图①，分别连接,,在正方体中，易得矩形,故有，又E，G分别是棱的中点，则,故,即可确定一个平面，故A项正确；对于B项，如图②，,故B项正确；对于C项，如图③，连接,因平面，故直线与平面所成角即, 在中，,故C项正确；对于D项，如图④，连接,易得,因平面平面，则为过点B，E，F的平面与平面的一条截线，即过点B，E，F的平面即平面.由可得四边形为等腰梯形，故其面积为：，即D项错误.故选：D.12.已知定义在上的函数满足，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意设，结合题意可得，即函数是定义在上的奇函数，又当，时，，则，可得在，上单调递增，在，上单调递增，利用单调性，即可得出答案．【详解】令，则，即，故函数是定义在上的奇函数， 当,时，，则，故在,上单调递增，在,上单调递增，所以在上单调递增，又，则，则不等式，即，故，解得．故选：C．第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知一个半径为4的扇形圆心角为，面积为，若，则_____．【答案】##0.5【解析】【分析】由扇形面积公式先求，再根据两角和差的正切公式求得结果.【详解】已知扇形半径为，圆心角为，∵扇形面积，∴，∴，解得：.故答案为：.14.设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若，则展开式中的系数为_______．【答案】150【解析】【分析】利用赋值法及二项式系数和公式求出、列出方程求得，利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为3得进而得系数．【详解】中，令得展开式的各项系数之和，根据二项式系数和公式得二项式系数之和， ∵，∴解得，∴的展开式的通项为，令得，故展开式中的系数为，故答案为150.【点睛】本题主要考查赋值法是求二项展开式系数和的方法，利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题.15.抛物线上的动点到点的距离之和的最小值为________．【答案】【解析】【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线的焦点为，准线为，设是抛物线上任意一点，则题目所求为的最小值，过作，垂足为，根据抛物线的定义可知，所以题意所求为的最小值，根据图象可知，当三点共线时，的值最小，故最小值为.故答案为：16.已知是球的球面上的三点，，且三棱锥的体积为，则球的体积为______． 【答案】【解析】【分析】判断的形状并求出其外接圆的半径，利用锥体的体积公式求出球心到截面的距离，进而求出球半径即可求解．【详解】在中，，由余弦定理得，即，整理得，而，解得，显然，即，则外接圆的半径，令球心到平面的距离为，而的面积为，由棱锥的体积为，得，解得，球的半径，则有，，所以球的体积.故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答．问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知______．（1）求B；（2）若的外接圆半径为2，且，求ac．注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）选①利用余弦定理即可求出；选②根据正弦定理进行边换角即可得到答案；（2）首先求出，再利用正弦定理整体求出即可.【小问1详解】选择条件①：因为，在中，由余弦定理可得，即，则，因为，所以.选择条件②：因为，在中，由正弦定理可得，即，则，因为，所以，则，因为，所以.【小问2详解】因为，所以，则，即，又，所以.因为的外接圆半径，所以由正弦定理可得，所以.18.已知数列满足，且点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值. 【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由题设易得为等差数列，即可求其通项公式；（2）对数列的通项分析可通过裂项相消法求前项和，将恒成立问题转化为求的最大值或上界问题即得.【小问1详解】点在直线上，得，所以数列是以首项为，公差为2的等差数列．故，即．【小问2详解】，所以即，因，故，故要使对恒成立，需使，即，又，所以的最小值为5.19.如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点． （1）求证：平面平面PAD；（2）若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；或【解析】【分析】（1）根据底面菱形的特点得到，再由线面垂直得到，平面，进而得到面面垂直；（2）建立空间坐标系得到线面角的表达式，求解即可.【小问1详解】证明：连接，因为底面为菱形，，所以是正三角形，是的中点，，又，平面，平面，又平面，又平面，所以平面平面．【小问2详解】由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以为坐标原点，直线AE，AD，AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，所以，，．设平面的法向量，则即令，得平面的一个法向量．设与平面所成的角为，则，解得或，即存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或．20.已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若，求k的值； （3）若点Q的坐标为，求证：为定值.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出，则椭圆方程可得；（2）联立方程组，根据根与系数的关系以及向量相等的坐标关系即可求出；（3）根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出．【小问1详解】，，代入得.又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即，即，以上各式联立解得，则椭圆方程为.【小问2详解】直线与轴交点为，与轴交点为，联立，消去得:，，设，则，，，由得，解得:，由得. 【小问3详解】证明：由（2）知，，.为定值.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线中的定值问题常见的方法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）若不等式恒成立，求整数a的最小值．【答案】（1），无极大值；（2）2.【解析】【分析】（1）将代入，求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系判断函数的单调性，进而求出极值.（2）不等式等价于在上恒成立，设，利用导数求出的最大值即可求解. 【详解】解：（1）当时，，令得（或舍去），∵当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，无极大值．（2），即，即，∴，即，∴原问题等价于在上恒成立，设，则只需．由，令，∵，∴在上单调递增，∵，∴存在唯一的，使得，∵当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，∴，∴即可． ∴，∴，故整数a的最小值为222.在直角坐标系中，曲线，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）射线的极坐标方程为，若分别与交于异于极点的两点，求的最大值.【答案】（1）极坐标方程是，的极坐标方程是.（2）【解析】【分析】（1）利用将的直角坐标方程化为极坐标方程；先把的参数方程化为普通方程,再化为极坐标方程；（2）分别联立曲线与的极坐标方程与,即可求得,,再利用二次函数的性质求得的最大值,进而求解.【详解】解:（1）因为,所以可化为,整理得,（为参数）,则（为参数）,化为普通方程为,则极坐标方程为,即.所以的极坐标方程是,的极坐标方程是.（2）由（1）知,联立可得, 联立可得,所以,当时,最大值为,所以的最大值为.【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查利用极坐标方程求弦长.23.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若是的最小值，且正数满足，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，将函数化为分段函数的形式，分类讨论计算，即可得到结果；（2）根据题意，结合基本不等式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】∴或或，解得或或，∴不等式的解集为；【小问2详解】证明：由，可得的最小值为，则，， ∴，当且仅当时，等号成立，∴．