江苏省南菁高级中学、常州市第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考 数学 Word版含解析.docx

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常州一中2023-2024高二第二学期阶段质量调研数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的，1.已知直线与直线垂直，则（）A.-1B.1C.2D.42.已知，则（）A.0B.-3C.2D.33.抛物线的焦点坐标为（）A.B.C.D.4.设正项等比数列的前项和为，若，则公比为（）A.2或-3B.3C.2D.-35.若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为A.B.C.D.6.已知等差数列和的前项和分别为，若，则（）A.B.C.D.7.已知椭圆和点，直线与椭圆交于两点，若四边形为平行四边形，则直线的方程为（）A.B.C.D.8.定义在上的函数的导函数是，对任意，有，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件D.充要条件二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若椭圆的离心率为，则C.当时，过点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值为D.若直线与椭圆的另一个交点为，则10.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（）A.B.当时，C.当时，不是数列中的项D.若是数列中的项，则的值可能为711.若函数，其导函数为，则下列说法正确的是（）A.函数没有极值点B.是奇函数C.点是函数的对称中心D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为__________.13.数列满足：，，；令，则数列 的前项和为__________.14.过点可以作函数两条互相垂直的切线，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.（13分）已知数列的前n项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）已知，求数列的前n项和为.16.（15分）（1）已知函数，在区间上存在减区间，求的取值范国；（2）已知函数.讨论函数的单调性；17.（15分）已知正项数列满足.（1）证明：数列是等比数列；（2）若，数列的前项和为.证明：.18.（17分）已知函数.（1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值；（2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.19.（17分）如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上.过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点.（1）求椭圆的标准方程； （2）求证：；（3）若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值. 参考答案单选题1-8BDDBCACA7.【详解】由于，所以在椭圆上，设的中点为，则，则直线过点，且是的中点，设，则：，两式相减并化简得，所以，即直线的斜率为，所以直线也即直线的方程为.故选：C9.【答案】ABD【详解】对于项，若，因，可得，则，故项正确；对于B项，由可解得：，故B项正确；对于C项，时，椭圆，因过点的直线被椭圆所截的弦长的最小值为通径长，即，故项错误；对于项，如图，因为，设点，由可得，解得：，代入椭圆中，可得，即，解得：，D项正确.10.【答案】ABD【详解】对于A，由题意得，A正确；对于B，新数列的首项为2，公差为2，故，B正确；对于C，由B选项知，令，则，即是数列的第8项，C错误；对于D，插入个数，则，则等差数列中的项在新的等差数列中对应的下标是以1为首项，为公差的等差数列，于是，而是数列的项，令，当时，，D正确.故选：ABD11.【答案】ACD 12.根据椭圆定义可知，由勾股定理可得，所以可得，因此可得三角形的面积为.故答案为：413.【详解】数列满足：，即为，所以是等差数列，设公差为，由，，可得，解得，则，，数列的前项和为，，上面两式相减可得，化简可得.14.或者15.答案：（1）当时，①-，解得，当时，②，式子①-②得，故，因为，所以，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；（2），.16.【答案】（1），若函数在区间上存在减区间，等价于，使得成立，可得）使得成立，构建，可知开口向上，对称轴，故，解得 ，则的取值范围为.（2）定义域为，令得或①当即时，令得或，令得；故在单调递减，在上单调递增；②当即时，恒成立，故在R上单调递增；③当即时，令得或，令得，在上单调递减，在上单调递增；综上，当时，在单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增：当时，在上单调递减，在上单调递增17.（1）证明：因为，可得，即，且，可得，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.（2）证明：由（1）可知，则，可得，则，因为，则，所以.18.【详解】（1）由题意得函数的定义域为，由函数在点处的切线方程为，得，解得此时，.令，得或.当和时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，（此处列表）则当时，函数取得极小值，为，当时，函数取得极大值，为.（2）由得.不等式可变形为，即因为，且，所以函数在上单调递减.令则在上恒成立，即在上恒成立设，则.因为当时，，所以函数在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为.19.（1）由题意知，两椭圆有相同的离心率，则有，，又点在椭圆上，有，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）要证，即证，设，当直线斜率不存在时，由椭圆对称性可知成立， 当直线斜率存在时，设斜率为，则方程为，由得，，由得，，得，，，，则有.所以与等底等高，有.（2）由（2）可知，同理有，由，可得，则有，设直线的斜率为，直线方程为，设，由得，，，，所以，即，化简得，即，由题意，所以，所以.