四川省宜宾市叙州区第一中学2024届高三下学期开学考试数学（文）试题 Word版含解析.docx

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叙州区一中高2021级高三下期开学考试文科数学试卷本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先求解集合，然后再求.【详解】因为，解得：，所以，，所以．故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题型.2.若复数的共轩复数满足：，则复数（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用复数乘、除运算以及共轭复数的概念即可求解.【详解】，所以.故选：D3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,在这几场比赛中,甲、乙两人的最高分分别为(　　) A.51分，83分B.41分，47分C.51分，47分D.41分，83分【答案】B【解析】【分析】由茎叶图得到甲、乙两人的最高得分.【详解】由茎叶图可知，甲得分为：13，15，23，26，28，34，37，39，41；乙得分为：24，25，32，33，36，37，38，45，47故甲、乙两人的最高得分分别为：41，47故选:B4.设函数，若，则的值为A.2B.1C.D.【答案】D【解析】【详解】由题所以解得，故选D5.若实数满足，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组所给示的可行域，再利用直线的几何意义即可得解.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示， 将化为，作直线，平移直线，当且经过点时，有最小值，联立，解得，即，所以.故选：D.6.已知数列是等比数列，是其前项和，若，，则A.4B.8C.12D.16【答案】D【解析】【分析】由S6＝9S3得公比一定不是1，设公比为q，利用S6＝9S3建立公比q的方程求解出公比，再利用求得，进而可得结果.【详解】由，得公比一定不是1，设公比为q，则，解得，因为，所以，即，解得，所以.故选D【点睛】本题考查了等比数列的前n项和公式及等比数列的通项公式，考查了运算能力，属于基础题．7.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由题意，得到平移后的函数解析式为，根据奇偶性，得到，进而可得出结果.【详解】将的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数为，由题意得，∴，当时，的值分别为，，，所以的取值不可能是.故选：B.【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性求参数的问题，涉及三角函数的平移以及二倍角公式，属于常考题型.8.设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为假命题的是（）A.若，则或B.若，则C.若，且，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据选项条件作出几何图形或几何模型，运用线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的性质和判定定理，即可推得结论或者说明结论不存在 【详解】对于A项，因，设,在平面过点作直线，过点作直线，则，由可得，，故垂直于由直线和直线组成的平面，由过一点有且只有一个平面与已知直线垂直的性质可知，故有或，故A项正确；对于B项，如图，，设，由，则，同理，设构成平面，则，设,则，故得,故，B项正确；对于C项，如图，因，，则；又，则，故得：，故C项正确； 对于D项，如图，取平面为平面，平面为平面，取为，为，因平面，平面,则，又,平面，故平面，因平面，故,即，但与不垂直，故D项错误.故选：D.9.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，则的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由函数为的偶函数，得出该函数在上为减函数，结合性质得出，比较、、的大小关系，结合函数的单调性可得出、、的大小关系．【详解】由函数为的偶函数，且在上是增函数，则该函数在上为减函数，且有，则，，，，且，，由于函数在上为减函数，所以，，因此，，故选：B．10.在四面体中，，，．则四面体 的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】取的中点，分别延长、至、，使得，．再分别过、作平面、平面的垂线，交于点，易知为该四面体的外接球球心求解．【详解】如图：取的中点，分别延长、至、，使得，．分别过、作平面、平面的垂线，交于点，因为，，所以，则，所以是外接圆的圆心，同理为的外接圆的圆心，所以为该四面体的外接球球心．在中，由余弦定理得，所以，，所以，所以外接球半径， 所以该四面体的外接球的表面积为．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题关键是找到和的外接圆的圆心，进而利用截面圆的性质得到外接球的球心而得解.11.已知函数在区间内没有零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意若要函数在区间内没有零点，由，又因为，所以或，化简即可得解.【详解】由，且，所以，由题意可得或，解得或，因为，所以或者，故选：D12.已知两点A，M在双曲的右支上，点A与点B关于原点对称，交y轴于点N，若，且，则双曲线C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】设为AB的中点，设，，，，利用点差的方法表示出，结合题意继而表示出，推出，根据即可求得a，b的关系，从而可求双曲线离心率.【详解】如图，不妨设A在第一象限，取BM的中点，连接OQ，因为为AB的中点，故，，，，，B，M在双曲线上，则，两式相减可得，，即，而，，故，即，又因为，则，即，所以，即，所以，又，则,即，故， 所以，而，故,故，则双曲线的离心率为，根据双曲线的对称性可知，当A在第四象限时，同理可求得，当A在双曲线的顶点时，由于，此时AM与双曲线相切，不合题意，故双曲线的离心率为，故选：D.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，，则实数的值为___________.【答案】3【解析】【分析】表示出，其与数量积为0，可算得出【详解】，，，则故故答案为：314.人们把最能引起美感的比例称为黄金分割．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值称为黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为的等腰三角形，由此我们可得____________．【答案】【解析】【分析】构造顶角为的等腰三角形，作顶角的角平分线，其顶角的一半即为，利用诱导公式将的正弦用正弦表示，即，从而解直角三角形即可得．【详解】如图，在中，，点为中点，底与腰之比为黄金分割比， 所以，所以，所以．故答案为：．15.已知直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，点在上，且，则异面直线与所成角为__________【答案】【解析】【分析】由条件将直三棱柱补成长方体，如图，设点为的中点，连接.证明（或其补角）为异面直线与所成角，再求出即得解.【详解】由条件将直三棱柱补成长方体，如图.由条件，设点为的中点，连接.则，所以（或其补角）为异面直线与所成角.中，，所以为等边三角形，所以.所以异面直线与所成角为.故答案为： 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.已知内角分别为，且满足，则的最小值为______.【答案】16【解析】【分析】由三角形内角和性质、诱导公式、和差角正弦公式可得，进而有，结合，将目标式化为，应用基本不等式求最小值即可.【详解】由题设，所以，所以，即，又，，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换将条件化为，再应用万能公式用正切表示正弦为关键.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知等差数列的公差不为0，且，；数列的前n项和为，且．（1）求数列，通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求出公差，即可求出，根据，作差即可得到是以3为首项，3为公比的等比数列，从而得到的通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，由，得，化简得，因为，故；故；由数列的前项和为①；当时，得；当时，有②；①－②有，即（），所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以， 综上：，；【小问2详解】解：∵；∴③；③得④；③－④得：，整理化简得：．18.晨跑是指在早晨以跑步为主的进行身体锻炼的一种运动方式，某机构随机抽取了某社区100名运动爱好者进行问卷调查，其中男､女生的人数比为，得到如下的列联表.喜欢晨跑不喜欢晨跑合计男生10女生合计现从这100名运动爱好者中随机抽取20人，其中喜欢晨跑的女生有6人.（1）完成表中数据并判断是否有的把握认为喜欢晨跑与性别有关？（2）若从这100名运动爱好者中任意选取了7人，其中女生4人.再从这7人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中男生与女生都有的概率.参考公式及数据：，其中.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828 【答案】（1）列联表见解析，没有；（2）.【解析】【小问1详解】因为从这100名运动爱好者中随机抽取20人，其中喜欢晨跑的女生有6人，所以抽到喜欢晨跑的女生的频率为，所以这100名中喜欢晨跑的女生共有，又男､女生的人数比为，所以男生有40人，女生有60人，又由表格中可知不喜欢晨跑的男生有10人，所以喜欢晨跑的男生有30人，不喜欢晨跑的女生有30人.列联表如下所示：喜欢晨跑不喜欢晨跑合计男生301040女生303060合计6040100所以，所以没有的把握认为喜欢晨跑与性别有关.【小问2详解】由题意得，7人中，女生4人，分别记为，男生3人，分别记为，现从中抽取2人，所有组合有：，，，共21种，其中男生与女生均有的情况有：，，共有12种， 所以在7人中选取的2人中男生与女生都有的概率.19.如图，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，，．（1）求证：平面平面；（2）若，，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）先证平面，再证面面垂直；（2）根据条件，求四棱锥的底面积和高，进而求其体积.【小问1详解】平面，平面，所以．，，平面且，所以平面，又平面，所以：平面平面．【小问2详解】设和相交于点，连接．如图：由（1）知，平面，所以是直线与平面所成的角，，所以． 四边形为等腰梯形，，∴，均为等腰直角三角形，梯形的高为，梯形的面积为．在等腰三角形中，，∴，∴，，四棱锥的体积为．20.已知函数其中.（1）若且函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出导函数，题意转化为在上恒成立，可分离参数后求函数的最大值即可得；（2）不等式化简为恒成立，引入新函数，利用导数求得最小值，由最小值大于或等于0得的不等关系，求得后再引入新函数，转化为求新函数的最值．【详解】解：（1）由题设知在上恒成立，即在上恒成立，由函数在上单调递增，上单调递减，则函数在处取得最大值，的取值范围为.（2）由，即，得恒成立记，则因为，所以当时，；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，即所以记，则因为，所以当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减所以所以的最大值为.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，求最值，研究不等式恒成立，解题关键是掌握转化与化归思想．不等式恒成立转化为求函数的最值，已知单调性转化为不等式恒成立等等．考查学生分析问题解决问题的能力，运算求解能力，逻辑推理能力。21.如图，已知椭圆E：（）的右焦点为，离心率，过F作一直线交椭圆E于A，B两点（其中A在x轴的上方），过点A作直线：的垂线，垂足为C.（1）求椭圆E方程；（2）问：在x轴上是否存在一个定点T，使得B，T，C三点共线？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在；定点.【解析】【分析】（1）由右焦点为，离心率，及，求得，得到椭圆的标准方程；（2）先假设存在点，使得B，T，C三点共线，当斜率不存在时，求出与轴的交点 ，再证当斜率存在时，B，T，C三点共线，可设而不解，将：与联立，再证.【详解】解：（1）由题意可知，，解得，，所以，所以椭圆E的方程为.（2）假设存在点，使得B，T，C三点共线.当斜率不存在时，连结交x轴于点T，因为，，所以，所以，又因为，所以，即.下面再证明当斜率存在时，B，T，C三点共线.证明：设，，则，，将：与，得，从而要证B，T，C三点共线，即证.，得证.所以在x轴上是否存在一个定点，使得B，T，C三点共线. 【点睛】本题考查了由关系求椭圆的标准方程，考查了是否存在定点问题，考查了设而不解，联立方程组，根与系数的关系等基本技巧，考查了学生的运算能力，推理能力.（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系，射线与曲线C交于点A．（1）求曲线C的普通方程与点A的极坐标；（2）如下图所示，点B在曲线C上(B在A的上方)，,,且,求△AOB的面积．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先将曲线的参数方程消参，转化为直角坐标方程，再转化为极坐标方程，将代入极坐标方程，求得点对应的极坐标.（2）将代入曲线的极坐标方程，求得的值，再根据三角形面积公式，求得三角形的面积.【详解】（1）将曲线的参数方程消参，得到，将代入上式，得，这就是曲线的极坐标方程.将代入上式，解得，故.（2） 由于锐角的正切值，故.将将代入曲线的极坐标方程得，故三角形面积为.【点睛】本小题主要考查参数方程和直角坐标相互转化的方法，考查直角坐标转化为极坐标的方法，还考查了利用极坐标方程求解三角形的面积的问题.属于中档题.消参的主要方法有：加减消元法、代入消元法以及利用来消参，消参时要注意参数的取值范围导致直角坐标的范围有限制.[选修4-5：不等式选讲]23.设实数a，b，满足．（1）若，求a的取值范围（2）若，求的最小值．【答案】（1）；（2）3．【解析】【分析】（1）由题意可得，从而不等式化为，利用零点分界法解不等式即可.（2）利用基本不等式可得，，两式相加即可求解.【详解】解：因为，所以则由，得当时，由，得，则，当时，由，得，则， 当时，由，得，则无解，综上，a的取值范围为，（2）因为，所以即，当且仅当时，等号成立又当且仅当即时等号成立所以.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.