重庆市乌江新高考协作体2024届高三下学期开学数学试题 Word版含解析.docx

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2023-2024学年高三(下)期初(开学)学业质量联合调研抽测数学试题(分数:150分,时间:120分钟)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.2022年2月27日,长征八号遥二运载火箭搭载22颗卫星成功发射,创造中国航天“一箭多星”的最高纪录,打破了长征六号火箭创造的“一箭20星”纪录.据测算:在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度(单位:)和燃料的质量M(单位:kg)、火箭的质量(除燃料外)m(单位:kg)的关系是.为使火箭的最大速度达到9000m/s,则燃料质量与火箭质量之比约为(参考数据)()A.18B.19C.20D.21【答案】B【解析】【分析】根据指数、对数运算公式计算即可求得结果.【详解】令,得到,即,所以,即,故选:B.2.在平面直角坐标系中,锐角顶点在坐标原点,始边为x轴正半轴,终边与单位圆交于点,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据单位圆以及角度范围,可得,然后根据三角函数定义,可得,最后根据两角和正弦公式,二倍角公式,简单计算,可得结果. 【详解】由题可知:,又为锐角所以,根据三角函数的定义:所以由所以故选:A【点睛】本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式,还考查二倍角的正弦、余弦公式,难点在于公式的计算,识记公式,简单计算,属基础题.3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,令Tm=|am+am+1+…am+4|(m∈N*),则Tm的最小值为(  )A.9B.8C.5D.3【答案】C【解析】【分析】先求出等差数列的通项公式,再根据等差数列的性质,即可分析到的最小值.【详解】解:由等差数列的前n项和,当时,当时,所以当,也成立,所以. 根据等差数列的性质可得,当且仅当时取等号.故选:C.4.已知为虚数单位,则()AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算即可求解.【详解】因为,故选:.5.下列函数中,在定义域内既是奇函数又单调递增的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据选取特殊值可排除AB,利用偶函数的定义可以排除C,根据奇函数和复合函数的单调性质判断D.【详解】对于A选项,因为的定义域为,但,,故,所以函数不是奇函数,不符合条件,A错误;对于B选项,函数的定义域为,,,,函数在不是增函数,不符合条件,B错误; 对于C选项,函数的定义域为,,函数为偶函数,不符合条件,C错误;D选项,因为函数的定义域为,,所以函数为奇函数,将函数式变为,因为函数在单调递增,且,所以函数在单调递增,且,所以函数在单调递减,且,所以随着增大,函数的函数值也增大,即是单调递增函数,符合条件.故选:D.6.已知函数,,,,则,,的大小关系为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】可判断函数上单调递增,且,所以.【详解】在上单调递增,且,所以.故选:B【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定,指数函数与对数函数的性质,利用单调性比大小等知识,考查了学生的运算求解能力.7.已知点是双曲线右支上一点,、分别是双曲线的左、右焦点,为 的内心,若成立,则双曲线的渐近线方程为  A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设圆与的三边、、分别相切于点,连接,,,可看作三个高均为圆半径的三角形利用三角形面积公式,代入已知式,化简可得,再结合双曲线的定义与渐近线方程可得所求.【详解】如图,设圆与的三边、、分别相切于点,连接,则,,,它们分别是,,的高,,,,其中是的内切圆的半径., ,两边约去得:,,根据双曲线定义,得,,,,,可得双曲线的渐近线方程为,即为,故选A.【点睛】本题主要考查双曲线的定义以及双曲线的渐近线,着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质,属于中档题.解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.8.已知函数,若,,,,则a,b,c的大小关系为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用奇函数得到,再判断,利用二次求导判断在上单调递增,从而可判断.【详解】因为,所以在上是奇函数.所以对求导得, 令,则当时,,所以在上单调递增,则时,,即,所以在上单调递增.因为,所以,因为在上单调递增,所以.令,则所以当时,单调递减;当时,单调递增.所以,而,即,所以,即.所以,即,则所以所以,即.故选:A【点睛】关键点睛:构造函数,判断.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得2分.9.已知函数=,下列结论不正确的是(    )A.定义域为B.定义域为 C.定义域为D.定义域为【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的定义,求得的取值范围.【详解】若函数有意义,需满足,即,则,即的定义域为;故选:ABD10.对于实数a,b,c,下列命题是真命题的为(  )A.若a>b,则B.若a>b,则ac2≥bc2C.若a>0>b,则a2<﹣abD.若c>a>b>0,则【答案】BD【解析】【分析】通过特例法可证错误;由不等式的性质可证正确.【详解】A.根据a>b,取a=1,b=﹣1,则不成立,故A错误;B.∵a>b,∴由不等式的基本性质知ac2≥bc2成立,故B正确;C.由a>0>b,取a=1,b=﹣1,则a2<﹣ab不成立,故C错误;D.∵c>a>b>0,∴(a﹣b)c>0,∴ac﹣ab>bc﹣ab,即a(c﹣b)>b(c﹣a),∵c﹣a>0,c﹣b>0,∴,故D正确.故选:BD.【点睛】本题考查由不等式的性质判断不等式是否正确,命题真假的判断,属于基础题11.若存在实常数和,使得函数和对其定义域上的任意实数都满足和恒成立,则称直线为和的“隔离直线”,已知函数,,,下列命题正确的是()A.与有“隔离直线” B.和之间存在“隔离直线”,且的取值范围为C.和之间存在“隔离直线”,且的取值范围是D.和之间存在唯一的“隔离直线”【答案】ABD【解析】【分析】对于A,取直线,讨论与的符号判断A;对于B,C,令隔离直线为,利用二次不等式恒成立计算判断B,C;对于D,函数与有公共点,求出在点处的切线,再证明此切线与图象关系作答.【详解】对于A,取直线,当时,,即成立,当时,令,,则在递减,在上递增,,,即成立,直线是与的“隔离直线”,A正确;对于B,C,令和的“隔离直线”为,则,,则,有,,有,当时,不等式成立,当时,的对称轴,而时,,则,即,显然满足此不等式,有,而,解得,同理,,B正确,C不正确;对于D,因,即和的图象有公共点,若和有隔离直线,则该直线必过点,设过点的直线方程为,即,由,, 即恒成立,则,解得,即这条直线为,令,求导得:,当时,,当时,,即在上递减,在上递增,,即,,和之间存在唯一的“隔离直线”,D正确.故选:ABD【点睛】思路点睛:涉及函数不等式恒成立问题,可以探讨函数的最值,借助函数最值转化解决问题.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知向量,,则___________.【答案】2【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标运算求解.【详解】由题意可得:.故答案为:2.13.函数的图象如图,则的值为______.【答案】【解析】【分析】根据图象可确定最小正周期,由此可得,由此可求得结果. 【详解】由图象可知:最小正周期,,.故答案为:.14.如图,在棱长为的正方体中,,在线段上,,分别在线段,上,且,,,动点在平面内,若,与平面的所成角相等,则线段长的最小值是______.【答案】【解析】【分析】第一步:利用线面角的定义确定直线,与平面的所成角;第二步:根据第一步中两角相等推出;第三步:在平面中以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系,利用条件得出点的轨迹为一个圆,然后利用几何意义求出线段的最小值.【详解】因为,且,故,又因为,且,所以平面, 因为,同理可得平面,所以,与平面所成角分别为,,则.又因为,,且,所以,又因为,所以.在平面中,以线段所在直线为轴,其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,则,,,设,由可得,,化简整理得,所以点在圆心为,半径为的圆上,此时线段长的最小值是.故答案为:.【点睛】思路点睛:立体几何压轴题可以从以下方面入手:(1)涉及线面角、面面角的一般根据定义找角,然后利用所给角的特征,推出条件,再利用解析几何的知识求解.(2)涉及球的外接问题的,一般要求找球心和截面几何图形的圆心,利用球心与圆心的连线垂直截面,进而根据勾股定理列等式,再利用解析几何的知识求解.(3)涉及几何体的体积问题的,一般是用割补法求解. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆过点和点,圆心在直线上.(1)求圆的方程,并写出圆心坐标和半径的值;(2)若直线经过点,且被圆截得的弦长为4,求直线的方程.【答案】(1)圆:,圆心,(2)或【解析】【分析】(1)设圆的方程为,由圆心所在直线和圆过点和点可得方程组,求解即可;(2)由被圆所截弦长可得圆心到直线l的距离d,后由点到直线距离公式可得答案,但要注意直线斜率不存在的情况.【小问1详解】设圆的方程为,则,解得,所以圆的方程为:,圆心为,半径为;【小问2详解】由(1)知,圆心到直线的距离为,于是当直线的斜率不存在时,直线方程为,符合题意;当直线斜率存在时,不妨设直线方程为,即,令,解得,直线方程是,综上所述,直线的方程是:或. 16.遗传学在培育作物新品种中有着重要的应用.已知某种农作物植株有,,三种基因型,根据遗传学定律可知,个体自交产生的子代全部为个体,个体自交产生的子代全部为个体,个体自交产生的子代中,,,,个体均有,且其数量比为.假设每个植株自交产生的子代数量相等,且所有个体均能正常存活.(1)现取个数比为的,,植株个体进行自交,从其子代所有植株中任选一株,已知该植株的基因型为,求该植株是由个体自交得到的概率;(2)已知基因型为AA的植株具备某种优良性状且能保持该优良性状的稳定遗传,是理想的作物新品种.农科院研究人员为了获得更多的植株用于农业生产,将通过诱变育种获得的Aa植株进行第一次自交,根据植株表现型的差异将其子代中的个体人工淘汰掉后,再将剩余子代植株全部进行第二次自交,再将第二次自交后代中的个体人工淘汰掉后,再将剩余子代植株全部进行第三次自交……此类推,不断地重复此操作,从第次自交产生的子代中任选一植株,该植株的基因型恰为AA的概率记为(且)①证明:数列为等比数列;②求,并根据的值解释该育种方案的可行性.【答案】(1)(2)①证明见解析;②证明见解析【解析】【分析】(1)分析遗传特性,求概率即可.(2)①找到易求的,再利用递推关系求解即可.②发现当实验次数够多时,概率趋近于1即可.【小问1详解】由题意得若对植株进行自交,产生,,的概率比为,故在个数比为的,,植株个体进行自交时, 其亲代,,的概率比为,而亲代进行自交,产生,,的概率比为,故概率为,【小问2详解】①记第代的概率为,子一代进行自交时,子二代进行自交时,故可递推出,易得,而令,而,则有,故数列为等比数列得证.②由上问知,且当时,,故该方案可行.17.如图,在长方体中,,,M为的中点.(1)证明:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2).【解析】 【分析】(1)由题意以D为原点建立空间直角坐标系,再设,根据证明即可;(2)求解平面的法向量,再根据直线与平面的夹角公式求解即可.【小问1详解】证明:以D为原点,以DA,DC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图空间直角坐标系,设,则,,,,,.因为,所以,即.【小问2详解】时,,由(1)知,,.设平面的法向量为,则,得,令,则,,所以为平面的一个法向量.设直线与平面所成的角为,则,所以直线与平面所成角的正弦值为.18.中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具,成为世界上最早发明计时工具的国家之一.铜器时代,使用青铜制的“漏壶”,东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象” ,元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”,一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数,从午夜零时算起,假设分针走了会与时针重合,一天内分针和时针重合次.(1)建立关于的函数关系;(2)求一天内分针和时针重合的次数.【答案】(1).(2)22次.【解析】【分析】(1)计算出分针以及时针的旋转的角速度,由题意列出等式,求得答案;(2)根据时针旋转一天所需的时间,结合(1)的结果,列出不等式,求得答案.【小问1详解】设经过分针就与时针重合,为两针一天内重合的次数.因为分针旋转的角速度为,时针旋转的角速度为,所以,即.【小问2详解】因为时针旋转一天所需的时间为(),所以,于是,故时针与分针一天内只重合22次.19.我国南北朝时期的数学家祖冲之(公元429年-500年)计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久,德国数学家鲁道夫(公元1540年-1610年)用一生精力计算出了圆周率的35位小数,随着科技的进步,一些常数的精确度不断被刷新.例如:我们很容易能利用计算器得出函数的零点的近似值,为了实际应用,本题中取的值为-0.57.哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库,内部建造了一条智能运货总干线,其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为,其在处的切线为,现计划再建一条总干线,其中m为待定的常数.注明:本题中计算的最终结果均用数字表示. (1)求出的直线方程,并且证明:在直角坐标系中,智能运货总干线上的点不在直线的上方;(2)在直角坐标系中,设直线,计划将仓库中直线与之间的部分设为隔离区,两条运货总干线、分别在各自的区域内,即曲线上的点不能越过直线,求实数m的取值范围.【答案】(1),证明见解析.(2)【解析】【分析】(1)求得,得到且,结合导数的几何意义,求得的直线方程,令,利用导数求得函数的单调性和最大值,得到,即可得到结论;(2)令,求得,得到函数的单调性和最小值,令,化简得到,结合和,即可求解.小问1详解】解:由函数,可得,则且,所以的方程为,即因为函数零点的近似值,即,所以,可得又因为,所以的直线方程为 令其中,则,令,解得,当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以当时,函数取得极大值,也为最大值,即,所以在直角坐标系中,智能运货总干线上的点不在直线的上方.【小问2详解】解:由曲线且,令,要使得两条运货总干线、分别在各自的区域内,则满足恒成立,又由,令,可得,即,当时,,单调递减;当时,,单调递增,当时,函数取得最小值,最小值为,令,即,即,即,因为,可得, 又因为函数的零点的近似值,即,所以,则,又由,所以,所以实数的取值范围是.【点睛】方法点睛:应用函数知识求解实际应用问题的方法:1、正确地将实际问题转化为函数模型,这是解答应用问题的关键,转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象,并与熟知的函数模型相比较,以确定函数模型的种类.2、用相关的函数知识,进行合理设计,确定最佳解题方案,进行数学上的计算求解.3、把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题,即对实际问题进行总结作答.

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