重庆市长寿区八校2023-2024学年高二上学期期末检测数学（B卷） Word版含解析.docx

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重庆市长寿区2023-2024学年上学期高二年级期末检测卷（B）数学试题试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.4.考试结束后，将答题卷交回.一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案请涂写在机读卡上1.直线的倾斜角是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为，，直线可化为，所以直线的斜率，，故选：D．2.如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（） A.5B.3C.D.【答案】C【解析】分析】，然后平方可算出答案.【详解】在平行六面体中，，，，，，∵，∴，∴.故选：C.3.已知椭圆标准方程为，则此椭圆的短轴长为（）A.6B.3C.8D.5【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，求得b的值，即得答案.【详解】由题意知椭圆标准方程为，设椭圆的短轴长为2b，则，，所以此椭圆的短轴长为，故选：A4.下列关于空间向量的命题中，错误的是（       ）A.若非零向量，，满足，，则有B.任意向量，，满足 C.若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面D.已知向量，，若，则为锐角【答案】B【解析】【分析】根据共线向量的性质、共面向量的结论、空间向量夹角的计算公式逐一判断即可.【详解】A：因为，，是非零向量，所以由，，可得，因此本选项说法正确；B：因为向量，不一定是共线向量，因此不一定成立，所以本选项说法不正确；C：，，是空间的一组基底，且所以A，B，C，D四点共面，因此本选项说法正确；D：，当时，，若向量，同向，则有，所以有，则（舍去）所以向量，不能同向，因此为锐角，故本选项说法正确，故选：B.5.已知三角形的三个顶点A（4，3），B（﹣1，2），C（1，﹣3），则△ABC的高CD所在的直线方程是A.5x+y﹣2=0B.x﹣5y﹣16=0C.5x﹣y﹣8=0D.x+5y+14=0【答案】A【解析】【详解】试题分析:由斜率公式可得AB的斜率，由垂直关系可得CD的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．解：由斜率公式可得kAB==，∵CD⊥AB，∴kCD=﹣5， ∴直线CD的方程为：y+3=﹣5（x﹣1），化为一般式可得5x+y﹣2=0．故选A．考点：待定系数法求直线方程．6.公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意计算得的轨迹方程为，根据对称性可得圆心在直线方程上，即，从而利用乘“1”法即可得到最值.【详解】设点的坐标为，因为，则，即，所以点的轨迹方程为，因为点的轨迹关于直线对称，所以圆心在此直线上，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是.故选：B.7.等差数列、中的前项和分别为、，，则（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质及其前项和公式可得，将代入即可求解.【详解】∵等差数列、中的前项和分别为、，，∴.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前项和公式，需熟记公式，属于基础题.8.预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期，那么在这期间人口数（）A.呈上升趋势B.呈下降趋势C.摆动变化D.不变【答案】B【解析】【分析】根据题意，可知为预测期内年增长率，当，可知年增长率为负，由此即可求出结果.【详解】由题意，为预测期内年增长率，如果在某一时期有，即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势.故选:B.二、多选题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，在四棱锥中，平面，，，，，M为PD的中点，则（） A.直线CM与AD所成角的余弦值为B.C.D.点M到直线BC的距离为【答案】ABD【解析】【分析】过A作，垂足为E，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法逐一判断各个选项即可.【详解】过A作，垂足为E，则，以A为原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，因为，所以直线CM与AD所成角的余弦值为，故A正确；因为，所以B正确；因为，所以BM与PC不垂直，故C不正确；设点M到直线BC的距离为d，则，即点M到直线BC的距离为，故D正确．故选：ABD. 10.已知曲线，其中，则下列结论正确的是（）A.方程表示的曲线是椭圆或双曲线B.若，则曲线的焦点坐标为和C.若，则曲线的离心率D.若方程表示的曲线是双曲线，则其焦距的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】通过的范围，判断曲线的形状，利用特例判断A，求出焦点的坐标，判断B，求出离心率的范围判断C，求出焦距判断D.【详解】对于选项A，当时，曲线，表示直线或，故选项A错误；对于选项B，当时，曲线方程为，可知曲线为焦点为和的椭圆，故选项B正确；对于选项C，当时，曲线方程为，因为，可得曲线为焦点在轴上椭圆，，，则，所以离心率，因为， 所以，故选项C正确；对于选项D，若方程表示的曲线是双曲线，因为曲线方程为，所以，即，故，所以，，所以，因为，所以，所以，故，所以，故焦距，所以其焦距的最小值为，故选项D正确.故选：BCD.11.对于直线l：与圆C：的以下说法正确的有（）A.l过定点B.l被C截得的弦长最长时，C.l与C相切时，或D.l与C相切时，记两种情形下的两个切点分别为A、B，则【答案】AD【解析】【分析】由直线方程确定定点判断A；由C被l截得的弦长最长，只需直线过圆心，代入求参数判断B；由相切关系，应用点线距离公式列方程求参数判断C；画出示意图，根据已知得到，再由求弦长判断D.【详解】由，即直线恒过定点，A对；要使C被l截得的弦长最长，只需直线过圆心，即，B错； l与C相切时，则，可得或，C错；如图，，，则，故，故，D对.故选：AD12.已知数列的前n项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的为（）A.数列是等差数列B.数列是等比数列C.数列的通项公式为D.【答案】BCD【解析】【分析】由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得，由数列的裂项相消求和可得.【详解】解：由即为，可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，又，可得故选：BCD 三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中的横线上.13.已知点，过的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据斜率公式即可得，进而可求解.【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，故直线与线段有交点，则,即，故答案为：14.的三个顶点分别是，则其外接圆的方程为__________.【答案】【解析】【分析】求得圆心和半径，进而求得圆的方程.【详解】由于，所以是外接圆的直径，所以圆心为，半径为，所以外接圆的方程为.故答案为：15.某石油勘探队在某海湾发现两口大型油气井，海岸线近似于双曲线的右支，现测得两口油气井的坐标位置分别为， ，为了运输方便，计划在海岸线上建设一个港口，当港口到两油气井的距离之和最小时，港口的位置为______.（填写坐标即可）【答案】##【解析】【分析】画出图象，结合双曲线的定义，利用“三点共线时”港口到两油气井的距离之和最小，结合直线与双曲线的交点坐标的求法求得港口的位置.【详解】由双曲线可知，，故该双曲线的两个焦点分别为和，则恰好为双曲线的右焦点，如图设为双曲线的左焦点，连接与双曲线右支交于点，则点即港口所在位置.由双曲线的定义可得，，即，则.当且仅当，，三点共线时，取得最小值，此时港口到两油气井的距离之和最小.因为，，所以，则直线，联立，化简可得，即，解得或，因为，所以舍去，将代入直线方程可得，故点的坐标为，即港口的位置为. 故答案为：16.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．【答案】【解析】【分析】结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得的公差和公比，由此求得.【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.等差数列的前项和公式为，等比数列的前项和公式为，依题意，即，通过对比系数可知，故.故答案为：【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于中档题.四、解答题（本大题共6个小题，共70分.应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足求.【答案】（I），； （II）【解析】【分析】（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得，进而求得等差数列和等比数列的通项公式；（II）根据题中所给的所满足的条件，将表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.【详解】（I）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意，得，解得，故，，所以，的通项公式为，的通项公式为；（II），记①则②②①得，，所以.【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目. 18.如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求：（1）的长；（2）直线与所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案；（2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值.【小问1详解】由题意得，所以；【小问2详解】所以 ，，,，故，由于异面直线所成角的范围为大于小于等于，所以直线与AC所成角的余弦值为.19.已知点和点关于直线：对称．（1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程；（2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】根据对称先求出B点坐标（1）过点B到点A距离最大的直线与直线AB垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C到直线AB的距离，又点C在直线上，可设出C点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C，又直线过点A，利用两点A、C即可求出直线的方程.【详解】解：设点则，解得：，所以点关于直线：对称的点的坐标为（1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，则直线与过点的直线垂直，所以，则直线为：，即.（2）由条件可知：，的面积为2，则的高为， 又点C在直线上，直线与直线垂直，所以点到直线AB的距离为.直线方程为，设，则有，即或又，解得：或则直线为：或【点睛】本题考查求点关于直线对称点，考查直线与直线相交的综合应用..方法点睛：（1）设出交点坐标（2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组；（3）解出点坐标.20.已知圆C过点，且圆心C在直线上．（1）求圆C的标准方程；（2）若过点（2，3）的直线被圆C所截得的弦的长是，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）设圆心,由两点间的距离及圆心在直线上，列出方程组，求解即可求出圆心坐标，进而求出半径，写出圆的方程（2）由的长是，求出圆心到直线的距离，然后分直线斜率存在与不存在求解.【详解】（1）设圆C的标准方程为依题意可得：解得，半径. ∴圆C的标准方程为；（2）,∴圆心到直线m的距离①直线斜率不存在时，直线m方程为：；②直线m斜率存在时，设直线m为.,解得∴直线m的方程为∴直线m的方程为或.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题.21.已知点､是椭圆的左､右焦点，点是该椭圆上一点，若当时，面积达到最大，最大值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，是否存在过左焦点的直线，与椭圆交于，两点，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，直线的方程为或.【解析】【分析】（1）当点在短轴端点的时候，面积达到最大，求得的值，即可得答案；（2）由（1）由题意直线与轴不重合，设其方程为，代入椭圆的方程，利用韦达定理和面积公式，即可得答案；【详解】（1）当点在短轴端点的时候，面积达到最大，可得，此时，所以，又，求得，，，所以椭圆方程为； （2）存在，由（1）由题意直线与轴不重合，设其方程为代入椭圆方程可得则，则解得所以直线的方程为或；【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆中的面积问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意韦达定理的运用.22.如图，已知抛物线的焦点为，点是轴上一定点，过的直线交与两点.（1）若过的直线交抛物线于，证明纵坐标之积为定值；（2）若直线分别交抛物线于另一点，连接交轴于点.证明：成等比数列.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设直线方程为，联立抛物线方程用韦达定理可得；（2）借助（1）中结论可得各点纵坐标之积，进而得到F、T、Q三点横坐标关系，然后可证. 【小问1详解】显然过T的直线斜率不为0，设方程为，联立，消元得到，.【小问2详解】由（1）设，因为AP与BQ均过T(t,0)点，可知，又AB过F点，所以，如图：，,设M(n，0）,由（1）类比可得.，且，成等比数列