四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期期末考试 数学（理） Word版含解析.docx

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成都石室中学2023-2024年度上期高2024届期末考试数学试题（理）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．若复数满足（i是虚数单位），则（）A．B．C．D．2.已知集合，，则等于（）A．B．C．D．3．设等差数列的前项和为，且，则的值为（）A．6B．7C．8D．94.的展开式中，的系数为（）A．B．C．5D．155.函数部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．6．已知圆与中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（）A．B．3C．或D．或7.已知函数是偶函数，当x<0时，，则曲线在x=1处的切线方程为（）A．B． C．D．8．已知一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，若随机输入的，则输出的的概率为（）A．B．C．D．10.若，，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．11.已知长方体在球O的内部，球心O在平面ABCD上，若球的半径为，，则该长方体体积的最大值是（）A．4B．8C．12D．1812．曲线是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线关于轴、轴均对称；②曲线上存在点，使得；③若点在曲线上，则的面积最大值是1；④曲线上存在点，使得为钝角.其中所有正确结论的序号是（）A.②③④B.②③C.③④D.①②③④第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13.若、满足约束条件，则的最大值为__________．14.设，则不等式的解集为__________．15．已知，则的值为__________．16．如图，在三棱锥中，平面，为线段的中点，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为__________．三、解答题（本题共6道小题，共70分）17．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高（单位：）与父亲身高（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：父亲身高160170175185190儿子身高170174175180186参考数据及公式：，，，，，(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；(2)小明的父亲身高178cm，请你利用回归直线方程预测小明成年后的身高。18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面面，，，为的中点.(1)求证：面面；(2)若二面角的大小为，求与面所成角的正弦值.19.为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地ABCD用于蔬菜种植实践活动. 经测量，边界AB与AD的长度都是14米，，.(1)若的长为6米，求BC的长；(2)现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？20．已知椭圆的离心率为，抛物线在第一象限与椭圆交于点，点F为抛物线的焦点，且满足.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于P,Q两点，过分别作直线的垂线，垂足为M、N，l与x轴的交点为T．若△PMT、△PQT、△QNT的面积成等差数列，求实数m的取值范围.21.已知函数，其中是自然对数的底数．(1)讨论的单调性；(2)若，设关于的不等式对恒成立时k的最大值为，求的取值范围．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.已知圆C的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程； (2)若直线的参数方程是(t为参数，为直线l的倾斜角)，l与C交于A，B两点，，求l的斜率.23．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若恒成立，求的取值范围. 成都石室中学2023-2024年度上期高2024届期末考试数学试题（理）参考答案1．若复数满足（i是虚数单位），则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】计算，再计算共轭复数即可.【详解】，则，则.故选：A2.已知集合，，则等于（    ）A．B．C．D．2．C【分析】根据指数函数单调性得到，解不等式求出，利用并集概念求出答案.【详解】，故，令，解得，故，故.故选：C3．设等差数列的前项和为，且，则的值为A．6B．7C．8D．9【答案】选A【解析】由，可得，则.4.的展开式中，的系数为A．B．C．5D．15【答案】选A【解析】， 的展开式通项为，的展开式通项为，由，可得，因此，式子的展开式中，的系数为.5.函数部分图象如图所示，则A．B．C．D．【答案】选D【解析】由函数的部分图象知，，，解得，∴，又，可得，，解得，，∵，∴可得，∴，∴.6．已知圆与中心在原点､焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ）.A．B．3C．或D．或【答案】D【分析】分双曲线的焦点在x轴上和y轴上，由圆心到渐近线的距离等于半径列式求解即可.【详解】因为可化为，则圆的圆心为，半径为2，当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为，则其渐近线方程为，由题意得，即，所以， 所以，当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为，则其渐近线方程为，由题意得，即，所以，则，故选：D.7.已知函数是偶函数，当x<0时，，则曲线在x=1处的切线方程为A．B．C．D．【答案】选C【解析】因为x<0，，，又由是偶函数，，令，则，根据是偶函数，，得到时，，所以，时，，，故曲线在处的切线方程为，即.8．已知一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）  A．B．C．D．【答案】C【分析】先由三视图原几何体，再分别求得各面的面积相加即可得解.【详解】由题知，该三视图对应的几何体的直观图如图所示，   其中半圆柱的底面半径为1、高为1，三棱锥中，在底面的射影为的中点，，，∴，，因为面，面，所以，又，面，所以面，又面，故，∴，∴，∴，∴该几何体的表面积为.故选：C.9．执行如图所示的程序框图，若随机输入的，则输出的的概率为（    ）    A．B．C．D．【答案】B【分析】根据可得，再根据循环结构可得当时均能得到，从而可得答案.【详解】由框图可得若，则，解得. 故当，满足，可得输出；当时，满足，可得输出；当时，不满足，此时，故可得输出；当时，不满足，此时；不满足，此时，可得输出.故当时均能得到，故输出的的概率为.故选：B10.若，，则下列选项正确的是A．B．C．D．【答案】选D【解析】因为，，所以，因为，，即,所以，所以A，B错误；因为，所以，所以C错误；因，所以D正确.11.已知长方体在球O的内部，球心O在平面ABCD上，若球的半径为，，则该长方体体积的最大值是A．4B．8C．12D．18【答案】选A【解析】设长方体的高为h，设a，则，所以.由勾股定理得即得，所以长方体的体积为， 设，其中0