江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试 数学 Word版含解析.docx

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常州市第一中学2023-2024学年高二第一学期期末质量调研数学试卷（时间：120分钟页数：共6页满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列的前项和为，，，则（    ）A．155B．165C．290D．3102．若有以下两个命题：命题甲：成等比数列；命题乙：．则命题甲是乙的（    ）．A．充分而非必要条件B．必要而非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．求与直线平行且将圆的周长平分的直线方程为（    ）A．B．C．D．4．已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为A．B．C．D．5．“五一”假期将至，腾冲又将迎来今年的新一轮旅游热潮．腾冲某旅行社适时推出了“火山热海”、“和顺古镇”、“叠水河畔”、“湿地荷韵”和“佤寨风光”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“火山热海”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（    ）A．720种B．360种C．320种D．288种6．已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最小正数n为（    ）A．36B．35C．34D．337．数列共有12项，其中，，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为 A．84B．168C．76D．1528．双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（    ）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知为曲线上一动点，则（    ）A．的最小值为B．存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离C．到直线距离的最小值小于D．的最小值为610．下列说法正确的是（    ）A．用0，1，2，3，4能组成48个不同的3位数.B．将10个团员指标分到3个班，每班要求至少得2个，有15种分配方法.C．小明去书店看了4本不同的书，想借回去至少1本，有16种方法.D．甲、乙、丙、丁各写了一份贺卡，四人互送贺卡，每人各拿一张贺卡且每人不能拿到自己写的贺卡，有9种不同的方法.11．1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是(   )A．若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则B．若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列C．若最初有个桃子,则第只猴子分得个桃子(不含吃的)D．若最初有个桃子,则必有的倍数12．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为、.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为 .则下列说法正确的是（    ）A．椭圆的标准方程为B．若点在椭圆上，则的最大值为C．若点在椭圆上，的最大值为D．过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点是椭圆的两个焦点，横坐标为4的点在椭圆上，则的周长为．14．已知数列满足（），则取最小值为.15．已知点，若圆上存在点，使得线段的中点也在圆上，则实数的取值范围是.16．我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为的个球的口袋中取出个球，共有种取法.在种取法中，不取号球有种取法；取号球有种取法.所以.试运用此方法，写出如下等式的结果：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知二项式.（1）当时，求二项式展开式中各系数的和；（2）若二项式展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数和成等差数列，且二项展开式中存在常数项，求的值. 18．我国自改革开放以来，生活越来越好，肥胖问题也日渐显著，为思路引导肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响，在肥胖人群中随机抽出8人，他们的肥胖指数值、总胆固醇指标值单位:)、空腹血糖指标值(单位:)如下表所示：人员编号12345678BMI值x2527303233354042TC指标值y5.35.45.55.65.76.56.97.1GLU指标值z6.77.27.38.08.18.69.09.1(1)用变量与与的相关系数，分别说明指标值与值、指标值与值的相关程度;(2)求与的线性回归方程，已知指标值超过为总胆固醇偏高，据此模型思路引导当值达到多大时，需要注意监控总胆固醇偏高情况的出现(上述数据均要精确到0.01)参考公式:相关系数，，.参考数据:，，，，，，，. 19．已知等差数列和等比数列，其中的公差不为0.设是数列的前项和.若，，是数列的前3项，且.（1）求数列和的通项公式；（2）是否存在常数，使得为等差数列？并说明理由.20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为．（1）求双曲线E的方程；（2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围． 21．设数列的前项和为，满足，且，数列满足，对任意的，且成等比数列，其中.（1）求数列的通项公式（2）记，证明：当且时，22．已知椭圆C：，四点中恰有三点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点．(3)如图，抛物线M：的焦点是F，过动点的直线与椭圆C交于P，Q两点，与抛物线M交于两点，且G是线段PQ的中点，是否存在过点F的直线交抛物线M于T，D两点，且满足，若存在，求直线的斜率k的取值范围；若不存在，说明理由．    常州一中高二数学期末试卷参考答案1．A2．A【解析】利用等比中项的性质，及特例法可求出甲是乙的充分不必要条件.【过程解析】若成等比数列，由等比中项可知成立，即成等比数列；若时，满足，但不是等比数列，所以命题甲是乙的充分不必要条件.故选：A3．C4．A5．D【思路引导】根据四人是否有人选择“火山热海”线路进行分类讨论，由此求得正确答案.【过程解析】若四人中，没有人选择“火山热海”线路，则方法数有种.若四人中，恰有人选择“火山热海”线路，则方法数有种.所以他们报名的情况总共有种.6．B【思路引导】先由已知条件判断出的取值范围，即可判断使得的最小正数n的数值.【过程解析】由得：，.，又，，，，则使得的最小正数n为35.故选：B.7．A【过程解析】解：数列的首项为0，第五项为2，第12项为5，则依次得到第三项为4个，第4项为8个，依次得到其余项的结果数，根据分布计数原理可得共有84个数列．8．A【思路引导】由题意画出图，由已知求出的值，找出的坐标，由的内切圆圆心分别为，进行思路引导，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出的底和高，利用三角形的面积公式计算即可.【过程解析】由题意如图所示： 由双曲线，知，所以，所以，所以过作垂直于轴的直线为，代入中，解出，由题知的内切圆的半径相等，且，的内切圆圆心的连线垂直于轴于点，设为，在中，由等面积法得：由双曲线的定义可知：由，所以，所以，解得：，因为为的的角平分线，所以一定在上，即轴上，令圆半径为，在中，由等面积法得：，又所以，所以，所以，，所以，故选：A.9．BD【思路引导】先确定曲线为抛物线的右半部分，再根据抛物线的焦点为，准线为，可以判断出选项AB.原点到直线的距离是最短距离，可判断出选项C.可以看成是到焦点的距离加上到点的距离的和，最小值可以转化为点到准线的距离，即可判断选项D. 【过程解析】由，得，则曲线为抛物线的右半部分．因为抛物线的焦点为，准线为，所以B正确，，A错误．原点到直线的距离为，原点到直线的距离是最短距离，C错误．设点到准线的距离为d，P到准线的距离为，则，D正确．10．BD【思路引导】根据分步乘法计数原理求出三位数的个数判断A，根据隔板法和分步乘法计数原理求出分配方法数，判断B，利用间接法求出满足要求的方法数判断C，利用分步乘法计数原理求出满足条件的方法数，判断D.【过程解析】对于A，第一步先排百位数，有4种排法，第二步排十位数有5种排法，第三步排个位数有5种排法，由分步乘法计数原理可得共有个不同的三位数，A错误；对于B，第一步，每个班先各分一个团员指标，有一种方法，第二步，再将余下7个团员指标排成一排，7个指标之间有6个空，用2块隔板插入其中的两个空，每种插空方法就是一种将7个指标分给3个班，每班至少一个指标的分配方法，故第二步有种方法，由分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有15种，B正确；对于C，因为借回至少1本的反面为1本都不借，又小明所有的借书方法数为种，所以借回至少1本的方法数为种，C错误；对于D，第一步甲先拿贺卡，有3种方法，第二步安排甲拿到的贺卡的主人拿，有3种方法，第三步余下两人拿贺卡，由于其中一人不能拿自己的贺卡，故只有一种方法，由分步乘法计数原理可得共种方法，D正确；11．ABD【思路引导】设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为，则,若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则,根据与关系即可判断A的正误;由A构造等比数列即可判断B的正误;根据B求出数列的通项公式,将代入求解即可判断C;根据题意,,又为等比数列,判断D的正误.【过程解析】设最初有个桃子,猴子每次分剩下的桃子依次为,则 ,若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则,所以,即,故A正确;由A，,则,即是等比数列,若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则,所以是以为公比的等比数列,故B正确.由B知,是等比数列,所以,即,若最初有个桃子,即,所以,故C错误;根据题意:,因为以为公比的等比数列,所以,化简得,因为,且为正整数,所以,即必有的倍数,故D正确.故选:ABD.12．ACD【思路引导】利用椭圆的定义及离心率大小可求得椭圆方程，判断,利用余弦定理，可得顶角的最大为钝角，故最大值为，可判断;设出点的坐标为，利用两点间的距离公式求得范围即可判断;利用椭圆在点处的切线方程为，及点在直线上，求出，两点满足的方程，即可求得所过定点，判断 【过程解析】一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，如下图所示：所以可得即又椭圆的离心率为，可得，所以，故椭圆方程为，所以正确；由椭圆的定义知，不妨设，，因为，可得所以，当且仅当时等号成立，此时最大为钝角设为，则，故当时，的最大值为，故错误；易得,设点，则当时，，故正确；易知椭圆在点处的切线方程为，证明如下：当切线斜率存在时，设直线与相切与点，联立，所以，整理可得，又易知，即，所以整理可得①；又切点在椭圆上，即，整理可得②， 联立①②，可得即，所以切线方程为，化简得，经检验，直线斜率不存在时也符合上式，即椭圆在点处的切线方程为，设，所以椭圆在点处的切线的方程为，在点处的切线的方程为，两线相交于点，所以可得，即点满足方程，所以直线的方程为，整理可得，令，故直线的方程过定点，故正确，  故选：13．1814．15．【过程解析】设,，的中点，由已知有，故将,代入圆的方程中得， 即的中点的轨迹为圆，又线段的中点也在圆上，两圆有公共点，，解得：，故答案为：16．【思路引导】将等式看作是从编号为个球中，取出个球，其中第个球的编号依次为的情况，利用分类加法计数原理得到的结果；再由从编号为个球中，取出个球，有种取法，即可得到结果.【过程解析】从编号为个球中，取出个球，记所选取的六个小球的编号分别为，且，当时，分三步完成本次选取：第一步，从编号为的球中选取2个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中任选个，故选取的方法数为；当时，分三步完成本次选取：第一步，从编号为的球中选取2个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中任选个，故选取的方法数为；……；当时，分三步完成本次选取：第一步，从编号为的球中选取2个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中选个，故选取的方法数为；至此，完成了从编号为个球中，选取个球，第个球的编号确定时的全部情况，另外，从编号为个球中，取出个球，有种取法，所以.故答案为：.17．（1）；（2）.【思路引导】（1）令利用赋值法求展开式各项系数；（2）依题意，即可求出，再代入二项式展开式的通项去检验，即可判断；【过程解析】解：（1）当，令，得二项式的展开式中各系数和为；（2）二项式展开式的通项为由题：，， 即或；当时，二项式展开式的通项为，所以，是常数，符合；当时，若是常数，则，不符，舍去，所以.18．(1)答案见下；(2)达到时，需要注意监控总胆固醇偏高情况出现。【思路引导】（1）根据公式计算变量与的相关系数、变量与的相关系数，即可判定结论；（2）求出变量与的线性回归方程，利用回归方程求不等式的解集，即得结论．【过程解析】（1）解：由题知，变量与的相关系数分别是变量与的相关系数分别是所以，指标值与值、指标值与值都是高度正相关.（2）解：与的线性回归方程，.根据所给的数据，可以计算出，.所以与的回归方程是由，可得，所以，据此模型思路引导值达到时，需要注意监控总胆固醇偏高情况出现.19．(1);;(2)或【思路引导】（1）由，，是等比数列的前3项利用等差中项的性质列出、d的关系式，代入即可求出、d，从而求得数列和的通项公式；（2）令先求出的表达式，若数列为等差数列推出为常数，则，列出方程求t，代入原式验证即可.【过程解析】（1）设数列的公差为d，通项公式为，因为，，是等比数列的前3项，所以，即，整理得，又，所以，，，所以， 因为，所以.（2）数列的前n项和，则，令，若数列为等差数列，则为常数，当时，，整理得，解得或，(舍去)经验证当或时均为常数，综上所述，或时为等差数列.20．（1）；（2）．【解析】（1）依题意可得，所以得到，根据的面积，计算可得；（2）联立直线方程与曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意得到，从而求出参数的取值范围，利用弦长公式表示出，，即可得到的取值范围；【过程解析】解：（1）因为双曲线为等轴双曲线，所以，设双曲线的焦距为2c，，故，即．因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，将代入，可得，故．将的面积为，所以，即，所以，，故双曲线E的方程为． （2）依题意，直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，联立方程组消去y可得，，所以解得，且所以．联立方程组得，同理，所以．所以，其中，所以．21．（1）.；.（2）证明见解析.【思路引导】（1）当时，由，两式相减得，用等差中项确定是等差数列再求通项公式.令，根据成等比数列，求得，从而得到（2）由（1）知根据证明的结构使用放缩法，得到，再相消法求和.【过程解析】（1）当时，由，得，两式相减得，当时，， 所以是等差数列.又因为，所以，所以，所以..令，因为成等比数列，所以，所以，所以，又因为.，所以.（2）由（1）知，因为，所以，.同理所以所以.所以当且时，【点睛】本题主要考查了数列递推关系和等比数列的性质，放缩法证明数列不等式问题，属于难题.22．(1)(2)证明见解析(3)存在，【思路引导】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C上．把的坐标代入椭圆C，求出，即可求出椭圆C的方程； （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l过定点；（3）利用点差法求出直线PQ的斜率，从而可得直线PQ的方程，与抛物线方程联立，由，及点G在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD的方程为，与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m的取值范围，进而可求得直线的斜率k的取值范围．【过程解析】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C上，又的横坐标为1，∴椭圆必不过，∴三点在椭圆C上．把代入椭圆C，得，解得，∴椭圆C的方程为．（2）证明：①当斜率不存在时，设,，∵直线与直线的斜率的和为，∴，解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，联立，消去y整理得，则，，则,又，∴，此时，故存在k，使得成立，∴直线l的方程为，即∴l过定点． （3）∵点P，Q在椭圆上，所以，，两式相减可得，又是线段PQ的中点，∴，∴直线PQ的斜率，∴直线PQ的方程为，与抛物线方程联立消去x可得，由题可知，∴，又G在椭圆内部，可知，∴，故，设，，由图可知，，∴，当直线TD的斜率为0时，此时直线TD与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD的方程为，与抛物线方程联立，消去x可得，∴，由，可知，即，∴，即，∴，∵，∴，解得，即，