广东省梅州市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 Word版含解析.docx

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梅州市高中高一期末考试试卷数学试题注意事项：本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.（）A.B.C.D.3.寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程一时间”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（）A.B. C.D.4.下列命题中，真命题的是（）A.B.C.，使得D.，使得5.设计如图所示的四个电路图，条件p：“灯泡L亮”；条件q：“开关S闭合”，则p是q的必要不充分条件的电路图是（）A.B.C.D.6.若，则（）A.B.C.D.7.已知函数，若方程在区间内恰有两个实数根，则的取值范围为（）A.B.C.D.8.已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（） A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数是偶函数的是（）A.B.CD.10.已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.11.下列关于函数的说法中，正确的有（）A.函数图像是轴对称图形B.函数的图像是中心对称图形C.函数的值域为D.函数的单调递增区间是12.设集合是实数集的子集，如果满足：，使得，则称为集合的一个聚点.在下列集合中，以0为一个聚点的集合有（）A.B.CD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在直径为6的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为_____________.14.已知函数，则，则_____________.15.已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是_____________.16.若，则的最大值是_____________.（注：表示中的较小值）四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知集合.（1）若，求实数的值及集合；（2）若且，求实数和满足的关系式.18.已知，且是第二象限角.（1）求的值；（2）求的值.19.已知二次函数.（1）若，求在上的值域；（2）求在上的最小值.20.已知函数.（1）判断函数在上的奇偶性，并证明之；（2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明；（3）写出在上的值域（不用书写计算推导过程）.21.下表是我国1964年到1971年期间的人口数及增长情况：年份人口数（单位：亿）增长量（单位：亿）增长率1964705--19657.250.200.02819667.450.200.02819677.640.190.02619687850.210.02719698.080.230.02919708.300.220.027 19718.520.220.027（1）根据上表，假设以1964年为起点，以1964年到1971年的人口平均增长率作为恒定增长率，记为经过时间年后的人口数，请你建立我国的人口增长模型（即：人口数与时间之间的关系）；（2）对照你所建立的模型和马尔萨斯的人口指数增长模型：，指出其中的值；（3）如果按照以上模型和数据，预测2025年我国的人口数（保留两位小数），并根据预测的数据，谈谈你对前面模型的理解或者有什么需要改进的方面.（参考数据：；）22.已知函数.（1）当时，求的零点个数，并求出相应的零点；（2）讨论关于的方程的解的个数. 梅州市高中期末考试试卷（2024.1）高一数学注意事项：本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合中元素范围，进而可求其补集，最后再求交集即可.【详解】因为，所以，又，所以.故选：D.2.（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式变形计算即可.【详解】. 故选：A.3.寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程一时间”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先确定兔子的图象，然后根据开始兔子快，乌龟慢，以及最终乌龟赢了即可得答案.【详解】由于兔子睡了一下，所以所有选项中有一段不发生变化的折线为兔子的“路程一时间”的图像一开始，兔子快，乌龟慢，排除选项CD，最后乌龟赢了，即乌龟先到达终点，选项B符合.故选：B.4.下列命题中，真命题的是（）A.B.C.，使得D.，使得【答案】D【解析】 【分析】通过举例来判断ABD，利用三角函数的有界性判断C.【详解】对于A：当时，，A错误；对于B：当时，，B错误；对于C：根据三角函数的有界性，，故不存在，使，C错误；对于D：当时，，故，使得，D正确.故选：D.5.设计如图所示的四个电路图，条件p：“灯泡L亮”；条件q：“开关S闭合”，则p是q的必要不充分条件的电路图是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据各电路的特点，判断两个命题之间的逻辑关系，即可判断出答案.【详解】对于A，灯泡L亮，可能是闭合，不一定是S闭合，当S闭合时，必有灯泡L亮，故p是q的必要不充分条件，A正确；对于B，由于S和L是串联关系，故灯泡L亮，必有S闭合，S闭合，灯泡L亮，即p是q的充要条件，B错误；对于C，灯泡L亮，则开关和S必都闭合，当开关S闭合打开时，灯泡L不亮，故p是q的充分不必要条件，C错误；对于D，灯泡L亮，与开关S闭合无关，故p是q的既不充分也不必要条件，D错误，故选：A6.若，则（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】利用对数的单调性及运算性质，通过与中间量的大小比较确定答案.【详解】，，，，所以.故选：A.7.已知函数，若方程在区间内恰有两个实数根，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出方程的由小到大排列的3个正根，再根据题意列出不等式即得.【详解】函数，由，得，当时，或或，解得或或，显然是方程的由小到大排列的3个正根，因为方程在区间内恰有两个实数根，则有，所以的取值范围为.故选：D8.已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】对于赋值，求出，，，，确定奇偶性，通过奇偶性可得答案.【详解】当时，，当时，，可得，当时，，可得，函数是定义在上且不恒为零的函数，令，可得，则函数是奇函数，令，,得，所以，所以.故选：.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数是偶函数的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义逐一分析各选项即可得解.【详解】由题意，A项，在中，,，为偶函数；B项，在中，,，为奇函数； C项，在中，,，为奇函数；D项，在中，,，为偶函数；故选：AD.10.已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据二次不等式解集与二次方程的根的关系列式求解.【详解】因为不等式的解集为，所以，解得，所以，选项ABC正确；又，所以，选项D错误；故选：ABC.11.下列关于函数的说法中，正确的有（）A.函数的图像是轴对称图形B.函数的图像是中心对称图形C.函数的值域为D.函数的单调递增区间是【答案】ACD【解析】【分析】对于AB：先猜想函数的图像是轴对称图形，然后证明即可；对于C：根据的范围可判断；对于D：利用复合函数的单调性规则来判断.【详解】对于AB：函数的定义域为，，即，猜测函数的图像是轴对称图形， 证明：，，所有，即函数的图像关于对称，故A正确，B错误；对于C：当时，，则的值域为，C正确；对于D：在上单调递增，在上单调递增，所以函数的单调递增区间是，D正确.故选：ACD.12.设集合是实数集的子集，如果满足：，使得，则称为集合的一个聚点.在下列集合中，以0为一个聚点的集合有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案．【详解】对于A，集合中的元素除了第一项0之外，其余的都至少比0大，则当的时候，不存在满足得的x， 0不是集合的聚点，A不是；对于B，集合中的元素，对于任意的，取，当时，，则0是集合的聚点，B是；对于C，，，对于任意的，由，得， 于是对于任意的，取，当时，，则0是集合的聚点，C是；对于D，，，因此当时，不存在满足的，则0不是集合的聚点，D不是.故选：BC【点睛】思路点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数性质结合，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在直径为6的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为_____________.【答案】##【解析】【分析】根据弧长公式求解即可.【详解】弧长为.故答案为：.14.已知函数，则，则_____________.【答案】或【解析】【分析】分和两种情况代入解方程即可.【详解】因为，当时，，解得，当时，，解得.综合得或.故答案为：或15.已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是_____________. 【答案】【解析】【分析】先求的值，再利用奇偶性与单调性即可求解取值范围.【详解】由幂函数的图象过点得，解得，则，定义域为.由可得为偶函数，又幂函数的单调性可知，函数在上单调递减.于是等价于，解得或.所以的取值范围是.故答案为：.16.若，则的最大值是_____________.（注：表示中的较小值）【答案】##0.5【解析】【分析】根据给定条件，借助基本不等式求出的最大值即得.【详解】令，，于是，，则，当且仅当时取等号，而，当且仅当，即时取等号，因此当，且，即时，，所以的最大值为.故答案为： 【点睛】思路点睛：令，由此建立不等式，再利用不等式性质变形，借助基本不等式求解.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合.（1）若，求实数值及集合；（2）若且，求实数和满足的关系式.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）直接将代入集合计算即可；（2）求出集合中元素，代入集合计算即可.【小问1详解】若，则，所以，解得，所以，综上：，；【小问2详解】若，则，此时，又，所以，即，所以， 所以实数和满足的关系式为.18.已知，且是第二象限角.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系计算即可；（2）先将分式变形为关于弦的二次齐次式，然后通过分子分母同时除以转化为用表示的式子，然后代入的值计算即可.【小问1详解】，且是第二象限角，，；【小问2详解】.19.已知二次函数.（1）若，求在上的值域；（2）求在上的最小值.【答案】19. 20.【解析】【分析】（1）先确定单调性，再根据单调性求值域；（2）分，，讨论，确定单调性即可得最小值.【小问1详解】若，则，对称轴为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以在上的值域为；【小问2详解】二次函数，对称轴为，当，即时，在上单调递增，，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，当，即时，在上单调递减，，综上：.20.已知函数.（1）判断函数在上的奇偶性，并证明之；（2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （3）写出在上的值域（不用书写计算推导过程）.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）单调递增函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）通过计算来证明；（2）任取，通过计算来证明；（3）以为基础可得函数值域.【小问1详解】函数在上是奇函数.证明：，即函数在上是奇函数；【小问2详解】函数在上的单调递增函数.证明：任取，则，因为，所以，即，又，所以即函数在上的单调递增函数；【小问3详解】 ，即在上的值域为.21.下表是我国1964年到1971年期间的人口数及增长情况：年份人口数（单位：亿）增长量（单位：亿）增长率19647.05--19657.250.200.02819667.450.200.02819677.640.190.02619687.850.210.02719698.080.230.02919708.300.220.02719718.520.220.027（1）根据上表，假设以1964年为起点，以1964年到1971年的人口平均增长率作为恒定增长率，记为经过时间年后的人口数，请你建立我国的人口增长模型（即：人口数与时间之间的关系）；（2）对照你所建立的模型和马尔萨斯的人口指数增长模型：，指出其中的值；（3）如果按照以上模型和数据，预测2025年我国的人口数（保留两位小数），并根据预测的数据，谈谈你对前面模型的理解或者有什么需要改进的方面.（参考数据：；）【答案】（1）；（2），；（3）亿，理解见解析.【解析】 【分析】（1）根据给定信息，结合平均增长率问题列式即得.（2）对照马尔萨斯的人口指数增长模型，求出.（3）利用模型计算，与实际人口数比对，即可回答问题.【小问1详解】假设以1964年为起点，以1964年到1971年的人口平均增长率作为恒定增长率，建立我国的人口增长模型为:.【小问2详解】对照马尔萨斯的人口指数增长模型,可得，从而.【小问3详解】如果按照以上模型和数据，预测2025年我国的人口数：（亿），这个预测的数据远超于实际数据，其中原因主要是增长率恒定这个假设不成立，实际上人口增长率会受到环境和资源的影响，在一定的资源和环境之下，增长率会随着人口的增长而下降，不会保持恒定不变.22.已知函数.（1）当时，求的零点个数，并求出相应的零点；（2）讨论关于的方程的解的个数.【答案】（1）1个零点，分别为（2）答案见解析【解析】分析】（1）直接解方程即可；（2）将方程解的个数转化为两个函数的交点个数，研究函数性质，画出函数图象，根据图象分情况讨论求交点个数即可.【小问1详解】 当时，，当时，令，无解，当时，令，解得或（舍去），所以有1个零点，为；【小问2详解】令，且则，即，则方程的解的个数即为两个函数的交点个数，设，对于函数，其在上单调递减，在上单调递增，最小值，对于函数，其在上单调递增，且为其零点，根据以上函数性质画出函数的图象如下： 当时，如图：函数与函数，①无交点，②一个交点，③两个交点，④3个交点，解得①，②，③，④当时，如图：函数与函数，①无交点，②一个交点，③两个交点，④3个交点，解得①②③无解，④，当，即时，，有3个交点， 综上所述：当时，方程无解；当时，方程一个解；当时，方程两个解；当时，方程3个解.【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程根的个数转化为两个函数图象的交点个数，分析函数图象，注意分段函数定义域对函数图象的影响.