湖南省邵阳市2023-2024学年高一上学期拔尖创新人才培养竞赛（初赛）数学 Word版含解析.docx

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2023年拔尖创新人才早期培养学科知识竞赛（初赛）数学试题温馨提示:1.时量100分钟，满分150分。2.请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上。3.请你在答题卡上作答，答在本卷上无效。一．单选题（每小题5分，共40分）1.已知一元二次方程有一个根为零，则（　　）A.1B.C.1或D.或4【答案】B【解析】【分析】根据题设有，即可求参数.【详解】由题设，可得.故选：B2.如果将一组数据5、4、6、5、4、13、5依次重复写10次，会得到70个数组成的一组新数据，关于这组新数据的中位数、众数、平均数，下列说法正确的是（　　）A.中位数和众数都是5B.众数是10C.中位数是4D.中位数、平均数都是5【答案】A【解析】【分析】根据平均数，众数，中位数的定义和性质即可求解.【详解】将这组数据从小到大的顺序排列为4，4，5，5，5，6，13，处于中间位置的那个数是5，每个数字重复写10次，5依然处于中间位置，由中位数的定义可知，这组新数据的中位数是5，这组新数据中出现次数最多的数是5，出现了30次，所以众数为5，故A正确，BC错误．平均数，故D错误．故选：A 3.已知函数与图象的交点为，，，则不等式的解为（　　）A.或B.或或C.或D.或【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数以及二次函数的图象，即可结合图象求解.【详解】作出与的大致图象如下：由图象可知：不等式的解集实际上就是当抛物线的图象位于值反比例函数的图象上方时，所对应的自变量的取值范围，根据图象可以得到：在第一象限，当时，二次函数的值大于反比例函数的值，在第三象限，有两部分，即当或时，二次函数的值大于反比例函数的值，故选：B．4.已知实数满足且，则的值为（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】根据题意整理可得，代入运算即可.【详解】因为，即，可得，可得或，即或， 且，可得，所以.故选：A.5.圆内切于正三角形，半径为R，圆与圆及，均相切，圆的半径为r，则等于（）A.4B.2C.3D.5【答案】C【解析】【分析】根据题意结合等边三角形的性质分析求解.【详解】设正三角形的边长为，则圆的半径，设圆与圆切于点，过点作∥，因为，则，可知圆为正三角形的内切圆，且为的中点，则，所以.故选：C.6.割圆术是我国古代数学家刘微创造的一种求周长和面积的算法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．这一思想在数学领域中有广泛的应用．例如：求值．则可以设，根据上述思想方法有，解方程得；试用这个方法解决问题：（） A.2B.C.3D.【答案】B【解析】【分析】由，设，则，由此能求出结果．【详解】可设，则，解得：．故选：B．7.如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理可得，然后分两段：当点在边上时，，当点在边上时，，分别求出函数关系式，即可求解．【详解】∵，，， ∴，根据题意得：点到达点的时间是，到达点的时间为，点到达点的时间为，当点边上时（不含端点），，，如图，过点作于点，则，∴，∴，∴，解得：，，∴，当点在边上时，，，，如图，∴，，∴，即,综上所述，与的函数关系式为，∴函数图象第一段为过原点的开口向上的抛物线的一部分，第二段为自左向右逐渐下降的抛物线的一部分．故选：C 8.如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（）A.B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题设可得，进而有在以为直径的圆上，即圆心为中点，半径为，即可求线段CP长的最小值.【详解】由题设，即，所以在以为直径的圆上，即圆心为中点，半径为，且在内部，所以线段CP长的最小值为.故选：D二．多选题（每小题5分，少选得2分，多选不得分，共20分）9.已知关于的分式方程有整数解，且关于的不等式组的解集为，求满足条件的整数的值可以为（　　）A.﹣4B.﹣2C.﹣1D.1【答案】BD【解析】【分析】解不等式组结合不等式组的解集从而得到，逐项分析即可.【详解】解不等式组得：.因为关于的不等式组的解集为，所以，即. 因为关于的分式方程有整数解：，时，符合题意；时，由于分式方程分母为，所以不符合题意；时，，符合题意.所以或.故选：BD10.有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过实际操作，分别得出一个结论，以下四个结论正确的有（）．A.第二次操作后整式串为：，，2，，；B.第二次操作后，当时，所有整式的积为非负数；C.第三次操作后整式串中共有8个整式；D.第2023次操作后，所有的整式的和为；【答案】ABD【解析】【分析】由第一次操作得到：，2，，重复操作可判断A选项；将第二次操作后整式串为：，，2，，，相乘验证，即可判断B选项；进行第三次操作得到结果，即可判断C选项；利用前三次操作，找到其整式和与次数之间满足关系，进而判断D选项.【详解】对于A选项：由第一次操作得到：，2，，则第二次操作后整式串为：，，2，，，故选项A正确；对于B选项：由第二次操作后整式串为：，，2，，，因为，所以，所以，故选项B正确；对于C选项：由第二次操作后整式串为：，，2，，，第三次操作后为：共有9个整式，故C选项错误；对于D选项：由第一次操作得到：，2，，其和为； 由第二次操作后整式串为：，，2，，，其和为；第三次操作后为：其和为；第2023次操作后，所有的整式的和为，故D选项正确；故选：ABD.11.如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．下列结论正确的有（）A.；B.正方形绕点旋转时，四边形的面积随的长度变化而变化；C.△BEF周长的最小值为；D.【答案】AC【解析】【分析】根据三角形全等的判断可得，进而可判断A，根据等面积法即可判断B，根据垂直时距离最小，即可求解C，由勾股定理即可判断D.【详解】A四边形是正方形，，，，，，，，在和中，，故，，， ，；故A正确；由A得，故B错误；由A可知，，周长，为定值，则最小时,的周长最小，当时最小，的周长最小，此时，故周长的周长最小值．故C正确，在中，，，又．，故D错误．故选:AC．12.已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（）A.B.当时，函数的最大值为 C.关于的不等式的解为或D.若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则【答案】ACD【解析】【分析】A选项，由开口方向，与轴交点，及对称轴，求出的正负，得到A正确；B选项，当时，数形结合得到函数随着的增大而减小，从而求出最大值；C选项，结合，化简不等式，求出解集；D选项，配方得到两函数的最小值，从而得到，求出.【详解】A选项，二次函数图象开口向上，故，对称轴，故，图象与轴交点在轴正半轴，故，所以，故，A正确；B选项，因为，故，因为，所以，当时，随着的增大而减小，所以时，取得最大值，最大值为，B错误；C选项，因为，所以，，故不等式变形为，因为，，解得：或，故C正确；D选项，，当时，取得最小值，最小值为，，当时，取得最小值，最小值为，所以，即，所以，即，故D正确. 故选：ACD三．填空题（每小题5分，共20分）13.一个不透明口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，现随机取一个小球然后放回，再随机取出一个小球，则第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为______．【答案】【解析】【分析】画出树状图,借助古典概型计算即可.【详解】画出树状图:由树状图可知：基本事件的总数共有16种，其中第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号有6种，所以第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为.故答案为：.14.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围______．【答案】且．【解析】【分析】由根式性质及一元二次方程根的个数有，即可求参数范围.【详解】由题设，可得，即k的取值范围为且.故答案为：且15.如图，在菱形ABCD中，已知，以为直径的⊙O与菱形相交，则图中阴影部分的面积为____． 【答案】【解析】【分析】根据菱形的性质，即可利用三角形面积以及扇形面积公式求解.【详解】在菱形中，已知，，以为直径的与菱形相交，，，，，阴影部分的面积为：，故答案为：16.阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．解：设①，则②，①+②，得．（两式左右两端分别相加，左端等于2S，右端等于100个101的和）所以，③，所以．后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”计算：=_____．【答案】885【解析】【分析】根据“倒序相加法”的定义依次求出目标式中各个片段的和，即可得结果.【详解】令，则，有， 令，则，有，令，则，有，令，则，有，所以目标式，同理可得，故目标式的值为.故答案为：四．解答题（七小题，共70分）17.（1）计算：（2）已知，，求的值．【答案】（1）1；（2）11【解析】【分析】（1）由指数幂的运算法则及特殊角的正弦函数值计算即可得；（2）借助因式分解计算即可得【详解】（1）原式；（2）由、，则，故. 18.已知等式（1）若均为正整数，求的值；（2）设，分别是分式中的取（>>2）时所对应的值，试比较的大小，说明理由．【答案】（1）或者（2），理由见解析【解析】【分析】（1）由等式可得，结合均为正整数即可求解，（2）根据不等式的性质，结合作差法即可比较.【小问1详解】①由得：，即，②∵为正整数，，∴可知y只能为1或者2，∴当时，，当时，，即的值为：或者；【小问2详解】，理由如下：根据题条件可知，，∵，∴，设，，∵，∴，∴，∵，，∴，，即，则有：， 即，∵，∴，∴，∴，∴，结论得证．19.已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B.（1）若点C为直线AB上第二象限的点，且，求点C的坐标；（2）在（1）的条件下，直线AB上是否存在点Q，使得OAQ与BOC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，或【解析】【分析】（1）过点C作CDy轴交x轴于D，然后根据相似关系求解出，则点坐标可知；（2）根据条件结合角度大小先判断出点位置，然后采用分类讨论的方法并根据相似对应的线段比例关系求解出点坐标.【小问1详解】如图，过点C作CDy轴交x轴于D，∴AOBADC，∴，∵直线AB的解析式为， 令，则，∴，，令，则，∴，∴，，∵，∴，∴，∵点C为直线AB上第二象限的点，∴；【小问2详解】直线AB上存在点Q，使得OAQ与BOC相似；如图，由（1）知，，∴，∴，当点Q在射线AB上时，，∴BOC与AOQ不可能相似，当点Q在BA的延长线上时， 设，∵，∴，由（1）知，，，∴，∵OAQ与BOC相似，当BOCAOQ，则，，∴，∴；当，则，，∴，∴，综上所述，存在或满足条件.20.某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润；（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．【答案】（1）每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元（2）3种方案；购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元（3）答案见解析【解析】【分析】（1）列方程求解原价即可.（2）合理列出不等式组，确定方案个数，再求利润即可（3）分析一次函数单调性求解即可.【小问1详解】设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元，由题意，得：，解得：，经检验是原方程的解；∴； 故每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元；【小问2详解】设购进电冰箱x台，则购进空调台，由题意，得：，解得：，为整数，，共3种方案；，随的增大而减小，∴当时，有最大值为元，即当购买电冰箱34台时，购进空调台，利润最大，为元．【小问3详解】由题意得：，当，即：，随的增大而增大，∴当购买电冰箱36台，购进空调台，利润最大，当，即：，随的增大而减小，∴当购买电冰箱34台，购进空调台，利润最大，当，即：，每种方案的总利润相同，均为元．21.如图是体育公园步道示意图．从A处测得点B在北偏东，测得点C在北偏东，在点C处测得点B在北偏西，米．（1）求步道的长度（结果保留根号）； （2）游客中心Q在点A的正东方向，步道与步道交于点P，测得，小明和爸爸分别从B处和A处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟米，请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．（结果精确到0.1）（参考数据：，，）【答案】（1）米；（2）每分钟25.1米【解析】【分析】（1）根据题设方位角得到、，由直角三角形中余弦函数定义求的长度；（2）作交延长线于，求得，进而得到，结合已知求爸爸的速度.【小问1详解】如图从A处测得点B在北偏东，测得点C在北偏东，则，，又点C处测得点B在北偏西，则，故，易知，又米，则米.【小问2详解】作交延长线于， 由（1）知：，又，，由，则，故，，所以，故小明到达游客中心所需时间为分钟，若要同时到达，则爸爸的速度要达到每分钟米.22.如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．（1）求证：；（2）求的度数及的长；（3）若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长．【答案】（1）证明见解析（2） （3）【解析】【分析】（1）根据边角边即可求证三角形全等，（2）根据全等关系，结合等边三角形的性质即可求解，（3）根据三角形重心的性质，结合相似即可求解.【小问1详解】∵和都为等边三角形，∴∴，即，∴【小问2详解】∵；∴，设交于O，∵，∴；如图①在上取点F，使，同（1）可得∴为等边三角形，∴【小问3详解】如图②，过点Q作于G，设，∵点Q、R分别是等边和等边的重心，∴ ∵，，∴，∴，∴，∴23.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）代入，即可求解，（2）求解直线方程，根据点的坐标表达出面积的关系式，结合二次函数的性质即可求解，（3）分类讨论，根据菱形的性质，即可根据长度关系求解.【小问1详解】抛物线过将点、的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：；【小问2详解】设直线的表达式为：，则，解得，故直线的表达式为：，过点作轴的平行线交于点，设点，则，面积，，故有最大值，当时，的最大值为；小问3详解】抛物线的表达式为：，则平移后的抛物线表达式为：，联立上述两式并解得：，故点；设点、点，而点、的坐标分别为、； ①当为菱形的边时，点向右平移1个单位向上平移3个单位得到，同样（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到（D），即且①或且②，当点在的下方时，则，即③，当点在的上方时，则，即④，联立①③并解得：，或（舍去，故点；联立②④并解得：，，故点或；②当为菱形的对角线时，则由中点公式得：且⑤，此时，，即⑥，联立⑤⑥并解得：，，故点，综上，点的坐标为：或或或．【点睛】方法点睛：二次函数抛物线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.