湖南省邵阳市2023-2024学年高一上学期拔尖创新人才早期培养竞赛（初赛）数学Word版无答案.docx

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2023年拔尖创新人才早期培养学科知识竞赛（初赛）数学试题温馨提示:1.时量100分钟，满分150分。2.请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上。3.请你在答题卡上作答，答在本卷上无效。一．单选题（每小题5分，共40分）1.已知一元二次方程有一个根为零，则（　　）A.1B.C.1或D.或42.如果将一组数据5、4、6、5、4、13、5依次重复写10次，会得到70个数组成的一组新数据，关于这组新数据的中位数、众数、平均数，下列说法正确的是（　　）A.中位数和众数都是5B.众数是10C.中位数是4D.中位数、平均数都是53.已知函数与图象的交点为，，，则不等式的解为（　　）A.或B.或或C.或D.或4.已知实数满足且，则的值为（）A.B.C.D.25.圆内切于正三角形，半径为R，圆与圆及，均相切，圆的半径为r，则等于（）A.4B.2C.3D.56.割圆术是我国古代数学家刘微创造一种求周长和面积的算法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．这一思想在数学领域中有广泛的应用．例如：求值．则可以设，根据上述思想方法有，解方程得 ；试用这个方法解决问题：（）A.2B.C.3D.7.如图，中，，，，点从点出发，以速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（　　）A.B.C.D.8.如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（）A.B.2C.D.二．多选题（每小题5分，少选得2分，多选不得分，共20分）9.已知关于的分式方程有整数解，且关于的不等式组的解集为，求满足条件的整数的值可以为（　　）A.﹣4B.﹣2C.﹣1D.110.有依次排列的2个整式：， ，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过实际操作，分别得出一个结论，以下四个结论正确的有（）．A.第二次操作后整式串为：，，2，，；B.第二次操作后，当时，所有整式的积为非负数；C.第三次操作后整式串中共有8个整式；D.第2023次操作后，所有的整式的和为；11.如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．下列结论正确的有（）A.；B.正方形绕点旋转时，四边形的面积随的长度变化而变化；C.△BEF周长的最小值为；D.12.已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（）A.B.当时，函数的最大值为C.关于的不等式的解为或D.若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 三．填空题（每小题5分，共20分）13.一个不透明口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，现随机取一个小球然后放回，再随机取出一个小球，则第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为______．14.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围______．15.如图，在菱形ABCD中，已知，以为直径的⊙O与菱形相交，则图中阴影部分的面积为____．16.阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．解：设①，则②，①+②，得．（两式左右两端分别相加，左端等于2S，右端等于100个101的和）所以，③，所以．后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”计算：=_____．四．解答题（七小题，共70分）17.（1）计算：（2）已知，，求的值．18.已知等式（1）若均为正整数，求值；（2）设，分别是分式中的取（>>2）时所对应的值，试比较的大小，说明理由． 19.已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B.（1）若点C为直线AB上第二象限的点，且，求点C的坐标；（2）在（1）条件下，直线AB上是否存在点Q，使得OAQ与BOC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．20.某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润；（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．21.如图是体育公园步道示意图．从A处测得点B在北偏东，测得点C在北偏东，在点C处测得点B在北偏西，米．（1）求步道的长度（结果保留根号）；（2）游客中心Q在点A的正东方向，步道与步道交于点P，测得，小明和爸爸分别从B处和A处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟 米，请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．（结果精确到0.1）（参考数据：，，）22.如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．（1）求证：；（2）求的度数及的长；（3）若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长．23.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由