湖南省涟源市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含解析.docx

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全国名校《选择性必修第一册、第二册》模块测试数学试卷注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。3．本卷命题范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册。一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知直线l：的倾斜角为60°，则实数A．B．C．D．2．在等差数列中，，则的值是A．72B．48C．36D．243．方程表示一个圆，则m的取值范围是A．B．C．D．4．已知空间向量，，若，则A．B．C．D．5．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是A．B．C．或D．或6．若数列满足，且，，，则A．B．C．D．7．已知F为抛物线C：（）的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点，若，则A．1B．2C．3D．4 8．下列关于函数的判断正确的是①的解集是；②是极小值，是极大值；③没有最小值，也没有最大值；④有最大值，没有最小值．A．①③B．①②③C．②④D．①②④二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小随给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．函数的导函数的图象如图所示，则A．为函数的零点B．为函数的极小值点C．函数在上单调递减D．是函数的最小值10．已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，则下列选项中正确的是A．B．（）C．D．11．设，为双曲线C：（，）的左，右焦点，过左焦点且斜率为的直线l与C在第一象限相交于一点P，则下列说法正确的是A．直线l倾斜角的余弦值为B．若，则C的离心率C．若，则C的离心率D．不可能是等边三角形12．已知函数（），则A．当时，函数存在极值点B．若函数在点处的切线方程为直线，则C．点是曲线的对称中心 D．当时，函数有三个零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．曲线在处的切线方程为．14．若圆C：被直线平分，则圆C的半径为．15．若过点可以作三条直线与函数相切，则实数a的取值范围是．16．已知数列是正项数列，是数列的前n项和，且满足．若，是数列的前n项和，则．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）已知函数（a，）的图象过点，且．（1）求a，b的值﹔（2）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积．18．（12分）已知圆C的圆心在x轴上，并且过，两点．（1）求圆C的方程；（2若P为圆C上任意一点，定点，点Q满足，求点Q的轨迹方程．19．（12分）已知等差数列的首项为1，其前n项和为，且是2与的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）若是数列的前n项和，求证：．20．（12分）已知M，N分别为双曲线：和双曲线：上不与顶点重合的点，且MN的中点在双曲线的渐近线上，设OM，ON的斜率分别为，． （1）求证为定值；（2）判断△MON的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．21．（12分）如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，，，，三角形PAB是等腰三角形．（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；（2）求直线PB与平面PCD所成角的大小．22．（12分）已知函数（）．（1）当，求函数的极值；（2）若，是方程的两个不同实根，证明：． 全国名校《选择性必修第一册、第二册》模块测试·数学参考答案、提示及评分细则1．B已知直线l：的倾斜角为60°，则直线l：的斜率为，则．2．C由题设，，则，所以．3．C由，得，解得．4．A因为，所以，故．5．D由题知表示焦点在y轴上的椭圆，则有：，解得或．6．A令，，令，则，所以，所以数列是首项和公比都为的等比数列，所以．7．B抛物线C的方程为C：（），则其焦点，设直线AB的方程为，由可得，，，，根据抛物线定义，，，因为，所以，所以 ，即，解得．8．D对于①，，若，则，解得，∴的解集是，①正确；对于②，∵，令，则，解得，∴在，上单调递减，在上单调递增，则是极小值，是极大值，②正确；对于③④，当时，则；当时，在上单调递增，在上单调递减，则；综上所述：对，，即为的最大值，无最小值；故③错误，④正确．故选D．9．BC由的图象可知，在和上单调递增，在和上单调递减，所以为的极小值点，所以B，C均正确；是的零点，但不一定是的零点，所以A错误；是函数的极小值，但不一定是最小值，所以D错误．故选BC．10．ABC设等差数列的公差为d，由于，，成等比数列，所以，即，所以，解得或（舍去），所以，．所以，A项正确；，，由于，所以（），B选项正确：，，所以C选项正确，D选项错误．故选ABC．11．AD设直线倾斜角为，则，所以，故A正确；P在第一象限内，若，则，；由余弦定理很，整理得 ，解得或（舍），故B错误；若，则，，由余弦定理得，整理得，解得或（舍），故C错误；由，知不可能为等边三角形，故D正确．故选AD．12．BC由（），可得．对于A，当时，，在R上单调递增，故函数不存在极值点，故A错误；对于B，由切线方程知，解得，故B正确；对于C，因为，所以函数关于成中心对称，故C正确；对于D，当时，，当或时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为，故函数一定不会有3个零点，至多1个零点，故D错误．故选BC．13．根据题意可得，则当l时，，，所以曲线在处的切线方程为，整理得．14．若圆C被直线平分，则直线过圆心，圆C：的圆心为，即，解得，则圆C：，则圆C的半径为．15．设切点，由可得，切线的斜率为 ，所以切线的方程为．又因为点在切线上，所以，即有三个不同的实数解，不是方程的解，所以有三个不同的实数解．令，，当，时，，单调递增，当时，，单调递减，，当t趋于0时，趋于正无穷，所以．16．∵，∴（），∴，∴，∴，∴，∴（），当时，符合，∴，（），当时，符合，∴，，．17．解：（1）由，得，由题意可得，，解得．（2）由（1）得，，，∴，，曲线在点处的切线方程为，即．取，得，取，得，∴曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积．18．解：（1）由题意可知，AB的中点为，，所以AB的中垂线方程为， 它与c轴的交点为圆心．又半径，所以圆C的方程为．（2）设，，由，得，所以，又点P在圆C上，故，所以，化简得Q的轨迹方程为．19．（1）解：设等差数列的公差为d，由题意，即，解得，∴，即数列的通项公式为（）．（2）证明：∵，∴．20．（1）证明：设，，则，．由MN的中点在双曲线的渐近线上，则，即， ∴，∴为定值．（2）解：△MON的面积为定值．OM：，①：，②联立①②得：，同理，，设N到直线OM的距离为d，又，则，∴由（1）知：，∴，即△MON的面积为定值1．21．（1）证明：在△ABC中由余弦定理得，解得，所以，即AB⊥AC．又因为AB∥CD，所以CD⊥AC，因为PA⊥平面ABCDE，平面ABCDE，所以PA⊥CD，因为，AC，平面PAC，所以CD⊥平面PAC，又因为平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC．（2）解：因为PA⊥平面ABCDE，AB，平面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AC，由（1）得AB⊥AC，所以PA，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则，，， 过E作EF⊥AC交AC于F，所以EF∥CD∥AB，因为，，所以，又因为ED∥AC，所以，，所以，，．设平面PCD的法向量，所以，即，取，则．设直线PB与平面PCD所成角为，所以．所以直线PB与平面PCD所成角为．22．（1）解：∵（），∴．当时，，由，得，由，得，即在上单调递增，在上单调递减．∴在处取得极大值，且极大值为，无极小值．（2）证明： ∵，是方程的两个不同实根，∴，∴，，即，．设，则，∴当时，，当时，，故在上单调递，在上单调递增．由题意设，欲证，只需证，又，，在上单调递增，故只需证．∵∴只需证对任意的恒成立即可，即，整理得，即．设，，则．∵，∴， ∴，∴在上单调递减，则，∴成立．