河北省金科大联考2023-2024学年高三上学期1月期末质量检测试题 数学 Word版含解析.docx

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金科大联考·2024届高三1月质量检测数学试卷全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知，若为纯虚数，则（）A.B.C.D.3.设，若，则（）A.B.C.D.4.已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（）A.B.C.D.5.设函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（）A.B.C.D.6.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作.若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（） A.B.C.D.7.已知正方形的边长为1，将正方形绕着边旋转至分别为线段上的动点，且，若，则的最小值为（）A.B.C.D.8.已知双曲线的离心率为2，左､右顶点分别为，右焦点为，是上位于第一象限的两点，，若，则（）A.B.C.D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知甲､乙两组数据分别为，和，若甲､乙两组数据的平均数相同，则（）A.甲组数据的中位数为10B.乙组数据的第75百分位数为9.5C.甲､乙两组数据的极差相同D.甲组数据的方差小于乙组数据的方差10.已知圆台上､下底面半径分别为1，2，且上下底面圆周均在半径为的球的球面上，则该圆台的体积可能为（）A.B.C.D.11.在平面直角坐标系中，已知圆，圆是圆的一条直径，点在圆上，设直线为两圆的公切线，则（）A.圆和圆外切B.直线斜率的最小值为0 C.直线斜率的最大值为D.面积的最大值为712.已知，则（）A.B.C.D.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知为定义在上的奇函数，当时，且，若，则__________.14.设等差数列的前项和为，若，则__________.15.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于原点对称，且在上单调递减，则__________.16.已知椭圆为的左､右焦点，为上的一个动点（异于左右顶点），设的外接圆面积为，内切圆面积为，则的最小值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）记锐角中内角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）若，且，求的面积.18.（本小题满分12分）一个骰子各个面上分别写有数字，现抛掷该股子2次，记第一次正面朝上的数字为，第二次正面朝上的数字为，记不超过的最大整数为.（1）求事件“”发生的概率，并判断事件“”与事件“”是否为互斥事件；（2）求的分布列与数学期望.19.（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，平面，在棱上，平面，设.（1）求；（2）若点到平面的距离为1，求直线与平面所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）设为数列的前项和，已知为等比数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）已知，设，记为数列的前项和，证明：.21.（本小题满分12分）已知抛物线，过焦点的直线与交于两点，且的最小值为2.（1）求的方程；（2）过且与垂直的直线交于两点，设直线的中点分别为，过坐标原点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若是的极小值点，求的取值范围. 金科大联考·2024届高三1月质量检测·数学参考答案､提示及评分细则题号12345678答案CBCDABAD题号9101112答案ADACBCDABD一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【解析】由，解得，所以，由，解得，所以，，故选C.2.【答案】B【解析】由为纯虚数，得，解得，所以，故选B.3.【答案】C【解析】，因为，所以，故，解得，故选C.4.【答案】D【解析】如图所示，由平行四边形法则，在方向上的投影向量为，故选D. 5.【答案】A【解析】依题意，在上恒成立，易知在上恒成立，在上单调递增，所以只需，解得，故选A. 6.【答案】B【解析】不考虑甲是否去场馆，所有志愿者分配方案总数为，甲去场馆的概率相等，所以甲去场馆或的总数为，甲不去场馆，分两种情况讨论，情形一，甲去场馆，场馆有两名志愿者共有种；情形二，甲去场馆，场馆场馆均有两人共有种，场馆场馆均有两人共有种，所以甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为，故选B.7.【答案】A【解析】由于，则，在中，利用余弦定理求出，过作的垂线，垂足为，由，可知平面，又平面，所以，所以，不妨设，则，所以由余弦定理得，，故选A. 8.【答案】D【解析】设双曲线的焦距为，左焦点为，离心率，则，由余弦定理得，所以，又，所以，设，则 ，所以，所以，故选D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】AD【解析】甲组共有5个数据，从小到大排列后，10为中间数字，所以甲组数据的中位数为选项正确；甲､乙两组数据的平均数均为10，所以，乙组数据从小到大排列为，所以乙组数据的第75百分位数为选项错误；甲组数据极差为4，乙组数据极差为选项错误；两组数据平均数相同，乙组数据离散程度更大，方差更大，D选项正确，故选AD.10.【答案】AC【解析】设圆台外接球球心为，球心到上，下底面的距离为，则，解得，同理可得，若位于上下底面之间，则圆台的高为，此时圆台体积为，若位于下底面下方，则圆台的高为，此时圆台体积为，故选AC.11.【答案】BCD【解析】，因为，所以和外离，选项错误；直线与和均相切，所以直线斜率的最小值为选项正确； 直线的斜率，设直线斜率最大时的倾斜角为，由可知，直线斜率的最小值为0，则，所以直线斜率的最大值为.C选项正确；易知，当时，面积取得最大值为，选项正确，故选.12.【答案】ABD【解析】依题意，由于，所以，所以，解得，A选项正确；要证，只需证，即证，设，则，所以单调递减，，所以选项正确；要证，只需，即，设，则，因为均单调递增，所以单调递增，，所以存在使得，所以在上单调递减，因为，所以，C选项错误；要证，只需，即，因为，所以，D选项正确，故选ABD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】2【解析】依题意，，解得，又，所以，故，解得.14.【答案】110【解析】因为，所以.15.【答案】3 【解析】由题意知图象关于原点对称，且在上单调递减，因此，解出，则，于是在上单调递增，因此解出，又由于，且，则.16.【答案】【解析】易知，设，外接圆半径为，则，即，由余弦定理得，整理可得，所以的面积，故的内切圆半径，所以，因为，所以 ，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.【答案】（1）（2）【解析】（1）由条件及正弦定理得而，所以，因此，由于，则，得因此是锐角三角形，因此均存在，所以，故；（2）由（1）可知，，则，且，故，利用正弦定理得，解出，，故，因此面积.18.【答案】（1），事件“”与事件“”不能同时发生，为互斥事件；（2）分布列见解析，【解析】（1）当取取值为时，，当取取值为时，，当取取值为时，，当取取值为1，2时，， 当取取值为1时，，所以，当时，，事件“”与事件“”不能同时发生，为互斥事件；（2）的取值为，取值为时，，取值为时，，取值为时，，取值为时，，取值为时，，取值为时，，所以的分布列为0123456所以.19.【答案】（1）（2）【解析】（1）连接，相交于，由可知，平面平面， 由平面可知，，则；（2）易知，又，所以，由于，所以，又平面平面，所以，因为，所以平面，所以平面平面，又平面平面，过作垂直于，则平面，所以，设，对使用等面积法可得，解得，建立空间直角坐标系如图所示，，由，可得，因为平面，所以为平面的一个法向量，因为，所以为的中点，所以，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.20.【答案】（1）（2）略 【解析】（1）依题意，，所以，数列的公比为2，又，所以（2）证明：由（1）知，，当时，，所以，所以，则，因此.21.【答案】（1）（2）存在定点，使得为定值【解析】（1）设直线，与抛物线方程联立可得，设，则，，所以的方程为；（2）由（1）可知，，所以，同理可得，直线斜率为，所以直线，即， 所以直线过定点，因为，所以在以为直径的圆上，所以存在定点，使得为定值.22.【答案】（1）详解见解析（2）【解析】（1）当时，，设，则，所以当时，单调递增，当时，单调递减，当时，取得极大值，所以，所以在上单调递减；（2），设，则，（i）当时，二次函数开口向上，对称轴为，当时，单调递增，因为，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以是的极小值点.当时，，又，所以存在，使得，所以当时，单调递增，又，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以是的极小值点； （ii）当时，，当时，单调递减，当时，，单调递增，所以是的极小值点；（iii）当时，开口向下，对称轴为，此时，故，使，因此在上单调递增，又，当时，单调递减，当时，单调递增，所以为的极小值点；（iv）当时，，使，因此在上单调递减，又，当时，单调递增，当时，单调递减，所以为的极大值点；（v）当时，由（1）知非极小值点.