天津市河北区2023-2024学年高三上学期期末质量检测试题 数学 Word版含解析.docx

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河北区2023-2024学年度第一学期期末高三年级质量检测数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.第Ⅰ卷（选择题共45分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互独立，那么球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数的部分图像大致为（）A.B. C.D.4.若，则的大小关系为（）A.B.C.D.5.底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为（）A.B.C.32，24D.32，66.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却方程来描述：设物体的初始温度为，环境温度为，经过一段时间（单位：分钟）后物体的温度是，满足.将85℃的热水放到21℃的房间中，如果热水降到37℃需要16分钟，那么从37℃降到29℃还需要多少分钟？（）A.2B.4C.6D.87.函数最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则下列命题中不正确的是A.函数图象的两条相邻对称轴之间距离为；B.函数图象关于对称；C.函数图像关于对称；D.函数在内为单调减函数.8.若双曲线的离心率为2.抛物线的焦点为，抛物线的准线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的焦距为（）A2B.4C.D.9.如图，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，则等于（） A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将案写在答题纸上）10.是虚数单位，则复数共轭复数为______.11.已知，若的展开式中含项的系数为40，则______.12.将直线向右平移一个单位后，被圆截得的弦长为，则______.13.甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为______；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为______.14.已知，则的最小值为______.15.若函数恰有两个不同的零点，且，则的取值范围为______.三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.在中，角的对边分别为，已知，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.17.如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，为的中点. （1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上有一点，满足，求证：平面.18.设椭圆的左右焦点分别为，短轴的两个端点为，且四边形是边长为2的正方形.分别是椭圆的左右顶点，动点满足，连接，交椭圆于点.（1）求椭圆的方程；（2）求证：为定值.19.已知是等差数列，其公差不等于，其前项和为是等比数列，且.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）记，求的前项和.20已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数单调区间；（3）在（2）的条件下，当时，，求实数的取值范围. 河北区2023-2024学年度第一学期期末高三年级质量检测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.第Ⅰ卷（选择题共45分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互独立，那么球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集运算，直接求交集即可.【详解】由，，可得.故选：B.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】【分析】分别求出两个命题，得到递推关系，最后得到充分性和必要性即可.【详解】由，解得，由，解得，所以“”是“”的充要条件，故选：C3.函数的部分图像大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除两个答案，再根据时，函数值的正负可得正确答案.【详解】因为，所以为偶函数，排除A,D；当时，，故排除C；故选B【点睛】本题考查根据函数的解析式选择对应函数图象，考查数形结合思想的应用，求解时要充分利用函数的性质和特殊点寻找解题的突破口.4.若，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数单调性，判断出的范围，从而可得答案．【详解】因为是单调递减函数，所以，因为在上单调递增，所以，因为是单调递减函数，，综上，，故选：A．5.底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为（）A.B.C.32，24D.32，6【答案】A【解析】【分析】由正四棱锥的结构特征求高、斜高，根据体积、侧面积公式求结果.【详解】由正四棱锥底面为正方形，且底面中心为顶点在底面上射影，结合题设，底面对角线长为，则棱锥的高，斜高为，所以正四棱锥的体积为，侧面积为.故选：A.6.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却方程来描述：设物体的初始温度为，环境温度为，经过一段时间（单位：分钟）后物体的温度是，满足.将85℃的热水放到21℃的房间中，如果热水降到37℃需要16分钟，那么从37℃降到29℃还需要多少分钟？（）A.2B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】由题设，将代入并应用指数运算求得，再将代入公式求从37℃降到29℃需要的时间.【详解】由题设，可得，所以，则，可得.故选：D7.函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则下列命题中不正确的是A.函数图象的两条相邻对称轴之间距离为；B.函数图象关于对称；C.函数图像关于对称；D.函数在内单调减函数.【答案】C【解析】【分析】本题首先可通过函数的解析式得出函数的解析式，再通过函数的解析式得出函数的对称中心横坐标，即可得出答案．【详解】将函数的图像向左平移个单位后得到，函数的对称中心横坐标为，即，C选项错误，故选C．【点睛】一般地，我们研究函数的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们可以先确定的单调性，再通过函数的单调性确定外函数的单调区间后求出的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心． 8.若双曲线的离心率为2.抛物线的焦点为，抛物线的准线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的焦距为（）A.2B.4C.D.【答案】D【解析】【分析】由题可得代入双曲线，即可得解.【详解】抛物线的准线交双曲线于两点.设，,到准线距离为,为等边三角形,代入双曲线,可得，解得，故选:D．9.如图，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到，运用向量的加减运算和向量中点的表示，结合向量数量积的定义和性质，将向量用，表示，计算即可得到结果．【详解】平行四边形，，，，，可得， 是线段的中点，可得，；，则．故选：C第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将案写在答题纸上）10.是虚数单位，则复数的共轭复数为______.【答案】【解析】【分析】根据复数除法运算和共轭复数概念即可.【详解】，则其共轭复数为，故答案为：.11.已知，若的展开式中含项的系数为40，则______.【答案】【解析】【分析】求出展开式的通项公式，然后令的指数为4，由此建立方程即可求解【详解】展开式的通项公式为，令，解得，所以项的系数为，解得,又，所以 故答案为：12.将直线向右平移一个单位后，被圆截得的弦长为，则______.【答案】3或【解析】【分析】求出平移后直线的方程，再根据平移后的直线被圆截得的弦长，列式计算，即可得答案.【详解】由题意将直线向右平移一个单位后，得到的直线的方程为，圆的圆心到该直线的距离为，由于直线被圆截得的弦长为，故，解得或，故答案为：3或13.甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为______；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为______.【答案】①.②.【解析】【分析】利用互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式，分别计算对应概率，即可选出答案.根再根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】甲射击目标恰好命中两次的概率为，则甲乙二人全部命中的概率为，两人至少命中两次为事件A,甲恰好命中两次为事件B,，，所以.故答案为：,. 14.已知，则的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】先将式子化简消去分子的，进而利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.故答案为：.15.若函数恰有两个不同的零点，且，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】题意转化为方程恰有两个不同的根，即与恰有两个不同的交点，数形结合可求得结果.【详解】由题意函数恰有两个不同的零点，，且，即方程恰有两个不同的根，，且显然，即与恰有两个不同的交点，设与相切，则有两个等根，由即 ，解得或.所以当时，与的图象如图所示，当时，与的图象如图所示，所以当时，与恰有两个不同的交点，即方程恰有两个不同的根,当时，对应的直线与相切，解得切点横坐标为，当时，对应的直线与相交，解得两交点横坐标为和1， 又，所以函数与恰有两个不同的交点，则.所以的取值范围为.故答案为：.【点睛】思路点睛：函数恰有两个不同的零点，，即转化为函数与恰有两个不同的交点，数形结合找到相切时的临界情况运算得解.三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.在中，角的对边分别为，已知，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先根据正弦定理求得的关系，然后结合已知条件求得的关系，最后根据余弦定理求解出的值；（2）先求解出，然后根据正弦定理求解出；（3）先根据二倍角公式求解出的值，然后根据两角和的正弦公式求解出结果.【小问1详解】，由正弦定理可得，. 由余弦定理可得.【小问2详解】，由正弦定理，得，.小问3详解】，.17.如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，为的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角正弦值；（3）线段上有一点，满足，求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题设知、，再由线面垂直的判定、性质证结论；（2）由面面垂直的性质得，构建空间直角坐标系，应用向量法求线面角；（3）根据（2）坐标系，向量法证明线面平行即可. 【小问1详解】由为的中点，得.四边形为直角梯形，且，所以四边形为正方形，则，又，面，所以平面，平面，则.【小问2详解】面面，且，面面，面，所以平面，平面，则，故两两垂直，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.三角形为等腰直角三角形，且，则，故.平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，即直线与面所成角正弦值为.【小问3详解】由（2）知，而，得，故，且，设面的法向量为，则，取，得. 所以，且平面，故平面.18.设椭圆的左右焦点分别为，短轴的两个端点为，且四边形是边长为2的正方形.分别是椭圆的左右顶点，动点满足，连接，交椭圆于点.（1）求椭圆的方程；（2）求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题设得，结合椭圆参数关系即可得方程；（2）设直线的方程为，联立椭圆并应用韦达定理求坐标，根据已知确定坐标，再由向量数量积的坐标表示求，即可证.【小问1详解】由题设，，得，椭圆的方程为.【小问2详解】由（1）知，由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，联立， 消去得，其中是直线与椭圆一个交点，所以，则，代入直线得，故.又，将代入，得，则.所以，为定值.19.已知是等差数列，其公差不等于，其前项和为是等比数列，且.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）记，求前项和.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则和的通项公式可求；（2）利用错位相减法求解出；（3）先将的通项公式裂项为，然后采用裂项相消法求和.【小问1详解】设数列的公比为，，，即， 整理得，，，.【小问2详解】，设，则，将以上两式相减得：，.【小问3详解】，.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）在（2）的条件下，当时，，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）单调递减区间是，单调递增区间是 （3）【解析】【分析】（1）当时，分别求出的值即可得解.（2）对函数求导，令，得或，且满足，进一步即可得解.（3）由题意只需，即，解不等式即可得解.【小问1详解】时，，，整理得.曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】，，令，，解得或，且满足.当变化时，的变化情况如下表：2-0+0-极小值极大值 函数单调递减区间是，单调递增区间是.【小问3详解】由（2）可知，函数在区间单调递增，在区间单调递减，，解得，，实数的取值范围为.【点睛】关键点睛：第二问的关键是将极值点先求出来，然后根据导数与单调性的关系即可得解，第三问的关键是由，列出相应的不等式，从而即可顺利得解.