湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期第一次调研数学试题（原卷版）.docx

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长沙市湖南师大附中2024届高三第一次调研数学试卷本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．3．非选择题是必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和徐改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．一、单选题（本大题8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（）A.B.C.D.3.“函数的图象关于对称”是“，”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量，则与夹角的余弦值为（） A.B.C.D.5.已知是等差数列的前n项和，是数列的前n项和，若，则（）A.B.C.D.6.函数的图象不可能是（）A.B.C.D.7.已知正方体的棱长为，为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（）A.B.C.D.8.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法中，正确的是（） A.用简单随机抽样方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1B.一组数据的第60百分位数为14C.若样本数据的方差为8，则数据的方差为2D.将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，若，则总体方差10.如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（）A.B.C.函数在上单调递减D.若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为11.已知直线：与圆：，若存在点，过点向圆引切线，切点为，，使得，则可能的取值为（）A.2B.0C.D.12.已知函数，，则（）A.与定义域不同，与的值域只有1个公共元素B.在与的公共定义域内，的单调性与的单调性完全相反C.的极小值点恰好是的极大值点，的极大值点恰好是的极小值点 D.函数既无最小值也无最大值，函数既有最小值也有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.一组数据为3，5，1，6，8，2，记这组数据上四分位数为，则二项式展开式的常数项为__________．14.已知数列满足，设数列的前项和为，则=________15.在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为______．16.已知函数，若，则关于的不等式的解集为______．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．17.在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积，求的周长.18.记为数列的前项和，已知，且，.（1）证明：为等差数列；（2）求的通项公式；（3）若，求数列前项和.19.如图，在三棱锥中，和都是正三角形，E是的中点，点F满足． （1）求证：平面平面；（2）若，且平面，求的长．20.某学校有1000人，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验1000次，统计专家提出了一种方法：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这10个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设某学校携带病毒的人数有10人．（）（1）用样本的频率估计概率，若5个人一组，求一组混合血样呈阳性的概率；（2）用统计专家这种方法按照5个人一组或10个人一组，问哪种分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少？为什么？21.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右和上顶点，直线交直线于点，且点的横坐标为2．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于第二象限内两点，且在之间，与直线交于点，试判断直线与是否平行，并说明理由．22已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.