湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析.docx

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雅礼教育集团2023年高一下学期期末考试试卷数学试题时量：120分钟分值：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义运算即可.【详解】因为，，所以，故选：C.2.函数定义域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据分式和偶次根式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果.【详解】由题意得：得：且，定义域为.故选：C.3.将化为的形式是（）AB.C.D.【答案】B 【解析】【分析】直接由终边相同的角的概念求解即可.【详解】由知.故选：B.4.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（）A.若且，则B.若，则C.若，则D.若且，则【答案】B【解析】【分析】利用不等式性质，结合特殊值法，即可判断选项正误.【详解】A中，有，错误；B中，时，成立，正确；C中，时，，错误；D中，由题设，当时，，错误；故选：B5.函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（） A.，，，B.，，，C.，，，，D.，，，，【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.故选：C．6.若角，均为锐角，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的正弦公式计算作答.【详解】角，均为锐角，即，而，则，又，则，所以，.故选：B 7.将函数和直线的所有交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，An，若P点坐标为（0，1），则（）A.B.C.D.0【答案】A【解析】【分析】在同一坐标系中作出和g(x)=x﹣1的图象，所有交点从左到右依次记为A1，A2，A3，A4，A5根据为的一个对称点，得到关于对称，关于对称，再用中点坐标公式得到求解.【详解】由题意作出图象如图，共得5个交点，根据余弦函数的中心对称性可知，和，和关于对称，，，∴.故选：A.8.定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】构造函数，由单调性的定义可判断得在上单调递增，再将题设不等式转化为，利用的单调性即可求解.【详解】令，因为对，且，都有成立，不妨设，则，故，则，即，所以在上单调递增，又因为，所以，故可化为，所以由的单调性可得，即不等式的解集为.故选：D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可能是（）A.3B.4C.5D.6【答案】BCD【解析】【分析】由必要条件、充分条件的定义即可得出结果．【详解】∵－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件，∴{x|－1＜x＜4}Ü{x|－3＜x＜a}，∴a≥4，∴实数a的值可以是4，5，6．故选：BCD．10.若，，，，则下列各式中，恒等的是（）A.B. C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据对数的运算法则、换底公式逐一判断得解.【详解】因为，，，，对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，当时，，C错误；对于D，，D正确.故选：BD11.下列说法正确的是（）A.向量与共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件B.若，则存在唯一实数使得C.已知，则与的夹角为锐角的充要条件是D.在△ABC中，D为BC的中点，若，则是在上的投影向量【答案】ACD【解析】【分析】根据向量共线和必要不充分条件定义可判断A；根据向量共线的充要条件可判断B；根据向量夹角的坐标运算可判断C；由平面向量加法和的平分线表示的向量平行的向量可得为的平分线，又因为为的中线可判断D.【详解】对于A选项：A，B，C，D四点共线向量与共线，反之不成立，所以A正确；对于B选项：当，时，不存在实数使得，当，时，存在无数个实数使得，故B错误； 对于C选项：因为，，所以，则与的夹角为锐角的充要条件是且与不同向共线，即，且，解得，则实数取值范围是，故C正确；对于D选项：由平面向量加法可知：为“与的平分线表示的向量平行的向量”因为，所以为的平分线，又因为为的中线，所以，所以是在的投影向量，故选项D正确.故选：ACD.12.函数的图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A.函数的最大值为3B.函数关于点对称C.函数在上单调递减D.函数的最小正周期为【答案】AD【解析】【分析】根据给定的函数图象求出函数，进而求出，再借助余弦函数的图象和性质，逐项判断即可.【详解】观察图象知，，函数的周期有，，即，则， 显然，则，即，因此，，函数的最大值为3，A正确；，B错误；，，函数在上单调递增，C错误；函数的最小正周期为，D正确.故选：AD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分13.命题“，”否定是_________.【答案】，.【解析】【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定写出结论即得.【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“，”否定是：，.故答案为：，.14.若是R上的减函数，则实数a的取值范围为___________.【答案】.【解析】【分析】分段函数单调递减，则每一段均为递减函数，且在分段处，左边的函数值大于等于右边的函数值，从而得到不等式组，求出实数a的取值范围.【详解】由题意得：，解得：，故实数a的取值范围为.故答案为：. 15.把函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，然后把图象向左平移个单位，则所得图形对应的函数解析式为__________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求解.【详解】将函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，可得的图象，再向左平移个单位，所得图象的解析式为，即.故答案为：16.若，则__________.【答案】或【解析】【分析】利用齐次式法列式，求解方程即得.【详解】由，得，即，整理得，所以或.故答案为：或四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合，.（1）当时，求与；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1），； （2）.【解析】【分析】（1）把代入求出集合，再利用交集、并集的定义求解即得.（2）利用给定交集的结果，结合集合的包含关系列式求解即得.【小问1详解】当时，，而，所以，.【小问2详解】由，得，则，解得，所以实数a的取值范围是.18.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数的最大值与最小值．【答案】（1），（2）最大值，最小值-2，【解析】【分析】（1）根据辅助角公式化简，利用整体换元法即可求解增区间，（2）由二倍角公式和辅助角公式化简，由整体法即可求解最值.【小问1详解】由于,故，解得，,故函数的单调递增区间为，【小问2详解】 当时，，故当时，取最小值-2，当时，取最大值.19.已知函数（）是奇函数,是偶函数.（1）求;（2）判断函数在上的单调性并说明理由;（3）若函数满足不等式,求出的范围.【答案】（1）3;（2）单调递增,理由见解析;（3）.【解析】【分析】(1)根据奇偶性的定义将点代入求出即可;(2)先判断单调性,再用单调性定义证明,注意变形时需要变到几个因式乘积;(3)根据的奇偶性,将不等式化为,再根据的单调性及定义域写出范围解出即可.【小问1详解】解:由题知（）是奇函数,,是偶函数,,,,故;【小问2详解】在上的单调递增,理由如下:由(1)知, 任取,,,,故在上的单调递增;【小问3详解】由(1)(2)知是奇函数且在上的单调递增,,,,故.20.某科技企业决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本（万元），当年产量不足80台时，，当年产量不小于80台时，，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完. （1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润.【答案】20.；21.90台，1500万元.【解析】【分析】（1）考虑和两种情况，根据计算得到答案.（2）利用二次函数性质和均值不等式依次计算分段函数的最值，比较得到答案.【小问1详解】当，时，；当，时，，所以年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式是.【小问2详解】当，时，，当时，最大值为；当，时，，当且仅当，即时取等号，而，所以当时，有最大值为.21.已知向量，，函数，.（1）若的最小值为-1，求实数的值； （2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数即可．（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．试题解析：（1）∵，，∴，∵∴，，令，∴∵，对称轴为，①当即时，当时，∴舍，②当即时，当时，∴，③当即是，当时，∴舍，综上，.（2）令，即， ∴或，∵，有四个不同的零点，∴方程和在上共有四个不同的实根，∴∴∴.22.已知函数的图象过点，.（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上有零点，求整数k的值；（3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围.【答案】（1）；（2）的取值为2或3；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；（2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函数在上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得的最大值，得出，得到，设，结合单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得，所以函数的解析式为.（2）由（1）可知，，令，得，设，则函数在区间上有零点， 等价于函数在上有零点，所以，解得，因为，所以的取值为2或3.（3）因为且，所以且，因，所以的最大值可能是或，因为所以，只需，即，设，在上单调递增，又，∴，即，所以，所以m的取值范围是.【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；