四川省叙永第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 Word版含解析.docx

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叙永一中高2023级高一上期期末考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．第I卷选择题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，，则（）A.B.C.D.2.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知幂函数在上是减函数，则的值为（）A.3B.C.1D.5.设，若关于的不等式在上有解，则（）A.B.C.D.6.若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）A.B.C.D.7.2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中 为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米/秒．在保持不变的情况下，若吨，假设要使超过第一宇宙速度达到千米/秒，则至少约为（结果精确到，参考数据：，）（）A.吨B.吨C.吨D.吨8.将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列关系正确是（）A.B.C.D.Ü10.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.的定义域为RB.是奇函数C.在定义域上是减函数D.无最小值，无最大值11.已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（    ）A.在区间上有且仅有个不同的零点B.的最小正周期可能是C.的取值范围是 D.在区间上单调递增12.已知，且，则（）A.的最大值为B.的最小值为9C.的最小值为D.的最大值为2第II卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若，且，则__________．14.如图，正六边形边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为________．15.已知是第二象限的角.化简：的值为____________.16.已知正实数满足，则的最小值是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1）；（2）.18.集合，集合，（1）若，求实数的取值范围.（2）若，求实数的取值范围.19.已知角是第三象限角，. （1）求，的值；（2）求的值.20.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量(单位：)与时间(单位：）的函数关系为，当消毒后，测量得药物释放量等于；而实验表明，当药物释放量小于对人体无害．（1）求值；（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？21.已知函数，且函数图像中相邻两条对称轴间的距离为.（1）求的值及函数的单调递增区间；（2）当时，求函数最值，并写出相应的自变量的取值.22.已知函数偶函数，函数为奇函数，且满足．（1）求函数，的解析式；（2）若函数，且方程恰有三个解，求实数k的取值范围． 叙永一中高2023级高一上期期末考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．第I卷选择题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的运算法则计算．【详解】，．故选：C．2.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题可得恒成立，由即可求出.【详解】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．故选：B．3.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】【分析】利用作差法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】由可得，由已知且，若，则，所以，，则，矛盾.若，则，从而，合乎题意.综上所述，“”是“”的充要条件.故选：C.4.已知幂函数在上是减函数，则的值为（）A.3B.C.1D.【答案】C【解析】【分析】先根据是幂函数，由求得，再根据函数在上是减函数，确定的值求解.【详解】由函数为幂函数知，，解得或.∵在上是减函数，而当时，，在是增函数，不符合题意，当时，，符合题意，∴，，∴.故选：C.5.设，若关于的不等式在上有解，则（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据不等式等价变形，转化为对勾函数在上的最值，即可求解.【详解】由在上有解，得在上有解，则，由于，而在单调递增，故当时，取最大值为，故，故选：C6.若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.7.2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空， 秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米/秒．在保持不变的情况下，若吨，假设要使超过第一宇宙速度达到千米/秒，则至少约为（结果精确到，参考数据：，）（）A.吨B.吨C.吨D.吨【答案】B【解析】【分析】根据所给条件先求出，再由千米/秒列方程求解即可.【详解】因为当时，，所以，由，得，所以，解得（吨），即至少约为吨.故选：B8.将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数平移变换,先求得的解析式.根据,可知,即 .根据可分别求得的最大值和的最小值,即可求得的最大值.【详解】根据平移变换将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度,可得由,可知即所以的最大值为,的最小值为则的最大值为,的最小值为所以的最大值为故选:A【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换,三角函数性质的综合应用,利用函数的最值求参数的取值情况,属于难题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列关系正确的是（）A.B.C.D.Ü【答案】ABD【解析】 【分析】利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系判断即可.【详解】由空集的定义知：，A正确.,B正确.，C错误.Ü,D正确.故选：ABD.10.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.的定义域为RB.是奇函数C.在定义域上是减函数D.无最小值，无最大值【答案】BD【解析】【分析】求解，可判断A；利用函数奇偶性的定义可判断B；比较可判断C；分离常数得到，分析单调性及函数值域可判断D【详解】选项A，，解得，故的定义域为，选项A错误；选项B，函数定义域关于原点对称，且，故是奇函数，选项B正确；选项C，，故，即在定义域上不是减函数，选项C不正确；选项D，，令，，由于在上单调递增，在分别单调递减，故函数在分别单调递减，且时，，时，，时，，时，，故函数的值域为，无最小值，无最大值，选项D正确故选：BD 11.已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（    ）A.在区间上有且仅有个不同的零点B.的最小正周期可能是C.的取值范围是D.在区间上单调递增【答案】BC【解析】【分析】根据三角函数对称轴情况可得的取值范围，进而判断各选项.【详解】解：由函数（），令，，则，，函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，由，得，即，则，，，，即，，C正确；对于A，，，，当时，在区间上有且仅有个不同的零点； 当时，在区间上有且仅有个不同的零点；故A错误；对于B，周期，由，则，，又，所以的最小正周期可能是，故B正确；对于D，，，又，又，所以在区间上不一定单调递增，故D错误；故选：BC．12.已知，且，则（）A.的最大值为B.的最小值为9C.最小值为D.的最大值为2【答案】BC【解析】【分析】对A，直接运用均值不等式即可判断；对B，，运用均值不等式即可判断；对C，，讨论二次函数最值即可；对D，，讨论最值即可.【详解】，，当时，即时，可取等号，A错；，当时，即时，可取等号，B对； ，当时，可取等号，C对；，D错.故选：BC第II卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若，且，则__________．【答案】【解析】【分析】计算出的值，由，可得出，由此可求得的值.【详解】，所以，，，因此，.故答案为：.14.如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为________．【答案】【解析】【分析】利用圆半径得到为等边三角形得出，则阴影部分的面积用扇形与等边三角形面积表示即可．【详解】如图，连接. 由题意知，线段的长度都等于半径，所以，为正三角形，则，故的面积为，扇形的面积为，由图形的对称性可知，扇形的面积与扇形的面积相等，所以阴影部分的面积.故答案为：.15.已知是第二象限的角.化简：的值为____________.【答案】【解析】【分析】本题可以先通过是第二象限的角得出，然后对进行化简即可得到结果．【详解】因为是第二象限的角，所以，所以 .故答案：.【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数式的化简，利用三角函数的同角三角函数关系式进行化简是本题的关键．16.已知正实数满足，则的最小值是___________.【答案】##【解析】【分析】构造函数，结合条件及函数的单调性可得，然后利用基本不等式即得.【详解】设，则函数为增函数，∵，∴，即∴，∴，当且仅当，即取等号.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，从而得到，再利用基本不等式可求.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1）； （2）.【答案】（1）（2）18【解析】【分析】（1）根据指数幂运算法则化简求值即可；（2）利用对数函数运算性质和换底公式进行化简运算即可【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式.18.集合，集合，（1）若，求实数的取值范围.（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分类讨论是否为空集，当时，根据子集关系列式，解不等式可得结果；（2）先求时，实数的取值范围，再求其补集即可得解.【小问1详解】①当时，，此时,解得，②当时，为使，需满足，解得，综上所述：实数的取值范围为.【小问2详解】先求时，实数的取值范围，再求其补集， 当时，由（1）知，当时，为使，需满足或，解得，综上知，当或时，，所以若，则实数的取值范围是.19.已知角是第三象限角，.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】19.20.【解析】【分析】（1）利用平方关系和商数关系列方程组求解；（2）用诱导公式化简后，再把齐次式化为关于的式子，代入已知计算．【小问1详解】由题意，又在第三象限，，故解得；【小问2详解】．20.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量 (单位：)与时间(单位：）的函数关系为，当消毒后，测量得药物释放量等于；而实验表明，当药物释放量小于对人体无害．（1）求的值；（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）把代入即可求得的值；（2）根据，通过分段讨论列出不等式组，从而求解.【详解】（1）由题意可知，故；（2）因为，所以，又因为时，药物释放量对人体有害，所以或，解得或，所以，由，故对人体有害的时间为．21.已知函数，且函数图像中相邻两条对称轴间的距离为.（1）求的值及函数的单调递增区间；（2）当时，求函数的最值，并写出相应的自变量的取值.【答案】（1），单调递增区间为 （2）时，取最小值；时，取最大值2【解析】【分析】（1）先由题意求出，再由解出即可求解；（2）由可得，结合函数的图像求解即可.【小问1详解】因为函数图像中相邻两条对称轴间的距离为，所以，所以，即，所以，由，得，所以的单调递增区间为.【小问2详解】因为，所以，所以，所以，，所以即时，取最小值；即时，取最大值.22.已知函数为偶函数，函数为奇函数，且满足． （1）求函数，的解析式；（2）若函数，且方程恰有三个解，求实数k的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由及函数奇偶性得到，联立方程组求解即可；（2）由（1）得到解析式，画出其图象，求出方程的两个解，数形结合即可得到实数k的取值范围．【小问1详解】因为是偶函数，是奇函数，且，①所以，，所以，即，②由①②解得，①②解得；【小问2详解】由（1）得，所以，所以，，作出的图象，如图所示： 因为方程恰有三个解，即方程恰有三个解，所以恰有三个解，解得或，又因为，结合图形可得：或，解得或．所以实数k的取值范围为．