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“顶尖计划”2023届高中毕业班第一次考试文科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,则中的元素个数为A.8B.9C.10D.112.已知复数,则A.1B.C.D.33.已知非零向量满足,且,则A.B.C.D.4.在区间内任取一实数，则成立的概率为A.B.C.D.5.我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔(dăo),周四丈八尺,高一丈一尺”,意思是有一个圆柱,底面周长为4丈8尺,高为1丈1尺.则该圆柱的表面积约为(注:1丈=10尺,取3)A.1088平方尺B.912平方尺C.720平方尺D.656平方尺6.已知不等式组，表示的平面区域不包含点则实数的取值范围是A.B.C.D.7.设数列满足且，则A.B.C.D.38.已知函数在处取得最大值,则A.B.C.D.学科网（北京）股份有限公司
9.已知定义域为的偶函数满足,且当时,,则A.B.C.1D.310.已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,其中,若,则A.2B.C.D.11.设抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，若轴，且，则A.B.C.D.12.已知双曲线的离心率为2,直线与交于两点,为线段的中点,为坐标原点.则与的斜率的乘积为A.2B.3C.4D.6二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13.小明从雪糕店购买了10种不同的雪糕，这些雪糕的价格（单位：元）如茎叶图所示，则小明购买的雪糕价格的中位数为_____.14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数:_____.①;②当时,单调递减;③为偶函数.15.已知等差数列的前项和为,则的最大值为_____.16.已知圆锥和的底面重合(为底面圆圆心),点与不重合,且和底面圆周都在同一个半径为2的球面上,设圆锥的体积为,圆锥的体积为,若的最大值为,则当时,_____.(用数值作答)学科网（北京）股份有限公司
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)在中，角所对的边为，已知.(I)求(II)设的平分线与交于点，求的长.18.(12分)某工厂共有甲、乙两个车间,为了比较两个车间的生产水平,分别从两个车间生产的同一种零件中各随机抽取了100件,它们的质量指标值统计如下:质量指标值甲车间（件）152025319乙车间（件）510153931(I)估计该工厂生产这种零件的质量指标值的平均数;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(II)根据所给数据,完成下面的列联表(表中数据单位:件),并判断是否有的把握认为甲、乙两个车间的生产水平有差异.甲车间乙车间附:,其中.0.050.010.001k3.8416.63510.82819.(12分)学科网（北京）股份有限公司
如图,在直三棱柱中,为棱上靠近的三等分点,为棱的中点,点在棱上,且直线平面.(I)求的长;(II)求点到平面的距离.20.(12分)已知函数.(I)若，求的极值.(II)若方程在区间上有解，求实数的取值范围.21.(12分)过椭圆上任意一点作直线(I)证明:;(II)若为坐标原点,线段的中点为,过作的平行线与交于两点,求面积的最大值.(二)选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(I)写出的直角坐标方程;(II)若与只有一个公共点，求的值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知均为正实数,且.(I)求的最小值;(II)证明:.学科网（北京）股份有限公司
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一、选择题题号123456789101112答案BCCABBDADDAB二、填空题13.514.（不唯一）15.5416.三、解答题：17.解析(I)由得,再由正弦定理和余弦定理得整理可得,所以.(II)由余弦定理可得,因为是角的平分线,,所以,所以.在中,,所以.18.解析(I)由所给数据,各组的频率分别为0.1,0.15,0.2,0.35,0.2所以该工厂生产这种零件的质量指标值的平均数的估计值为(Ⅱ)列联表如下:甲车间6040乙车间3070所以因为18.182大于6.635，所以有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.19.解析(I)在上取一点,使得,连接.由已知得,所以.因为平面,所以平面.学科网（北京）股份有限公司
又因为平面所以平面平面.根据面面平行的性质可知.在矩形中,可得,所以,所以.(II)连接,作垂足为.由条件知平面,所以平面平面,故求距离转化为求线段的长.在中,,所以,故点到平面的距离为.20.解析(I)当时，令得当时，，当时所以在上单调递减，在上单调递增所以的极小值为，无极大值(II)①若，当时恒成立，所以在上单调递增要使方程在上有解,则即得,因为,所以.②若，当时恒成立，所以在上单调递减此吋不符合条件.学科网（北京）股份有限公司
③若,当时,,当时,所以在上单调递减，在上单调递增此时,要使方程在上有解,则需得,所以.综上可知，的取值范围为21.解析解析(I)联立消去整理得,因为点在上,所以化简得.(II)设,点,则.由已知得,所以,即点满足方程,所以.由得,设,则.所以所以令,因为,所以.学科网（北京）股份有限公司
所以所以面积的最大值为.22.解析(I)由的极坐标方程可得,故其直角坐标方程为.(II)由的参数方程可得,即的普通方程为.联立方程得,因为与只有一个公共点,所以,解得.23.解析(I)由基本不等式可知,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为6.(II)因为,所以..同理可得所以，当且仅当时等号成立所以,即学科网（北京）股份有限公司
