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“顶尖计划”2023届高中毕业班第一次考试理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,则中的元素个数为A.8B.9C.10D.112.已知复数,则A.1B.C.D.33.已知非零向量满足,且,则A.B.C.D.4.某士兵进行射击训练,每次命中目标的概率均为,且每次命中与否相互独立,则他连续射击3次,至少命中两次的概率为A.B.C.D.5.已知函数在处取得最大值,则A.B.C.D.6.已知定义域为的偶函数满足,且当时,,则A.B.C.1D.37.我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔(dăo),周四丈八尺,高一丈一尺”,意思是有一个圆柱,底面周长为4丈8尺,高为1丈1尺.则该圆柱的外接球的表面积约为(注:1丈=10尺,取3)A.1185平方尺B.1131平方尺C.674平方尺D.337平方尺8.甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务,每个小区至少去1人,每人只去1个小区,且甲、乙去同一个小区,则不同的安排方法有A.28种B.32种C.36种D.42种学科网（北京）股份有限公司
9.已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,其中,若,则A.2B.C.D.10.过抛物线的焦点且斜率为-1的直线交于（其中A在轴上方）两点，交的准线于点，且，为坐标原点，则A.2B.C.D.11.已知是奇函数,则过点向曲线可作的切线条数是A.1B.2C.3D.不确定12、设双曲线的左、右焦点分别为点,过点且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,若,且直线的斜率为3,则的离心率为A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13.已知函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围为_____.14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数:_____.①;②当时,单调递减;③为偶函数.15.已知平面上的动点到点和的距离之比为,则点到轴的距离最大值为_____.16.微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台,为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示,有一架无人机在空中处进行航拍,水平地面上甲、乙两人分别在处观察该无人机(两人的身高忽略不计),为无人机在水平地面上的正投影.已知甲乙两人相距100m,甲观察无人机的仰角为学科网（北京）股份有限公司
,若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度,则这两个角可以是_____.(写出所有符合要求的编号)①和；②和;③和；④和.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)设等差数列的前项和为,已知.(I)求数列的通项公式;(II)若,求数列的前项和.18.(12分)某工厂共有甲、乙两个车间,为了比较两个车间的生产水平,分别从两个车间生产的同一种零件中各随机抽取了100件,它们的质量指标值统计如下:质量指标值甲车间（件）152025319乙车间（件）510153931(I)估计该工厂生产这种零件的质量指标值的平均数;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(II)根据所给数据,完成下面的列联表(表中数据单位:件),并判断是否有的把握认为甲、乙两个车间的生产水平有差异.甲车间乙车间学科网（北京）股份有限公司
附:,其中.0.050.010.001k3.8416.63510.82819.(12分)如图,在直三棱柱中,为棱上靠近的三等分点,为棱的中点,点在棱上,且直线平面.(I)求的长;(II)求二面角的余弦值.20.(12分)过椭圆上任意一点作直线(I)证明:;(II)若为坐标原点,线段的中点为,过作的平行线与交于两点,求面积的最大值.21.(12分)设函数.(I)讨论的单调性;(II)若有两个零点和,设,证明:(为的导函数).(二)选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(I)写出的直角坐标方程;(II)若与只有一个公共点，求的值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)学科网（北京）股份有限公司
已知均为正实数,且.(I)求的最小值;(II)证明:.理科数学参考答案一、选择题学科网（北京）股份有限公司
题号123456789101112答案BCCAADBCDDCB二、填空题13.14.（不唯一）15.16.①③④三、解答题：17.解析(I)设数列的公差为，由题设可得解得所以.(II)由条件可得,①②②减①可得:18.解析(I)由所给数据,各组的频率分别为0.1,0.15,0.2,0.35,0.2所以该工厂生产这种零件的质量指标值的平均数的估计值为(Ⅱ)列联表如下:甲车间6040乙车间3070所以因为18.182大于6.635，所以有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.19.解析(I)在上取一点,使得,连接.由已知得,所以.因为平面,所以平面.又因为平面所以平面平面.根据面面平行的性质可知.在矩形中,可得,学科网（北京）股份有限公司
所以,所以.(II)以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.则.,设平面的法向量为,,则，所以，取得设平面的法向量为,则所以取,得所以结合图可知二面角的余弦值为.20.解析(I)联立消去整理得,因为点在上,所以化简得.(II)设,点,则.由已知得,所以,学科网（北京）股份有限公司
即点满足方程,所以.由得,设,则.所以所以令,因为,所以.所以所以面积的最大值为.21.解析(I),若,则,函数在上单调递减若,令,得当时,,当时,.所以在上单调递增,在上单调递减.(II)不妨令,由题设可得两式相减整理可得.所以令,则,要证,即证,即证.学科网（北京）股份有限公司
令,则,所以在上单调递减又,所以,即成立,所以.22.解析(I)由的极坐标方程可得,故其直角坐标方程为.(II)由的参数方程可得,即的普通方程为.联立方程得,因为与只有一个公共点,所以,解得.23.解析(I)由基本不等式可知,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为6.(II)因为,所以..同理可得所以，当且仅当时等号成立所以,即学科网（北京）股份有限公司
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