河南省南阳市2023届高三上学期期中文科数学试题 Word版含解析.docx

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2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（文）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.第I卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解不等式得到集合，然后利用补集和交集的定义计算即可.【详解】由题意得集合，或，所以.故选：D.2.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，，由条件列方程求，再由复数的模的公式求.【详解】设，，因为， 所以，，所以，，所以，故选：C.3.已知，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算性质及函数值的定义即可求解.【详解】因为，所以.故选：A.4.已知数列的前项和.若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求得，然后根据求得的值.【详解】依题意，当时，；当时，，，两式相减得，也符合上式，所以，，由解得，所以.故选：B5.若，满足则的最小值是（） A.B.C.8D.【答案】D【解析】【分析】根据题意画出可行域，令，即，所以平移斜率为的直线，相当于在轴上的截距，找到使轴上的截距最值时的点代入即可.【详解】由题知，画出满足题意的可行域如下所示，令，即，相当于直线在轴上的截距，平移直线，当直线过点时，截距最大，最小，联立，可得，故在点时取得最优解，代入，可得.故选：D.6.已知：，，则的最大值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设向量与的夹角为，由可得，进而结合平面向量的运算律可得，进而根据余弦函数的性质求解即可.【详解】设向量与夹角为， 由，得，所以，因为，所以，即，即，所以的最大值为.故选：B.7.函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性排除A，C，由函数在处的变化趋势排除B，得正确选项．【详解】由函数图像可知,函数为奇函数,对于A:，不是奇函数排除A选项；，不是奇函数排除C选项；对于B,当，且趋近于0时，由图知趋近于，但排除B；故选：D.8.若，，则（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】先由已知条件求出，然后由化简计算可得答案.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，故选：B9.在中，，，.若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理得到，再分和两种情况讨论，结合正弦函数的性质求出的取值范围，即可判断.【详解】解：由正弦定理，即，所以，因为只有一解，若，则，若显然满足题意， 所以或，所以或，解得或；故选：D10.若将函数的图像向右平移个周期后，与函数的图像重合，则的一个可能取值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图像平移规律得到平移后的解析式，再对的解析式变形处理，列出等式，即可判断.【详解】，周期，函数的图像向右平移个周期后，得函数的图像，而，由题意，，令，得，故A错误；令，得，故B错误；令，得，故C正确；令，得，故D错误.故选：C. 11.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用导数求解时单调递减满足的条件，即可结合分段函数的性质求解.【详解】当时，，则所以恒成立，由于，所以，所以，因此，要使在上单调递减，则需要,故选：C12.已知：，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的公式求出，然后借助指数函数的单调性得到，即可得到，构造函数，利用函数的单调性得到，整理后即可得到. 【详解】，，∵，∴，则，即，设函数，则，∵，，且函数单调递增，∴只存在一个使，且，当时，，在单调递减，∴，即，即，所以.故选：B.【点睛】方法点睛：比较数值大小方法．（1）估值法：找出式子的取值区间，以此判断各个式子的大小关系；（2）构造函数法：当无法进行估值判断式子大小时，可通过构造函数，利用导数判断其单调性，从而判断式子大小．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数，则__________.【答案】##0.5【解析】【分析】根据可得解. 【详解】，，所以，可得.故答案为：.14.在中，角，，所对的边分别为，，，，，则的外接圆面积为__________.【答案】【解析】【分析】在中正弦定理可得利用消角可得，则角B可求，又，可利用正弦定理求的外接圆直径，的外接圆面积可求.【详解】在中，由正弦定理可得，又，，，，又在中，.又在，，， 的外接圆直径=，的外接圆的面积为.故答案为：.15.若，则解集是______________.【答案】【解析】【分析】根据题意求得为偶函数，且在上单调递增，结合，把不等式转化为，得到，即可求解.【详解】由函数，可得，所以为偶函数，当时，可得，所以函数在上单调递增，又由，所以不等式等价于，则满足，解得，即不等式的解集为.故答案为：.16.不等式对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】设，则可得，而分别在曲线和直线上，将直线平移恰好与曲线相切时，可求出的最小值，从而可解关于的不等式可得答案.【详解】由题意设，则，所以，因为分别在曲线和直线上， 所以将直线平移恰好与曲线相切时，切点到直线的距离最小，此时最小，设切线为，切点为，则，得，所以，得，则，所以的最小值为点到直线的距离，，即的最小值为，所以，即，解得，所以实数的取值范围是，故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为，，进一步转化为曲线上的点和直线的点的距离最小问题，考查数学转化思想，属于较难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在中，角，，所对应边分别为，，.，的面积等于3.（1）求；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据平面向量的数量积定义及三角形的面积公式可得，进而求解即可；（2）由（1）可得，结合余弦定理可得，进而得到，再根据基本不等式可得，进而得到，进而求解即可.【小问1详解】 因为，又，两式相除得，，又，所以.【小问2详解】由（1）知，，，所以，又，即，所以，又因为，当且仅当时等号成立，所以，则，即，即，所以的最小值为.18.已知数列和满足：，，，，且是以为公比的等比数列.（1）证明：；（2）若，求数列的通项公式及其前项和.【答案】（1）证明见解析（2），【解析】【分析】（1）先求得，然后根据递推关系证得.（2）先求得，然后结合等比数列前项和公式求得. 【小问1详解】依题意，，，，，，且是以为公比的等比数列，所以，所以，则，两式相除得.【小问2详解】由（1）知数列和数列都是公比为的等比数列，所以，，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.19.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数的图像关于点中心对称，求在上的值域.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先表示出，根据对称性求出，即可得到的解析式，再根据的取值范围求出 的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】解：，即，令，解得，所以函数的单调递增区间为.【小问2详解】解：因为，又的图像关于点中心对称， 所以，解得，因为，所以，所以，当时，所以，所以.20.已知函数，其中.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）如果对于任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先将代入得到解析式，对求导可得切线的斜率，由得切点的坐标，利用点斜式得到切线方程；（2）将代入得到，所以将对于任意都有转化成了，构造函数，对求导判断函数单调递增，从而得，即得证.【小问1详解】当时，由已知得，故，所以，又因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即；【小问2详解】由，，得， 设函数，，则，因为，所以，，所以当时，，故函数在上单调递增，所以当时，，因为对于任意，都有成立，所以对于任意，都有成立．所以．【点睛】思路点睛：本题利用导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调区间、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.21.数列中，为的前项和，，.（1）求证：数列是等差数列，并求出其通项公式；（2）求证：数列的前项和.【答案】（1）（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，即可得到，从而得证，再求出公差，即可求出通项公式；（2）由（1）可得，适当放大再利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】数列中，为的前项和，，①， 当时，，解得；当时，②，①②得③，所以④，由③④得，所以数列为等差数列，所以公差，所以．小问2详解】由（1）可得，所以，所以，当时，，当时，，,综上.22.已知.（1）讨论函数单调性；（2）设是的导数.当时，记函数的最大值为，函数的最大值为 .求证：.【答案】（1）在上单调递增（2）见解析【解析】【分析】（1）求导即可由导函数的正负求解原函数的单调性，（2）根据（1）的结论，分别求解，，即可作差求解大小.【小问1详解】函数的定义域为,，令，当单调递增，当单调递减，所以，即故函数在上单调递增【小问2详解】由（1）知在时，单调递增，且，故，所以，由于，所以，故,而,因此