四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高三上学期1月月考数学（理）Word版含解析.docx

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绵阳南山中学实验学校高2024届一月月考试题理科数学试卷注意事项:1.答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。2.做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。3.所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则（    ）A．B．C．D．2．复数的虚部为（    ）A．B．C．D．3．某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（    ） A．400，32B．400，36C．480，32D．480，364．如图，在中，，则（    ）A．9B．18C．6D．125．的展开式中的系数为，则实数（    ）A．2B．1C．D．6．已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（    ）A．B．C．D． 7．已知椭圆M：，点在椭圆M上，直线l交椭圆M于A，B两点，的重心是坐标原点，则直线l的斜率为（    ）A．B．C．D．8．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数，若满足，则的最小值为（    ）A．B．C．D．9．定义在上的偶函数，记，，，则（    ）A．B．C．D．10.第33届夏季奥运会预计在2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等5个表演项目．现有三个场地，，分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能，两地承办，且各自承办其中一项.5个表演项目分别由，，三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（    ）A．150种B．300种C．720种D．1008种11．已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足，且，为的前项和，，则（    ）A．B．C．3D．412．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为A，，过点A的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为B，若，且，则的离心率为(    )A．2B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数满足约束条件则的最大值为． 14．已知角均在第一象限，终边上有一点，且，则.15．下列四个命题中为真命题的是.（写出所有真命题的序号）①若随机变量服从二项分布，则其方差；②若随机变量服从正态分布，且，则；③已知一组数据的方差是3，则的方差也是3；④对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4；16．已知曲线C，直线,点，，以曲线C上任意一点M为圆心、MF为半径的圆与直线l相切，过点的直线与曲线C交于A，B两点，则的最大值为．三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．已知数列的前n项和为，，且．(1)求证：数列为等差数列；(2)已知等差数列满足，其前9项和为63．令，设数列的前n项和为，求证：．18．杭州第19届亚运会后，多所高校掀起了体育运动的热潮．为了深入了解学生在“艺术体操”活动中的参与情况，随机选取了10所高校进行研究，得到数据绘制成如下的折线图：(1)若“艺术体操”参与人数超过35人的学校可以作为“基地校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记可作为“基地校”的学校个数为，求的分布列和数学期望； (2)现有一个“艺术体操”集训班，对“支撑、手倒立、手翻”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，某同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作及每轮测试互不影响．如果该同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到8次，那么理论上至少要进行多少轮测试？19．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，为其外接圆的圆心，，．(1)求的大小；(2)若，求边长的最值．20.已知函数，．(1)若的最大值是0，求的值；(2)若对任意，恒成立，求的取值范围．21．已知抛物线，其焦点为，定点，过的直线与抛物线相交于，两点，当的斜率为1时，的面积为2.(1)求抛物线的标准方程；(2)若抛物线在，点处的切线分别为，，且，相交于点，求线段长度的最小值.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．在直角坐标系中，点的坐标是，曲线的参数坐标方程（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中曲线的极坐标方程为，与交于，两点．(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线？(2)过点作垂直于的直线交于，两点，求的值． 23．已知函数，(1)若，求不等式的解集；(2)对于任意的正实数，且，若恒成立，求实数的取值范围. 绵阳南山中学实验学校2024届毕业年级一月月考理科数学参考答案一．选择题1．A【详解】因为，所以．故选：A.2．C【详解】，所以的虚部为.故选：C.3．A【详解】由图（1）得该小区户主总人数为人，所以样本容量为人，其中四居室户主有人，由图（2）得抽取的户主中对四居室满意的有人，故选：A.4．D【详解】由可得：，所以，所以，，因为，所以.故选：D.5．D【详解】的展开式的通项公式为，所以．令，解得，．令，解得． 由题意，可知，所以．故选：D．6．B【详解】因为圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为，且，使得两圆相交的充要条件为，且，解得，由选项可得，所以其一个充分不必要条件可以是.故选：B7．B【详解】将代入椭圆方程得，，令，则，解得，即，设，则，，故，又，两式相减得，，变形得到，即，故，，解得.故选：B8．D【详解】法一：由图可知，，图象过点，，，.的图象过点，， ，，，，由，得的图象关于直线对称，所以，，，又，所以，故选：.法二：，故图象对称轴可表示为，的图象的一条对称轴为，当时，可知的左侧图象离最近的对称轴为，故的最小值为，故选：.9.B【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，即，解得，所以，当时，为增函数，因为，，，,所以，所以，即. 故选：B.10．B【详解】首先电子竞技和冲浪两个项目仅能两地举办，且各自承办其中一项有种安排；再次5个表演项目分别由三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目则有种，故总数为种不同的安排方法.故选：B.11．A【详解】函数是奇函数，，是以3为周期的周期函数.数列满足，且，，且，，两式相减可得，从而得，，，（1）.故选：.12．C【详解】由已知得，设，由，得，所以轴，即，不妨设点在第一象限，则.设，由，得，， ，即，点在双曲线上，，整理得，，解得，或(负值舍去).故选C.故选：C二．填空题13．4【详解】根据题意，画出可行域如下图中阴影部分所示：易知目标函数可化为，若要求目标函数的最大值，即求出在轴上的最大截距即可，易知当（图中虚线所示）平移到过点时，截距最大，显然，则，所以的最大值为.故答案为：414．【详解】根据终边上点的坐标可得，得：化简得：所以：.故答案为：.15.①③ 【详解】对于①，因为随机变量服从二项分布，所以，所以①正确，对于②，因为随机变量服从正态分布，且，所以，所以，所以，所以②错误，对于③，因为数据的方差是3，所以由方差的性质可知的方差不变，也是3，所以③正确，对于④，因为线性回归方程为，样本点的中心为，所以，解得，所以④错误，故答案为：①③16．【详解】  如图，依题意，曲线C上任意一点M到定点的距离等于点到定直线的距离，故点M的轨迹是抛物线，其轨迹方程为：.设直线AB的方程为，由消去得：，不妨设，，则必有且，，分别记直线的斜率为，则，所以．（两直线的斜率之和为0．则两直线关于x轴对称） 设，则，当且仅当时等号成立，所以，（利用基本不等式求出的范围）则，不妨设记，则，因在上为减函数且恒为正数，故在上为增函数，则有故的最大值为．故答案为：.三．解答题17.(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）证明：，数列是以1为首项，为公差的等差数列可得当时，当时，也满足上式，（2）证明： 18.(1)分布列见解析，；(2)23轮.【详解】（1）参加“艺术体操”人数在35人以上的学校共5所，所有可能取值为0，1，2，3，则，，所以的分布列为：0123P所以；（2）由已知该同学在一轮测试中为“优秀”的概率为，则该同学在n轮测试中获“优秀”次数X服从二项分布，即满足，由，所以理论上至少要进行23轮测试．19.(1)(2)最大值:；最小值：【详解】（1）延长交外接圆于点，如下图所示则所以：，由，得：，解之得：，因为：，所以：.故答案为： （2）在中，由正弦定理得，所以：，因为：，所以：，所以：，所以：边长的最大值为，最小值为.20.(1)(2)【详解】（1）的定义域为，．若，则，在定义域内单调递增，无最大值；若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，为，解得，显然符合题意，所以的值为（2）对任意恒成立，即在上恒成立．设，则．设，则，所以在上单调递增，且，，所以有唯一零点，且，所以．构造函数，则. 又函数在上是增函数，所以．由在上单调递减，在上单调递增，得，所以，所以的取值范围是21.(1)(2)【详解】（1）过且斜率为1的直线为：，代入拋物线方程可知，解得或，则不妨令点M，N分别为，，∴，∴，，∴抛物线方程为：；（2）设，，，切点，由题意可知：对于抛物线，当时，；，；时，，显然时，；时，，若，则点处的切线为，即，∵，∴，即，同理，若，点处的切线为，时，，则在顶点处的切线为，符合上述表达式，∴点处的切线为；点处的切线为，在这两条切线上，∴，则的直线方程为，∵在上，∴，即在定直线上，∴长的最小值即为点到直线的距离， 此时.22.(1)，焦点为，顶点为的抛物线（顶点除外）(2)【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为，所以，又，所以，则，所以，即，因为，即，所以，所以曲线的直角坐标方程为，曲线可以由抛物线向下平移个单位得到，所以曲线为焦点为，顶点为的抛物线（顶点除外）.（2）将代入得，设，对应的参数分别为，，，所以，过点作垂直于的直线的参数方程为（为参数，），将代入得，设，对应的参数分别为，，， 所以，所以.22.(1)；(2)【详解】（1）解：当时，不等式，即为不等式为，当时，可得，解得，所以；当时，可得成立，所以；当时，可得的，解得，所以．综上得不等式的解集为．（2）解：因为为正实数，且，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值，又因为，当时取到等号，要使恒成立，只需，解得或，即实数的取值范围为