四川省雅安市雅安中学2023-2024学年高一上学期1月月考数学 Word版含解析.docx

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高一数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解二次不等式化简集合A，再利用集合的并集运算即可得解.【详解】因为，又，所以.故选：D.2.函数的最小值为（）A.B.C.3D.4【答案】B【解析】【分析】利用余弦函数的值域算出结果.【详解】因为，所以，所以最小值为，故选：B3.已知偶函数，当时，，则（）A.B.C.7D.5【答案】B 【解析】【分析】函数为偶函数，有，代入解析式求解即可.【详解】是偶函数，当时，，则.故选：B4.若角的终边经过点，则的值可以为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据已知得出为第二象限角，求出满足条件的一个的值，即可得出答案.【详解】由点位于第二象限可得，角为第二象限角.又，则当时，有.所以，与终边相同的角的集合为.因为满足，不满足，不满足，不满足.故选：A.5.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由正弦函数的性质可得，结合充分条件和必要条件的定义判断即可、。 【详解】正弦函数在上单调递增，，则，所以时不能得到，而时一定有，“”是“”的必要不充分条件.故选：C6.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的性质，对数函数的运算，即可判断选项.【详解】，即，，所以，，即，，所以，综上可知，.故选：C7.若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据将所求角用两角差的正切展开代入求值.【详解】.故选：B 8.已知函数有4个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造函数与，从而将问题转化为与，和与的图象交点问题，结合图形即可得解.【详解】令，令，作出与的大致图象，如图，显然与的图象至多有2个零点，与的图象至多有2个零点；因为有4个零点，所以，解得.故选：D.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用参数分离法，构造了函数与，从而数形结合即可得解.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若臭氧含量与时间（单位：年）的函数关系式为，其中为臭氧的初始含量，则（）A.随时间的增加，臭氧的含量减少B.随时间的增加，臭氧的含量增加C.当时，D.当时，【答案】AC【解析】【分析】根据复合函数的单调性，即可判断A、B项；代入，即可判断C、D.【详解】对于A、B项，因函数单调递增，单调递减，所以，复合函数的单调递减.所以，随时间的增加，臭氧的含量减少，故A正确，B错误；对于C、D项，当时，.故C正确，D错误.故选：AC.10.下列等式恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】由诱导公式可判断AC，由二倍角公式、辅助角公式可分别判断BD.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确. 故选：BCD.11.将函数的图象上的每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称【答案】BC【解析】【分析】利用给定变换求出函数的解析式，再逐项分析判断作答.【详解】依题意可得，A，当时，，则不为对称轴，A错误；B，当时，，则为对称中心，B正确；C，当时，，则为对称轴，C正确；D，当时，，则不是对称中心，D错误；故选：BC12.已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（）A.是周期为2的周期函数B.当时，C.的图象与的图象有两个公共点D.在上单调递增【答案】ACD【解析】 【分析】根据已知可得，即可得出A项；根据已知求出时的解析式，进而根据周期性，得出函数在上的解析式，即可判断B项；根据A、B的结论作出函数的图象以及的图象，结合端点处的函数值，结合图象，即可判断C项；先根据解析式，判断得出函数在上单调递增，即可根据周期性，得出D项.【详解】对于A项，由已知可得，所以，是周期为2的周期函数，故A正确；对于B项，，则.由已知可得，.又，所以，.又的周期为2，所以.，则，，所以，.故B错误；对于C项，由A、B可知，当时，；当时，，且的周期为2.作出函数以及的图象，显然，当时，的图象与的图象没有交点. 又，，，由图象可知，的图象与的图象有两个公共点，故C项正确；对于D项，，则，.又的周期为2，所以在上单调递增.当时，，显然在上单调递增.且，所以，在上单调递增.根据函数的周期性可知，在上单调递增.故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.函数的定义域为__________．【答案】【解析】【分析】根据已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】要使函数有意义，则应有，解得，所以，函数的定义域为.故答案为：.14.如图，这是某公园一条扇形闭合路，其中弧所对的圆心角为2.4，，则这条扇形闭合路的总长度为__________． 【答案】352【解析】【分析】根据弧长公式，可计算扇形的周长.【详解】根据弧长公式可知，的长度为，所以扇形闭合路的总长度为.故答案为：15.若，则的最__________（填“大”或“小”）值是__________．【答案】①.大②.【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为，所以，而，故，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故答案为：大；.16.若函数在上恰好存在6个不同的满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】先由题意得，再得到 的范围，再结合方程有两个不同的根，列不等式即可.【详解】因为，则由，得，则，因为，所以，令，即，因为恰好存在6个不同的满足，而从左到右的六个零点为，，，，，，所以，解得.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）求值：．（2）已知，化简：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】利用指数幂运算与对数运算即可得解.【详解】（1）因为，，所以（2）因为，所以.18.已知函数满足． （1）求的解析式；（2）判断的奇偶性，并说明理由．【答案】（1）（2）为奇函数，理由见解析【解析】【分析】（1）利用换元法即可求得函数解析式;（2）利用奇偶性定义判断函数奇偶性即可.【小问1详解】因为，令，则，则，所以.【小问2详解】为奇函数，理由如下：因为的定义域为，关于原点对称，又，所以为奇函数.19.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的值； （2）求函数的单调递增区间．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根据图象的最值可求得,根据周期可求得，继而利用图象上点求出的值；（2）求得函数的解析式后，整体代换，令，解出即可，【小问1详解】因为，由图象可知，,,所以，此时，又图象过点，所以，故，又，所以，故，，.【小问2详解】 由知，，令得所以函数的单调递增区间为.20.已知函数．（1）求在上的最大值；（2）若，求的值；（3）若，求的值．【答案】（1）2（2）（3）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，再利用整体法求最大值；（2）利用齐次式化简求值；（3）利用配凑角结合两角差的余弦公式计算.【小问1详解】，，则，故在上的最大值为；【小问2详解】 ；【小问3详解】由（1）当则，，故.21.已知函数．（1）若的值域为，求的取值范围；（2）设对恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，分，，根据的值域为，由的值域包含求解；（2）将对恒成立，转化为，对恒成立求解.【小问1详解】解：令，当时，，满足的值域为，当时，的值域包含，则，解得， 综上：实数的取值范围是；【小问2详解】因为对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，即，对恒成立，令，，则，所以，所以的取值范围是.22.已知函数．（1）试问在和这两个区间内是否都有零点？说明你的理由．（2）若方程只有两个不同的实数解，比较与的大小．【答案】（1）在和这两个区间内都有零点，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）利用零点存在定理进行判断即可得解；（2）利用换元法，结合对数的运算得到是方程的两个实数解，再利用奇函数的对称性推得，从而利用基本不等式即可得解.【小问1详解】在和这两个区间内都有零点，理由如下： 因为，所以，，，，则，，所以和这两个区间内都有零点.【小问2详解】因为，则由，得，即令，则，即，两边取对数，得，则，因为是方程的两个不同的实数解，所以是方程的两个实数解，则是与的图象的两个交点的横坐标，对于，有，解得或，则其定义域为，又，所以是上的奇函数，易知是上的奇函数，所以与的图象的两个交点关于原点对称，则，故，即，而，当且仅当，即时，等号成立，所以.