重庆市第七中学2023-2024学年高二上学期期末模拟检测数学 Word版含解析.docx

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高二上期期末检测模拟试题数学试题第Ⅰ卷一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若直线的倾斜角为，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由斜率与倾斜角的关系计算即可得.【详解】由，故.故选：B.2.已知，，，若四点共面，则实数（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】若四点共面，则存在实数使得成立，代入坐标求解即可．【详解】若四点共面，则存在实数使得成立，则解得故选：D．3.记等差数列的前项和为，若，且，则的值为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】法一：用基本量将条件表示出来，解二元一次方程组即可求出， ，代入等差数列通项公式即可求出的值；法二：等差数列性质，结合条件运算得，后面同上.【详解】解：法一：设公差为d，由得，化简得，由得，联立，解得，，所以.法二：由及得：，则，即，，.故选：C【点睛】等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差或项数：在求解时，一般要运用方程思想；（2）求通项：和是等差数列的两个基本元素；（3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解；（4）求前项和：利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.4.斜率为的直线过抛物线的焦点，若与圆相切，则（）A.12B.8C.10D.6【答案】A【解析】【分析】由直线的斜率为可得倾斜角为，数形结合分析可得.【详解】解：因为直线的斜率为，所以倾斜角为，即 结合题意作图，由图可得，，解得.故选：【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，以及抛物线的标准方程，属于基础题.5.等比数列中，若，则A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由等比数列性质得q,即可求解【详解】，则故选D【点睛】本题考查等比数列的运算及基本性质，熟记公式是关键，是基础题6.方程所表示的曲线是（）A.一个圆B.两个圆C.一个半圆D.两个半圆【答案】D【解析】【分析】通过分类讨论变形曲线方程可确定曲线的形状． 【详解】解：，，即或者，即或，所以原方程表示两个半圆.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查方程表示的曲线，把方程变形为常用曲线的方程是判断方程的曲线的常用方法，只是在变形过程中必须保证变量的取值范围不会改变，否则会出现错误．7.设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意，都有成立，则的值为 AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，由已知条件利用等差数列的性质求出和的值，两者相减即可得到的值，得到，令大于列出关于的不等式，求出解集中的最大正整数即可满足题意的的值．【详解】设等差数列的公差为由可得，即由可得，解得，，解得的最大值为，则故选【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的通项公式化简求值，考查了推理论证能力，较为基础． 8.已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为且过的直线交双曲线的渐近线于两点，若，（表示的面积），则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】利用点差法可得，列方程可得关系，由此可求离心率.【详解】直线斜率存在，设，中点，当在轴上方时，由，得，则，因为，所以，故为直角三角形，为的中点，所以，所以．由得，即．当时，，,，所以，所以．当时，，，矛盾，舍去，当在轴下方时，同理可求得 综上所述．故选：C.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列四个选项中，正确的是（）A.数列的图象是一群孤立的点B.数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列C.数列，，，，…的一个通项公式是D.数列，，…，是递减数列【答案】ACD【解析】【分析】利用数列通项公式、数列的图象、数列的定义以及数列的单调性依次判断四个选项即可．【详解】对于A，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项A正确；对于B，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项B错误；对于C，观察法可得数列，，，，…的一个通项公式为时，故选项C正确；对于D，因为，所以数列，，是递减数列，故选项D正确．故选：ACD.10.下列说法正确的是（）A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B.点关于直线的对称点为C.经过点且在x轴和y轴上截距都相等直线方程为D.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2【答案】ABD【解析】【分析】A选项，利用斜率定义可知，当倾斜角为90°时，斜率不存在；B选项求解点关于直线的对称点，满足两点的斜率与乘积为-1，中点在已知直线上，进而求出对称点；C 选项要考虑截距均为0的情况，D选项求出与坐标轴的交点坐标，进而求出围成的三角形的面积.【详解】当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A选项正确；设关于直线的对称点为，则满足，解得：，故点关于直线的对称点为，B正确；当在x轴和y轴上截距都等于0时，此时直线为，故C错误；直线与两坐标轴的交点坐标为与，故与两坐标轴围成的三角形的面积为，D正确故选：ABD11.已知点P在双曲线C：上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（    ）A.点P到x轴的距离为B.C.为钝角三角形D.【答案】BC【解析】【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可．【详解】设点．因为双曲线，所以．又，所以，故A错误．将代入得，得．由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得．由双曲线的定义得，所以，故B正确．在中，，且 ，则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确．由余弦定理得，所以，故D错误．故选：BC．12.设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线C交于M，N两点（点M在第二象限），当时，，则下列说法正确的是（）A.B.△MON的面积的最小值为C.存在直线，使得D.分别过点M，N且与抛物线相切两条直线互相垂直【答案】ABD【解析】【分析】根据抛物线定义结合三角函数可求，通过设直线的方程为，与抛物线联立则得到韦达定理式，而面积表达式，韦达定理式代入上式即可求出面积最值，求出则可判断C，利用导数的几何意义即可得到两切线斜率之积为，则可判断D.【详解】作出如图所示图形： 对A，由抛物线定义及题意得，即，解得，故A正确；对B，，则，当直线的斜率不存在时，显然不合题意，设设直线的方程为，联立抛物线得，则，，当且仅当时等号成立，故B正确；对C，，故为钝角，则不存在直线，使得，故C错误；对D，，即，故，故在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为,故斜率之积为，故相切的两条直线互相垂直，故D正确.故选：ABD.第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知圆，若直线被圆截得的弦长为1，则_______.【答案】【解析】 【分析】将圆一般方程化为标准方程，先求圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可解出的值.【详解】解：将化为标准式得，故半径为1；圆心到直线的距离为，由弦长为1可得，解得.故答案为：.14.椭圆的左、右顶点分别为、，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】作图分析，过点分别作斜率为-1和-2的直线，交椭圆于C，D两点，观察当从-2变化到-1时，变化的情况，做分别的计算即可.【详解】由题意作图如下：A1(－2,0)，A2(2,0)，当PA2斜率为－2时，点P与D重合，直线PA2的方程为y＝－2(x－2)，代入椭圆方程，消去y化简得19x2－64x＋52＝0，解得x＝2或x＝，可得点，此时直线PA1的斜率， 同理，当直线PA2的斜率为－1时，点P与C重合，直线PA2的方程为y＝－(x－2)，代入椭圆方程，消去y化简得7x2－16x＋4＝0，解得x＝2或x＝可得点，此时直线PA1的斜率，数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是；故答案为：.15.定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，．当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则________．【答案】【解析】【分析】由题意分析出，则，利用裂项相消法求和.【详解】由题意，，当时，，，的取值依次为，，…，，共个，即，由此可得，，所以．故答案为：16.已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点作直线与抛物线交于、两点，且，双曲线的左焦点到直线的距离大于，则双曲线的离心率的取值范围是___________. 【答案】【解析】【分析】设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由已知条件得出，代入韦达定理求出的值，可得出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可得出关于、所满足的不等式，由此可解得双曲线离心率的取值范围.【详解】由题意得，设直线的方程为，设点、.由消去得，，由韦达定理可得①，②.又，即，所以，，③.将③代入①得④，将③代入②得⑤，再由④⑤解得，故直线的斜率为.又抛物线的焦点是双曲线的右焦点，，所以，直线的方程即为.由双曲线的左焦点到直线的距离，解得，即，又，，即，又，所以，双曲线的离心率.故答案为：.【点睛】方法点睛：求双曲线离心率或其范围的方法（1）直接求出，，的值，再由直接求； （2）列出含有，，的齐次方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程（或不等式）求解.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得数列的通项公式.（2）先求得，然后利用裂项求和法求得.【详解】（1）由题意，设公差为，所以，则，∴∵，∴，，∴；（2）由（1）知，，∴，∴数列的前n项和．【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式和前项和公式，考查裂项求和法，属于中档题. 18.在三棱台中,平面,,,,.（1）证明:.（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据平面,结合计算得,即,又,,由线面垂直的判定定理得平面,得到,根据线面垂直的判定定理即可证明;（2）作于,先根据已知条件求出的长,再利用等面积法求出到平面的距离即可得到结果.【小问1详解】∵平面,平面,,平面平面,平面,平面,∴,∴, ∵,∴,∴,即,又,,,平面,平面,∴平面,∴,∵,平面,平面,∴平面,∵平面,∴.【小问2详解】如图,作于,在直角梯形中,得,同理可得,在等腰梯形中,,则,∴,设到平面的距离为, 由,得,则,又,所以直线与平面所成角的正弦值为.19.已知圆与轴相切，圆心点在直线上，且直线被圆所截得的线段长为.（1）求圆的方程；（2）若圆与轴正半轴相切，从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在直线的方程.【答案】（1）圆或；（2）.【解析】【分析】（1）设圆，根据已知条件可构造方程组求得，分别在和两种情况下求得结果；（2）根据点关于直线对称点的求法可求得点关于的对称点，利用两点连线斜率公式可求得反射光线所在直线斜率，由此可得直线方程.【详解】（1）设圆，由题意得：…①，…②，…③，由①得，则，代入③得：；当时，，，圆；当时，，圆；综上所述：圆或.（2）圆与轴正半轴相切，圆，设关于的对称点， 则，解得：，，反射光线所在直线的斜率，反射光线所在直线方程为：，即.【点睛】方法点睛：求解点关于直线的对称点的基本方法如下：①与连线与直线垂直，即；②中点在直线上，即；③与到直线的距离相等，即；上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点坐标.20.已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，．（1）求证：平面平面；（2）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，即转化为证明平面；（2）根据垂直关系以点为原点，建立空间直角坐标系，根据二面角的向量公式，即可求解.【详解】（1）因为平面，所以又为菱形，所以,，所以平面平面，所以平面平面 （2）如图，和是全等的等边三角形，过点作的垂线，即轴，与的交点即线段的中点，以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则,,从而，因为平面,所以平面的一个法向量为．设平面的法向量为,由得取，即设与的夹角为，则二面角大小与相等从而，得 从而，即．21.已知数列的前n项和为，且满．（1）求证数列是等比数列．（2）若数列满足求数列的前n项和．【答案】（1）答案见解析；’（2）.【解析】【分析】（1）证明见解析；（2）先求出，利用裂项相消法求和.【小问1详解】对于，当n=1时，由.当，有，此时，所以数列是首项为，公比为的等比数列.【小问2详解】由（1）知，，所以.所以当n=1时，；当，有， 经检验，对n=1也成立.所以.所以.所以.22.已知椭圆的离心率为，直线过E的上顶点和右焦点，直线过E的右顶点，，与之间的距离为.（1）求椭圆E的标准方程.（2）已知过原点的直线与椭圆E交于A，B两点，点C是E上异于A，B的点，且，试问在x轴上是否存在点M，使得点M到直线AC的距离为定值？若存在，求出定值与点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，点，定值【解析】【分析】（1）结合题意构造相应图形计算即可得；（2）分类讨论直线斜率存在与不存在时的情况，当直线斜率存在时，联立直线方程与曲线方程，化成关于横坐标有关的一元二次方程，结合韦达定理进行运算解答，当斜率不存在时，验证所得是否依然符合要求即可.【小问1详解】因为椭圆E的离心率为，所以，则，所以直线的斜率为， 如图，设E的右焦点为F，右顶点为P，上顶点为Q，过点P作于点D，则，所以，即，解得，则，故椭圆E的标准方程为；【小问2详解】由题意可得点O是线段AB的中点，又，所以，①当直线AC的斜率存在时，设直线AC的方程为，由，得，则，即，由根与系数的关系可得，由可得，即，即，所以，故.假设存在点满足条件，设点M到直线AC的距离为d，则，当时，为定值，即d为定值.②当直线AC的斜率不存在时，根据椭圆的对称性可得， 所以，故，点到直线AC的距离为，综上可得，存在点，使得点M到直线AC的距离为定值.【点睛】方法点睛：对于直线与圆锥曲线的题目，基本方法是联立直线方程与曲线方程，化成关于横坐标或纵坐标有关的一元二次方程，结合韦达定理进行运算解答.