重庆市第八中学校2023-2024学年高二上学期阶段检测数学（九） Word版含解析.docx

《重庆市第八中学校2023-2024学年高二上学期阶段检测数学（九） Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

重庆八中高2025级高二（上）数学检测九数学试题一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（）A.B.C.D.1【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件和的概率等于概率的和计算结果.【详解】从中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子两个事件，这两个事件是互斥事件，设两粒是同一色为事件，同为黑子为事件，同为白子为事件，则.故选：C【点睛】本题考查互斥事件和的概率，属于基础题型.2.根据2021年新能源乘用车白皮书显示，新能源乘用车销量呈井喷式增长，各月销量不断创历史新高，下图是2017-2021年新能源乘用车BEV（纯电动车）与PHEV（混合动力电车）销量占比变化.下列结论不正确的是（）A.2019年开始BEV销量占比稳步上升B.2020年PHBV的销量比2018年的少 C.2021年BEV销量占比创近5年新高D.2017至2021年BEV是新能源汽车销售的主力军【答案】B【解析】【分析】根据图中销售占比的数据比较大小，逐项判别，可得答案.【详解】对于A，由年的销量占比数据分别为，则正确；对于B，图中只有两种汽车的销售占比，没有具体的销售数据，则不正确；对于C，由年的销量占比数据分别为，则正确；对于D，由图可知的销售占比数据每年都比的高，则正确.故选：B.3.抛掷一个骰子，将得到的点数记为，则能够构成锐角三角形的概率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出基本事件总数，然后按照分类讨论的方法求出能够构成锐角三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】由题意可知，基本事件总数是6，结合大边对大角可知，最大边对应的最大角为锐角，则能够构成锐角三角形，当时，因为不符合要求；当时，因为不符合要求；当时，因为不符合要求；当时，因为符合要求；当时，因为符合要求；当时，因为符合要求；所以能构成锐角三角形的共有3种情况， 故能够构成锐角三角形的概率.故选：C.4.设等差数列前n项和为，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列片断和性质即可得解.【详解】在等差数列中，，，成等差数列，即，设，则，于是，解得，所以．故选：A5.某学校对高中年级的手机情况进行分层抽样调查，该校高一､高二､高三年级学生各有700人､600人､700人.其中高一年级平均每人拥有1.1个手机，方差为0.5；高二年级平均每人拥有1个手机，方差为0.4；高三年级平均每人拥有0.9个手机，方差为0.4，试估计高中年级带手机状况的方差为（）A.0.433B.0.435C.0.442D.0.451【答案】C【解析】【分析】先求出总体的平均数，再根据分层抽样方差的求法，计算即可得出答案.【详解】记高一、高二、高三年级平均拥有手机分别为，则，，记高一、高二、高三年级平均拥有手机的方程分别为，则，，.则总的平均值，所以，方差 .故选：C.6.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】直线即，恒过定点，曲线即表示以点为圆心，半径为1，且位于直线上方的半圆（包括点，），当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；当与半圆相切时，由，得，切线记为，分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是.故选：B.7.定义表示不超过的最大整数，例如：．若，数列的前项和为，则（）A.64B.70C.77D.84【答案】C 【解析】【分析】根据取整函数分段求出通项公式进而求和即可.【详解】因为，所以当时，；当时，；当时，；当时，．所以．故选：C．8.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为，从而得出四点所在圆的方程为，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可解决本题.【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：，将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为 ，解得，因为，所以故选：A二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.在数列中，为的前项和，则的值可以为（）A.0B.3C.4D.5【答案】ACD【解析】【分析】利用列举法判断为以6为周期的数列，又，进而可得的值只能为，计算即可.【详解】，，为以6为周期的数列，且，而，被6除的余数只能为，所以的值只能为，，故ACD正确，B错误.故选：ACD.10.甲､乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签.其中，甲袋中有编号为的三个号签；乙袋有编号为的六个号签.现从甲､乙两袋中各抽取1个号签，从甲､乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签6；事件C：抽取的两个号签和为3；事件D：抽取的两个号签编号不同.则下列选项中，正确的是（） A.B.C.事件与事件C相互独立D.事件A与事件D相互独立【答案】ABD【解析】【分析】利用相互独立事件的定义及概率乘法公式判断A,C,D选项，根据古典概型判断B选项.【详解】对于A:A,B相互独立,,A正确；对于B：基本事件共有18种，事件C包括2种情况,,B正确；对于C:由，得相互不独立，C错误；对于D:由，得相互独立，D正确；故选：ABD.11.等差数列的前n项和为，公差为d，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则当时，最小C.，D.若，d为整数，则【答案】ABD【解析】【分析】由，求得，对d进行分类讨论，结合数列的单调性，逐个判断即可判断出答案.【详解】因为，所以，即，即 若，等差数列为递减数列，则得，，则，故A正确;若，等差数列为递增数列，则，，则，最小，故B正确;由，得，所以，所以，，故C错误；若，结合，知，则必有，则，由，，解得，又d为整数，所以，故D正确，故选：ABD12.已知斜率为2的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（）A.为定值B.线段AB的中点在一条定直线上C.为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB斜率）D.为定值（F为抛物线的焦点）【答案】BC【解析】【分析】A选项，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之积，不是定值；B选项，计算出线段AB的中点坐标为，得到结论；C选项，在A选项基础上，计算出；D选项，结合焦半径公式推出不是定值.【详解】A选项，设直线方程为，联立，得， 故不是定值，A错误；B选项，由A可知，，故，则，故线段AB的中点坐标为，一定在直线上，B正确；C选项，，，故为定值，C正确；D选项，由抛物线焦半径公式可得，，因为，所以，不是定值，D错误.故选：BC三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.）13.数据的平均数是7，则这组数据的第百分位数为______．【答案】【解析】【分析】先利用平均数的性质求得参数，再利用百分数位数据定义即可得解.【详解】因为数据的平均数是7，所以，解得，因为， 所以这组数据的第百分位数为第位数，即.故答案为：.14.第十九届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．为了让更多的同学了解亚运会，学校团委举行了“迎亚运，猜谜语”活动．甲、乙两位同学组队代表班级参加此次迷语竞猜活动．比赛共两轮，每人每轮各猜一个谜语．已知甲每轮猜对谜语的概率为，乙每轮猜对谜语的概率为，若甲、乙两人每轮猜对谜语与否互不影响，前后两轮猜对谜语结果也互不影响，则甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为___________．【答案】【解析】【分析】讨论甲乙猜对的个数情况利用概率公式计算即可.【详解】甲乙共猜对3个谜语有如下两种情况：甲猜对一个，乙猜对两个，其概率：；或甲猜对两个，乙猜对一个，其概率为：，故甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为.故答案为：15.设为数列的前项和，，则______．【答案】【解析】【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用前项和公式求出结果．【详解】设为数列的前项和，①当时，解得，当时，②①-②得，即（常数），所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列． 则（首项符合通项）．故，所以.故答案为：．【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，等比数列的前项和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．16.焦距为12的双曲线的左右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的实轴长为_______________【答案】8【解析】【分析】设，则，内切圆半径为，根据三角形面积的两种表达得到方程，求出，结合双曲线定义得到，因为，表达出，，由正弦定理得到，得到方程，求出，得到焦距.【详解】由题意得，设，因为，所以，因为为的内心，所以内切圆半径为，则，又，故，解得，根据双曲线定义可知，，解得，因为，所以， 因为，所以，因为平分，所以，在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因为，所以，所以，即，解得，故焦距为.故答案为：8四､解答题（本大题共6小题，共70分.请将正确答案做在答题卷相应位置，要有必要的推理或证明过程.）17.某线上零售产品公司为了解产品销售情况，随机抽取50名线上销售员，分别统计了他们2022年12月的销售额（单位：万元），并将数据按照[12，14），[14，16）…[22，24]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该公司销售员月销售额的平均数是多少（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）？（2）该公司为了挖掘销售员的工作潜力，拟对销售员实行冲刺目标管理，即根据已有统计数据，于月初确定一个具体的销售额冲刺目标，月底给予完成这个冲刺目标的销售员额外的奖励.若该公司希望恰有 20%的销售人员能够获得额外奖励，你为该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是多少？并说明理由.【答案】（1）18.32（万元）（2）20.8万元，理由见解析【解析】【分析】（1）根据概率和为1算出a的值，再根据频率分布直方图即可计算结果；（2）根据频率分布直方图即可求解.【小问1详解】根据频率分布直方图可得：（0.03+a+0.12+0.14+0.1+0.04）×2＝1，解得a＝0.07，∴该公司销售员月销售额的平均数为：＝13×0.03×2+15×0.07×2+17×0.12×2+19×0.14×2+21×0.1×2+23×0.04×2＝18.32（万元）；【小问2详解】设该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是x，则根据频率分布直方图可得：（22﹣x）×0.1+0.08＝0.2，解得x＝20.8，∴该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是20.8万元.18.已知为数列的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）对任意的正整数n，令，求数列的2n项的和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据数列的第项和数列前项和的关系即可得出答案；（2）将奇数项和偶数项分别求和，结合等差数列和等比数列的前项和的公式即可得出答案.【小问1详解】 （1）由题可知，①，所以，，②①—②得，（*），又因为，符合（*）式.所以.【小问2详解】由（1）知，，所以.19.如图，在直角梯形中，，，.以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明过程见解析； （2）存在，，理由见解析.【解析】【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，得到，从而得到线面平行；（2）建立空间直角坐标系，设出，利用线面角的正弦值列出方程，求出答案.【小问1详解】将直角梯形绕着旋转得到直角梯形，故且，故四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】因为，，，所以两两垂直，故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，设，则，设，则，设，则，解得，故，当时，此时与重合，直线和平面垂直，不满足所成角的正弦值为，舍去；当时，设平面的法向量为， 则，令，则，故，设直线和平面所成角的正弦值为，则，解得或（舍去），综上，在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为，此时.20.已知数列的首项，前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）令，数列的前项和为，记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数的最大值．【答案】（1）（2）14．【解析】【分析】（1）由得出等差数列，再应用等差数列通项求解；（2）先应用裂项相消得出前n项和，再把不等式恒成立问题转化为最值求解.【小问1详解】由．当时，两式相减得：， 整理得：所以，，（）所以，是以1为首项，公差为3的等差数列．所以【小问2详解】由（1）得，所以，则问题转化为对任意正整数使不等式恒成立．设，则所以，故的最小值是．由，所以，则整数可取的最大值为14．21.已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为．（1）求抛物线的方程及点的坐标；（2）设斜率为的直线过点且与抛物线交于不同的两点、，若且，求斜率的取值范围．【答案】（1）抛物线方程为，点的坐标为（2） 【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求出的值，可得出抛物线的方程，将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，可得出点的坐标；（2）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，由可求得的范围，列出韦达定理，由已知条件可求得，由韦达定理可得出，利用双勾函数的单调性可出的取值范围，综合可得解.【小问1详解】解：由抛物线定义可知，得，所以，抛物线方程为，将点的坐标代入抛物线方程得，所以，点的坐标为.【小问2详解】解：直线的方程为，设点、，联立整理得，，可得或，由韦达定理可得，，又，即，所以，，因为，，则，又，令，所以，，由双勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数，当时，， 同理可知，当时，，又因为或，所以，的取值范围是.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22.已知点在双曲线上.（1）已知点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值：（2）已知点，过点作斜率为的动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点，满足（i）求斜率的取值范围：（ii）证明：点恒在一条定直线上.【答案】（1）证明见解析（2）（i）；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，求得双曲线的方程为，设点的坐标为，利用点到直线的距离公式，得到，结合双曲线的方程，即可得证；（2）（i）根据题意，设直线的方程为，联立方程组，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求的斜率的取值范围； （ii）设，由，得到，结合韦达定理，求得，进而求得，得到，即可得证.【小问1详解】证明：将点代入双曲线，可得，解得，所以双曲线的方程为，设点的坐标为且，则，即，又由双曲线的两条渐近线分别为，所以点到两渐近线的距离分别为，则，所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值.【小问2详解】解：（i）若直线的斜率不存在，此时直线与双曲线右支无公共点，不满足题意，所以直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，整理得，则满足， 因为恒成立，所以，，即，解得，所以斜率的取值范围为.（ii）设，则，设点的坐标为，由，可得，整理得，代入得，解得，将代入，解得，则，所以点恒在一条定直线上.【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.