山东省枣庄市第三中学2023-2024学年高二上学期12月质量检测数学Word版含解析.docx

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枣庄三中2023～2024学年度第高二年级一学期12月份质量检测数学试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分，考试用时120分钟.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号、班级填写在答题纸和答题卡规定的位置.考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回.第I卷（共60分）注意事项：1．第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分.2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为，则实数a的值为（）A.B.C.D.2.已知是等差数列，是其前n项和，若，，（）A.65B.60C.D.213.已知圆：与圆：相内切，则（）A11B.C.9D.4.设数列的前n项和为，并且，则等于（）A.32B.16C.992D.5.已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（）A.B.C.D.6.如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（） A.B.C.D.7.双曲线C：（）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的渐近线方程为（）AB.C.D.8.已知椭圆：（）的离心率为，左右焦点分别为，，是上一动点，若点到焦点的最大距离为3，则的取值范围为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于直线：，下列说法正确的有（）A.直线恒过定点B.无论m取何实数，直线一定不过点C.直线l被圆截得的最短弦长是2D.若直线与圆相切，则10.已知直线l：过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点（点A 在第一象限），则下列结论正确的有（）A.抛物线C的方程为B.线段AB的长度为8C.以AF为直径的圆和抛物线的准线相切D.11.1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》，在书中收录了一个有关兔子繁殖的问题.他从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列为斐波那契数列，其前n项和为，并且满足，，，则关于斐波那契数列，以下结论正确的是（）A.B.C.D.12.在棱长为1正方体中，点P满足，，，则（）A.当时，的最小值为B.当时，有且仅有一个点P满足C.当时，有且仅有一个点P满足到直线的距离与到平面的距离相等D.当时，线段AP扫过的图形面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.如果直线：与直线：垂直，则______14.已知圆：，则过圆心可以作______条直线与圆：相切（用数字作答）．15. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数的差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，后人一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的通项公式为______16.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点A、B为椭圆（）上任意两个动点，动点P在直线上，若恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，可知椭圆C的离心率的取值范围为______四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知圆的圆心在直线上，且圆经过原点和点．（1）求圆的标准方程：（2）如果圆被斜率为1的直线截得的弦长为2，求直线的方程．18.已知数列等差数列，，且．（1）求的通项公式；（2）记为数列的前n项和，求．19.如图，直角梯形ABCD中，，，，点E为CD的中点，沿着AE翻折至，点M为PC的中点，点N在线段BC上．（1）证明：平面PBC（2）若平面平面ABCE，平面EMN与平面PAB的夹角为30°，求的值．20.记为数列的前n项和，且． （1）证明：是等比数列，并求其通项公式；（2）求数列的前n项和．21.已知圆过点，且与直线l：相切．（1）求圆心的轨迹E的方程；（2）过点F的两条直线，与曲线E分别相交于A、B和C、D四点，且M，N分别为AB，CD的中点．设与的斜率依次为，，若，试判断直线MN是否恒过定点，若是，求出定点，若不是请说明理由．22.已知椭圆C：（）过点，，为椭圆的左右顶点，，为椭圆的下顶点和上顶点，P是椭圆C上不同于，的动点，直线，的斜率分别为，，满足（1）求椭圆C的方程：（2）若点P是椭圆上第一象限内一点，直线OP交椭圆C于另一点Q，求四边形的面积的取值范围． 枣庄三中2023～2024学年度第一学期高二年级12月份质量检测数学试题2023.12本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分，考试用时120分钟.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号、班级填写在答题纸和答题卡规定的位置.考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回.第I卷（共60分）注意事项：1．第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分.2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为，则实数a的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用直线斜截式方程及斜率的定义求解即得.【详解】直线的倾斜角为，因此该直线的斜率，又，所以.故选：D2.已知是等差数列，是其前n项和，若，，（）A.65B.60C.D.21【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差，再利用前n项和公式计算即得. 【详解】依题意，等差数列的公差，所以.故选：C3已知圆：与圆：相内切，则（）A.11B.C.9D.【答案】B【解析】【分析】求出两个圆的圆心坐标及半径，利用两圆内切列式求解即得.【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，显然点在圆外，由圆与圆相内切，得，于是，解得，所以.故选：B4.设数列的前n项和为，并且，则等于（）A.32B.16C.992D.【答案】A【解析】【分析】利用即可求解.【详解】当时，.所以.故选：A.5.已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解.【详解】根据题意，.设向量是直线的单位方向向量，，则点C到直线AB的距离为.故选：D.6.如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论列式计算即得.【详解】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点，得，于是，由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以.故选：C7.双曲线C：（）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 AP，AQ的斜率之积为，则C的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求出即得答案.【详解】依题意，点，设点，则，显然，即，由直线AP，AQ的斜率之积为，得，解得，所以双曲线C的渐近线方程为.故选：C8.已知椭圆：（）的离心率为，左右焦点分别为，，是上一动点，若点到焦点的最大距离为3，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题设条件得出，在中，令，，由余弦定理得到，再利用基本不等式即可求出结果.【详解】因为椭圆的离心率为，所以，得到，又，，设，则， 又，得到，所以，易知，，又点到焦点的最大距离为3，所以，得到，令，由椭圆定义知，在中，由余弦定理得，又，得到，当且仅当时取等号，所以，故，又易知，当在椭圆左、右顶点时取等号，所以，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于直线：，下列说法正确的有（）A.直线恒过定点B.无论m取何实数，直线一定不过点C.直线l被圆截得的最短弦长是2D.若直线与圆相切，则【答案】ABD【解析】【分析】根据条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，因为恒成立，所以直线恒过定点，故选项A正确；对于选项B，因为，所以选项B正确；对于选项C，由选项A知，直线恒过定点，又弦长公式，所以圆心到直线的距离越大，弦长越短，故当直线与（为坐标原点）垂直时，弦长最短，此时，，所以选项C错误；对于选项D，因为直线与圆相切，又圆的圆心为，，所以，解得，故选项D正确，故选：ABD.10.已知直线l：过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），则下列结论正确的有（）A.抛物线C的方程为B.线段AB的长度为8C.以AF为直径的圆和抛物线的准线相切D.【答案】BD【解析】【分析】求出抛物线C的焦点，进而求出，把直线与抛物线C的方程联立，再逐项判断即得.【详解】抛物线C：的焦点在直线l：上，即，解得，抛物线C的方程为，A错误；由消去并整理得，，设，于是，而抛物线C的准线为，则，B正确； 焦点，线段中点横坐标，因此以线段为直径的圆与y轴相切，与抛物线C的准线相离，C错误；由点在第一象限，知，即，由解得，因此，D正确.故选：BD11.1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》，在书中收录了一个有关兔子繁殖的问题.他从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列为斐波那契数列，其前n项和为，并且满足，，，则关于斐波那契数列，以下结论正确的是（）A.B.C.D【答案】BC【解析】【分析】根据斐波那契数列满足的条件，结合累加法，逐项计算判断即得.【详解】斐波那契数列中，，，，，A错误；当时，，，三个式子相加，得： ，B正确；当时，，则，C正确；当时，，则，D错误.故选：BC12.在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则（）A.当时，的最小值为B.当时，有且仅有一个点P满足C.当时，有且仅有一个点P满足到直线的距离与到平面的距离相等D.当时，线段AP扫过的图形面积为【答案】AC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据向量关系式确定动点位置或轨迹，然后逐项进行判断即可求解.【详解】如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，则，，，，则，∴. 选项A：当时，点为线段上的点，将平面和平面沿展开为同一个平面，如图：连接，则的最小值为，故A正确；选项B：当时，，，，则，即，即满足条件的P点有无数个，故B错误；选项C：当时，，则，，，，则在上的投影为，则点P到直线的距离；平面的一个法向量为，，则点P到平面的距离为，当点P到直线的距离与到平面的距离相等时，，∵，∴方程有一个解，则，即仅存在一个点P满足条件，故C正确；D选项：当时，，可知点在以和为半径的上，线段是以为旋转轴的圆锥的母线，所以线段扫过的图形面积为，故D错误．故选：AC.【点睛】 关键点睛：本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，然后得到点到直线和点到平面的距离的表达式，从而判断出C选项的正误.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.如果直线：与直线：垂直，则______【答案】2【解析】【分析】若斜率存在的两条直线互相垂直，则其斜率积为，由此求得.【详解】直线：的斜率为，直线：的斜率为，因为，所以，解得.故答案为：2.14.已知圆：，则过圆心可以作______条直线与圆：相切（用数字作答）．【答案】2【解析】【分析】求出圆的圆心坐标，判断点与圆的位置关系即得.【详解】圆：中，，圆心，显然点在圆：外，所以过圆心可以作两条直线与圆相切.故答案为：215.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数的差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，后人一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的通项公式为______【答案】【解析】【分析】利用高阶等差数列的定义，结合累加法求得数列的通项公式. 【详解】数列中，由后项减前项，得，因此当时，，，而满足上式，所以该数列的通项公式为.故答案为：16.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点A、B为椭圆（）上任意两个动点，动点P在直线上，若恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，可知椭圆C的离心率的取值范围为______【答案】【解析】【分析】求出给定椭圆的蒙日圆方程，由已知可得直线与该蒙日圆相离，建立不等式求出离心率范围即得.【详解】依题意，直线都与椭圆相切，因此直线所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆，由点A、B为椭圆上任意两个动点，动点P满足为锐角，得点在圆外，又动点P在直线上，因此直线与圆相离，于是，解得，则，解得，所以椭圆C的离心率的取值范围为. 故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知圆的圆心在直线上，且圆经过原点和点．（1）求圆的标准方程：（2）如果圆被斜率为1的直线截得的弦长为2，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设圆的半径为，根据条件建立方程组且，求出，即可求出结果；（2）设，根据条件，利用弦长公式建立方程，即可求出结果.【小问1详解】设圆的半径为，由题可得且，解得，所以圆的标准方程为.【小问2详解】设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，又直线被圆截得到弦长为，所以，解得，故直线的方程为或.18.已知数列为等差数列，，且．（1）求的通项公式； （2）记为数列的前n项和，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）结合题意以及数列为等差数列，利用等差数列的性质求出的通项公式，即可求出.（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得.【小问1详解】设等差数列的公差为，由，得，即，解得，由，得，因此，则，所以数列的通项公式，【小问2详解】由（1）知，，显然，所以.19.如图，直角梯形ABCD中，，，，点E为CD的中点，沿着AE翻折至，点M为PC的中点，点N在线段BC上．（1）证明：平面PBC（2）若平面平面ABCE，平面EMN与平面PAB的夹角为30°，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法，由平面与平面的夹角列方程，从而求得.【小问1详解】依题意，由，，平面，得平面，而平面，则，又，于是，由为的中点，得，而平面，所以平面.【小问2详解】平面平面，平面平面，平面，所以平面，以分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设，设，，设平面的法向量为，，令，得，设是平面的一个法向量，，，则，令，得，设平面与平面的夹角为，，而，解得，所以的值为. 20.记为数列的前n项和，且．（1）证明：是等比数列，并求其通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1），时，，相减可得：．利用等比数列的通项公式可得；（2）由于，利用错位相减法即可得出．【小问1详解】证明：，时，，相减可得：，可得．时，，解得．数列为等比数列，首项，公比为．．小问2详解】由（1）可得，，数列的前项和，， 相减可得，化为得．21.已知圆过点，且与直线l：相切．（1）求圆心的轨迹E的方程；（2）过点F的两条直线，与曲线E分别相交于A、B和C、D四点，且M，N分别为AB，CD的中点．设与的斜率依次为，，若，试判断直线MN是否恒过定点，若是，求出定点，若不是请说明理由．【答案】（1）；（2）过定点，定点坐标为.【解析】【分析】（1）设，根据题意得到，即可求得曲线的方程.（2）设，的方程为，分别与的方程联立得和，求出，再求出直线的方程即可.【小问1详解】依题意，设，由圆心为点的动圆恒过点，且与直线相切，得，化简得，所以圆心的轨迹E的方程是.【小问2详解】设，的方程分别为，，由消去y并整理得，设，则，于是线段的中点，同理 因此直线的斜率，由，得，直线的方程为，整理得，显然此直线过点，所以直线恒过定点22.已知椭圆C：（）过点，，为椭圆的左右顶点，，为椭圆的下顶点和上顶点，P是椭圆C上不同于，的动点，直线，的斜率分别为，，满足（1）求椭圆C的方程：（2）若点P是椭圆上第一象限内的一点，直线OP交椭圆C于另一点Q，求四边形的面积的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由得，再把已知点的坐标代入后列出关于 的方程组求解可得椭圆标准方程.（2）设直线的方程为，求出点到直线的距离及，把四边形面积表示为的函数并求出取值范围得解.【小问1详解】设，显然，则，又，即，于是，即，由椭圆过点，得，联立解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】由（1）知，，设直线的方程为，则点到直线距离分别为，.由得点，于是，四边形的面积，而，当且仅当，即时取等号，因此，所以四边形面积的取值范围是.