黑龙江省佳木斯市三校联考2023-2024学年高二上学期1月期末考数学Word版含解析.docx

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2023-2024学年度（上）三校联考高二期末考试数学试题考试时间：120分钟注意事项：1．答题前请粘贴好条形码，填写好自己的姓名、班级、考号等信息．2．本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分。第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分）．1．平面的一个法向量为，平面的一个法向量，则平面与平面（    ）A．平行B．垂直C．相交D．不能确定2．直线的倾斜角是（）A．B．C．D．3．椭圆的离心率为（    ）A．B．C．D．4．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．B．C．D．5．设为空间的一个标准正交基底，，，则等于（    ）A．7B．C．23D．116．若直线被圆所截得的弦长为，则的最小值为（    ）A．B．C．D． 7．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．已知双曲线C与椭圆有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（    ）A．B．C．D．二、多选题（每小题5分）．9．关于椭圆有以下结论，其中正确的有（    ）A．离心率为B．长轴长是C．焦点在轴上D．焦点坐标为(-1，0)，(1，0)10．在正方体中，若为的中点，则与直线不垂直的有（    ）A．B．C．D．11．已知点，，直线：（其中），若直线与线段有公共点，则直线的斜率的值可能是（）A．0B．1C．2D．412．如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）A．直线BC与平面所成的角等于B．点到平面的距离为C．异面直线和所成的角为.D．线段长度的最小值为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（每小题5分）.13．已知，，且，则，.14．若圆，与圆：相交于，，则公共弦的长为. 15．已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的的距离为．16．已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，点为坐标原点，且，则双曲线的离心率为．四、解答题（17题10分，18、19、20、21、22题各12分.）17．已知空间三点，，，设，．(1)求；(2)与互相垂直，求实数k的值．18．直线经过两直线和的交点．(1)若直线与直线平行，求直线的方程；(2)若点到直线的距离为，求直线的方程．19．如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，（1）求证：CF∥平面A1DE；（2）求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值． 20．在平面直角坐标系中，圆的圆心在直线上，且圆经过点和点.（1）求圆的标准方程；（2）求经过点且与圆恰有1个公共点的直线的方程.21．已知抛物线上的点M（5，m）到焦点F的距离为6.(1)求抛物线C的方程；(2)过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程.22．如下图，已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点互不重合．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值． 2023-2024学年度（上）三校联考高二期末考试数学试题答案1．A【解析】由两个平面法向量的位置关系判断两平面的位置关系【详解】解：因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量，所以，所以所以．故选：A2．D【解析】直线方程化为点斜式，求出直线斜率，即可求出倾斜角.【详解】化为，斜率为，所以倾斜角为.故选:D.3．C【解析】根据椭圆方程求，，，再求离心率. 【详解】由椭圆方程可知，，所以，椭圆的离心率.故选：C4．A【解析】求出关于的对称点，根据题意，则为最短距离，即可得答案；【详解】设点关于直线的对称点，设军营所在区域为的圆心为，根据题意，为最短距离，先求出的坐标，的中点为，直线的斜率为1，故直线为，由，解得，，所以，故，故选：A.5．B【解析】由向量数量积运算性质直接求解即可【详解】解：因为为空间的一个标准正交基底，所以，所以．故选：B.6．C【解析】由圆的圆心为，半径为，又直线被圆所截得的弦长为4，可得直线过圆心，则，然后利用基本不等式中“1”的灵活运用即可求解.【详解】解：圆是以为圆心，以为半径的圆，又直线被圆所截得的弦长为， 直线过圆心，，，当且仅当时等号成立，的最小值为，故选：C．7．C【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.8．A【解析】根据椭圆的方程可得双曲线的焦点在轴上，且，然后设双曲线的方程，并求出渐近线方程，最后由焦点到该双曲线渐近线的距离等于及双曲线中即可求解.【详解】解：因为椭圆的方程为，所以椭圆的焦点坐标为，由题意，双曲线C的焦点在轴上，且，设双曲线C的方程为，则有，其渐近线方程为，即，又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则有，所以，所以双曲线C的方程为，故选：A.9．AD 【解析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选项.【详解】将椭圆方程化为标准方程为所以该椭圆的焦点在轴上，故C错误；焦点坐标为，故D正确；长轴长是故B错误因为所以离心率故A正确.故选：AD.10．ACD【解析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，然后利用空间向量数量积运算求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1.则，，，，，，，∴，，，，.∵，，..∴与不垂直的有、、，故选：ACD.11．BC【解析】由题意可得直线恒过定点，所以要直线与线段有公共点，必须满足 ，从而可求出斜率的取值范围，进而可得答案【详解】由，得，因为所以，解得，所以直线恒过定点，因为点，，直线与线段有公共点，所以直线的斜率满足：，即，得，故选：BC12．ABD【解析】根据直线和平面所成的夹角，点到平面的距离，异面直线所成的角以及异面直线距离的计算方法进行逐项判断.【详解】解：由题意得：正方体的棱长为2对于选项A：连接，设交于O点平面即为直线BC与平面所成的角，且，故A正确；对于选项B：连接，设交于O点平面点到平面的距离为,故B正确；对于选项C：连接、，由正方体性质可知∥故异面直线和所成的角即为和所成的角又 为等边三角形故C错误；对于选项D：过作，过作，连接PQ为异面直线之间的距离，这时距离最小；设，为等腰直角三角形，则，也为等腰直角三角形，则为直角三角形故当时，取最小值，故，故D正确；故选：ABD13．【解析】利用向量平行的充要条件列出关于x、y的方程组，解之即可求得x、y的值.【详解】，，则， 由，可得，解之得14．【解析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.【详解】由题意所在的直线方程为：，即，因为圆心到直线的距离为1，所以.故答案为：15.2【解析】求出在的投影即可.【详解】由题可知点到平面的的距离即为在的投影，，，，，在的投影为．16．【解析】首先取的中点，连接．则，根据已知条件得到，从而得到，再求离心率即可.【详解】如图所示：取的中点，连接．则．由知，， 又因为点到渐近线的距离，所以，即，又，代入化简得，即，解得或（舍去），故．故答案为：17．(1)；(2)或.【解析】（1）应用向量线性关系坐标运算得，，根据向量夹角的坐标公式求夹角余弦值；（2）首先求出的坐标，再根据向量垂直的坐标表示列方程求参数k.【详解】（1）由题设，，所以.（2）由，，而，所以，可得或.18．(1)(2)或【解析】（1）由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出的方程．（2）分类讨论直线的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线的方程．【详解】（1）解：由，解得， 所以两直线和的交点为．当直线与直线平行，设的方程为，把点代入求得，可得的方程为．（2）解：斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为5．当的斜率存在时，设直限的方程为，即，则点到直线的距离为，求得，故的方程为，即．综上，直线的方程为或．19.（1）见解析；（2）【解析】（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CF∥平面A1DE．（2）求出平面A1DE的法向量和平面A1DA的法向量，利用向量法能求出平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．【详解】证明：（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），则，设平面A1DE的法向量是则，取， ∴所以CF∥平面A1DE．解：（2）是面A1DA的法向量，∴即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为．20．（1）；（2）或【解析】（1）由题意可知，圆心应在弦PQ的中垂线上，求出该直线方程，与圆心所在直线方程联立求解，求得圆心坐标，再利用点P在圆上，求出半径，进而求出圆的方程；（2）分直线的斜率是否存在进行讨论，设出直线的点斜式方程，由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率，从而求出直线的方程．【详解】解：（1）直线的斜率，中点坐标为，所以中垂线方程为，即，由得，圆心，所以，所以圆的标准方程为：.（2）当该直线斜率不存在，即直线方程为时，成立，当该直线斜率存在时，设其方程为：，即，因为该直线与圆恰有1个公共点，所以圆心到直线距离，得.所以切线方程为或.21．(1)(2) 【解析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程.（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k，即可得直线l方程．【详解】（1）由题设，抛物线准线方程为，∴抛物线定义知：可得，故（2）由题设，直线l的斜率存在且不为0，设联立方程，得，整理得，则.又P是线段AB的中点，∴，即故l22．（1）；（2）证明见解析.【详解】试题分析：（1）根据离心率为可得，把代入方程可得，又，解方程组即可求得方程；（2）设直线的方程为，整理方程组，求得，及参数的范围，由斜率公式表示出，结合直线方程和韦达定理整理即可得到定值.试题解析：（1）由题意，可得，代入得，又，解得，，所以椭圆的方程为．（2）证明：设直线的方程为，又，，三点不重合，∴，设，，由得，所以，解得， ，①，②设直线，的斜率分别为，，则（），分别将①②式代入（），得，所以，即直线，的斜率之和为定值．