湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三上学期月考试卷五数学Word版含解析.docx

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大联考长郡中学2024届高三月考试卷(五)数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若为虚数单位,则的虚部为()A.B.1C.D.-1 2.若集合,则()A.B.C.或D.3.已知不共线的两个非零向量,则“与所成角为锐角”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.要得到函数的图象,可以将函数的图象()A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度5.已知若为上的奇函数,,则()A.B.C.D.-1 6.已知双曲线的左、右顶点分别为为的右焦点, 的离心率为2,若为右支上一点,,记,则()A.B.1C.D.2 7.已知二面角的平面角为与平面所成角为.记的面积为的面积为,则的取值范围为()A.B.C.D.8.在长郡中学文体活动时间,举办高三年级绳子打结计时赛,现有根绳子,共有10个绳头,每个绳头只打一次结,且每个结仅含两个绳头,所有绳头打结完毕视为结束.则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为()A.B.C.D.二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.下列关于概率统计说法中正确的是()A.两个变量的相关系数为,则越小,与之间的相关性越弱B.设随机变量,若,则C.在回归分析中,为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好D.某人解答10个问题,答对题数为,则10.已知等比数列的公比为,前项积为,若,则()A.B.C.D.11.已知定义在上的函数满足,且是奇函数,则()A.的图象关于点对称B.C. D.若,则12.是边上的点,其中,且.则面积的可能取值为()A.B.C.D.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.的展开式中的系数是__________.(用数字作答).14.函数的图象在处的切线与坐标轴所围成的图形的面积为__________.15.四棱锥的底面是平行四边形,点分别为的中点,平面将四棱锥分成两部分的体积分别为,且满足,则__________.16.已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,点在椭圆上,连接并延长交于点,连接,若存在点使成立,则的取值范围为__________.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知数列是等差数列,其前项和为,且.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和.18.(本小题满分12分)如图,在三棱锥中,平面.(1)求证:平面;(2)求二面角的大小. 19.(本小题满分12分)在中,角所对的边分别为,且.(1)求;(2)已知为边上的一点,若,求的长.20.(本小题满分12分)已知函数.(1)求的单调区间;(2)若对于任意的恒成立,求实数的取值范围.21.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,为轴正半轴上的一个动点.以为焦点、为顶点作抛物线.设为第一象限内抛物线上的一点,为轴负半轴上一点,设,使得为抛物线的切线,且.圆均与直线切于点,且均与轴相切.(1)试求出之间的关系;(2)是否存在点,使圆与的面积之和取到最小值.若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.22.(本小题满分12分)现有一种不断分裂的细胞,每个时间周期内分裂一次,一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞,每次分裂后原细胞消失,设每次分裂成一个新细胞的概率为,分裂成两个新细胞的概率为;新细胞在下一个周期内可以继续分裂,每个细胞间相互独立.设有一个初始的 细胞,在第一个周期中开始分裂,其中.(1)设结束后,细胞的数量为,求的分布列和数学期望;(2)设结束后,细胞数量为的概率为.(i)求;(ii)证明:.大联考长郡中学2024届高三月考试卷(五)数学 参考答案题号123456789101112答案DBCBCACDBDACABDAB1.D【解析】因为,故选D. 2.B【解析】不等式解得,则,,故选B. 3.C【解析】因为不共线,可知与不共线,则与所成角为锐角等价于,即,即,所以“与所成角为锐角”是“”的充分必要条件.故选C. 4.B【解析】,,故选B. 5.C【解析】由题意可得当时,,因为为上的奇函数,所以,所以,所以(舍去),或,因为,所以.故选C. 6.A【解析】设的焦距为,点,由的离心率为2可知,因为,所以,将代入的方程得,即,所以,故.故选A. 7.C【解析】作,垂足为,连接,因为,即平面,故平面平面,故, 又平面,故平面平面,平面平面,则在平面内的射影在直线上,则为与平面所成角,即,由于,故为二面角的平面角,即,,在中,,则,而,则,则,故,故选C. 8.D【解析】不妨令绳头编号为,可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1,2外有种可能,假设绳头1与绳头3打结,那么相当于对剩下根绳子进行打结,令根绳子打结后可成圆的种数为,那么经过一次打结后,剩下根绳子打结后可成圆的种数为,由此可得,,所以,所以,显然,故;另一方面,对个绳头进行任意2个绳头打结,总共有 所以.所以当时,,故选.二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)9.BD【解析】对于,两个变量的相关系数为越小,与之间的相关性越弱,故A错误;对于,随机变量服从正态分布,由正态分布概念知,若,则,故B正确;对于C,在回归分析中,越接近于1,模型的拟合效果越好,为0.98的模型比为0.89的模型拟合的更好,故错误;对于,某人在10次答题中,答对题数为,则数学期望,故D正确.故选BD.10.AC【解析】因为等比数列的公比为且,则,所以,又因为,则,所以,从而,故对任意的,由可得,A对B错;,即,C对D错.故选AC.11.ABD【解析】A选项,由题意知,,则,所以图象的对称中心为正确;选项,,两式相减得,所以,B正确;选项,由选项可得,的周期为4,又, 故,令得,,得,所以错误;选项,因为,令得,,又,故,中,令得,,由,得,又的周期为4,则,所以,D正确.故选ABD.12.AB【解析】由面积公式可得:,,因为,故,由可得,即,建立如图所示的平面直角坐标系,则,设,则,整理得到:, 即点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,故的边上的高的最大值为,故其面积的最大值为.故选.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.80【解析】的通项为,令,得的展开式中的系数是.14.1【解析】由题意可得,则,故的图象在处的切线方程为,即.令,得;令,得,则所求图形的面积为.15.【解析】如图,延长交于点,连接交于点,因为底面为平行四边形,所以与全等,且与相似,相似比为,设的面积为,则四边形的面积为,设点到底面的距离为, 则,又因为为的中点,所以,而,所以,所以,所以,所以.16.【解析】设,则.显然当靠近右顶点时,,所以存在点使等价于,在中由余弦定理得,即,解得,同理可得,所以,所以,所以,当且仅当时等号成立.由得,所以. 四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.【解析】(1)设等差数列的公差为,又,所以解得,所以的通项公式.(2)由(1)知,所以.18.【解析】(1)因为平面平面,所以,同理,所以为直角三角形,又因为,所以,则为直角三角形,故,又因为,所以平面.(2)由(1)知平面,又平面,则,以为原点,为轴,过且与平行的直线为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图,则, 所以,设平面的法向量为,则即令,则,所以,设平面的法向量为,则即令,则,所以,所以,又因为二面角为锐二面角,所以二面角的大小为.19.【解析】(1),根据正弦定理得,,即,,因为,,所以,.(2),根据余弦定理得.. 在中,由正弦定理知,,,.20.【解析】(1),令,则,即,解得的递增区间为;令,则,即,解得的递减区间为.所以,的递增区间为,递减区间为.(2)因为对于任意的恒成立,所以对于任意的恒成立,当时,;当时,,令, 所以.令,所以在上恒成立,所以在上单调递减,所以,即在上恒成立所以在上单调递减,所以,所以.综上,实数的取值范围为.21.【解析】(1)由条件抛物线,点,设,将其与抛物线的方程联立,消去得.①因为与抛物线切于点,所以方程①的判别式为,解得.进而,点.故.由,则.②(2)设圆的圆心分别为.注意到,与圆均切于点,故.设圆与轴分别切于,如图所示: 则分别为的角平分线,故,易知,则,.结合式②有.③由三点共线得,化简可得.④令,于是,圆的面积之和为.根据题意,仅需考虑取最小值的情形,根据③、④知.令,由.当且仅当时,上式等号成立.此时,.结合式(2)得.故点的坐标为.22.【解析】(1)2个结束后,的取值可能为,其中, ,,所以分布列为1234.(2)(i)表示分裂结束后共有2个细胞的概率,则必在某一个周期结束后分裂成2个细胞.不妨设在第时分裂为2个细胞,之后一直有2个细胞,此事件概率,所以.(ii)代表分裂后有3个细胞的概率,设细胞在后分裂为2个新的细胞,这两个细胞在剩下的中,其中一个分裂为2个细胞,一个保持一直分裂为1个细胞,此事件的概率,得,,其中.令, 记,令,得.当单调递增;当单调递减.故,

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