重庆市黔江中学校2023-2024学年高二上学期10月考试数学 Word版含解析.docx

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重庆市黔江中学校2023-2024年度高二上10月考试数学试卷时间：120分钟一､选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分1.已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝（）A2B.－2C.D.【答案】B【解析】【分析】直接利用直线垂直公式计算得到答案.【详解】因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即-＝1，解得a＝－2.故选：【点睛】本题考查了根据直线垂直计算参数，属于简单题.2.平面的法向量为，平面的法向量为，，则（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据，由两个平面法向量平行列式得解.【详解】因为平面的法向量为，平面的法向量为，且，所以，解得.故选：C3.在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】写出关于轴的对称点，点关于平面的对称点，再计算的值． 【详解】空间直角坐标系中，关于轴的对称点为，点关于平面的对称点为点，所以．故选：B．4.已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据点斜式方程求解即可.【详解】直线在轴上的截距为，点在直线上，又直线的斜率为,根据点斜式方程得即.故选：B.5.直线的倾斜角的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用直线方程求出直线的斜率，通过斜率的范围，得到倾斜角的正切值的范围，求出α的范围．【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，则，∴，即∴倾斜角的取值范围是．故选：D【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查学生计算能力，属于基础题． 6.已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（）A.B.C.或D.或【答案】A【解析】【分析】求出直线的斜率，再结合图形即可得解.【详解】因为，，所以直线的斜率分别为，由图形知，当或，即或时，直线l与线段AB相交，所以直线与线段不相交时，直线l斜率k的取值范围为.故选：A.7.已知点,直线与轴相交于点,则△中边上的高所在直线的方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】令得点坐标,再根据和斜率公式,得直线的斜率,结合点斜式求解即可.【详解】直线与轴相交于点,令得由题知且直线的斜率得易知点在直线上,根据点斜式得即. 故选：C.8.已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取的中点，连接、、，根据题意判断平面平面，得出是点在底面内的轨迹，计算的值即可．【详解】取的中点，连接、、，如图所示：由分别是棱的中点，得，平面，平面，则平面，又且，于是为平行四边形，则，平面，平面，则平面，又，平面，因此平面平面，由与平面无公共点，平面，则平面，又点为底面内（包括边界）的一动点，平面平面，于是是点在底面内的轨迹，又正方体的棱长为，则，所以点的轨迹长度为. 故选：B二､多选题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）9.在四面体中，，则以下选项正确的有（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据空间向量坐标表示公式、空间向量模的坐标表示公式、空间向量垂直的性质和数量积坐标公式逐一判断即可.【详解】A：因为，所以本选项正确；B：因为，，所以有，，因此本选项正确；C：因为，，所以有，因此本选项不正确；D：因为，，所以，因此本选项不正确，故选：AB10.下列命题中，正确的有（）A.空间任意向量都是共面向量B.已知，，，四点共面，对空间任意一点，若，则C.在四面体中，若，，则D.若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底【答案】ACD 【解析】【分析】利用空间向量共面定理及数量积运算，逐一分析判断即可．【详解】解：对于，空间任意向量都是共面向量，所以A正确对于B，已知，，，四点共面，对空间任意一点，若则，解得，所以B错误对于C，在四面体中，若，，则，所以C正确对于D，因为向量是空间一组基底，则对于空间任一向量，都存在实数，，，使得，即，所以也是空间的一组基底，所以D正确．故选：ACD．11.在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，则（）A.异面直线与所成角的余弦值为B.C.四面体的外接球体积为D.平面截正方体所得的截面是平面五边形【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系利用坐标法可判断AB；利用正方体的结构特征求出球半径判断C；作出截面判断D.【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 则，，异面直线与的夹角余弦，A错误；显然，，，则，B正确；显然四面体的外接球即为正方体的外接球，外接球半径，球体积，C正确；延长交延长线于，连接交于，延长交延长线于，连接交于，则五边形为平面截正方体所得的截面，D正确.故选：BCD12.在正方体中，点P满足，其中，，则下列说法正确的是（）A.当时，平面 B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，△PBD的面积为定值D.当时，直线与所成角的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项，确定点在面对角线上，通过证明面面平行，得线面平行；对于B选项，确定点在棱上，由等体积法，说明三棱锥的体积为定值；对于C选项，确定点在棱上，的底不变，高随点的变化而变化；对于D选项，通过平移直线，找到异面直线与所成的角，在正中，确定其范围.【详解】对于A选项，如下图，当时，点在面对角线上运动，又平面，所以平面，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，同理可证平面，，所以，平面平面，平面，所以，平面，A正确；对于B选项，当时，如下图，点棱上运动，三棱锥的体积为定值，B正确； 对于C选项，当时，如图，点在棱上运动，过作于点，则，其大小随着的变化而变化，C错误；对于D选项，如图所示，当时，，，三点共线，因为且,所以四边形为平行四边形，所以，所以或其补角是直线与所成角，在正中，的取值范围为，D正确.故选：ABD.三､填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.向量，向量在向量上的投影向量坐标是__________.【答案】【解析】【分析】根据投影向量的概念计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量坐标为：.故答案为：.14.已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程______．【答案】或【解析】【分析】直线在两坐标轴上的截距相等，有两种情况，斜率为，或直线过原点，结合直线过点即可求解，有两种情况【详解】因为直线与坐标轴的截距相等，则直线的斜率为，或直线过原点，当直线斜率为时，因为直线过点，根据点斜式，直线方程为：，化简得：；当直线过原点时，，所以直线方程为故答案为：或15.四棱柱的底面是正方形，底面边长为2，侧棱长是3，，则对角线的长为__________.【答案】【解析】【分析】选作为基底，表示出，再利用，结合空间向量数量积的运算即可求出结果.【详解】选作为一组基底，因为=，所以=. 故答案为：.16.已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的最大值是__________，最小值是__________.【答案】①.②.【解析】【分析】先利用正方体的性质求得的取值范围，再利用空间向量的数量积即可得解.【详解】设正方体内切球球心为S，是该内切球的任意一条直径，易知该内切球的半径为1，当点在正方体的面的中心时，取得最小值1；当点在正方体的顶点时，取得最大值，所以；故，所以的最大值是，最小值是.故答案：；.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用数量积运算，将转化为，从而得解.四､解答题（17题10分，18-22题每题12分，总分70分）17.（1）若直线与直线平行，求的值；（2）若直线与直线垂直，求的值. 【答案】（1）或；（2）或【解析】【分析】（1）由两直线平行的性质计算即可得，并排除重合的情况；（2）由两直线垂直的性质计算即可得.【详解】（1）两直线平行，则，即，故或，当时，两直线分别为与，符合要求，当时，两直线分别为与，符合要求，故或；（2）两直线垂直，则，即，故或.18.（1）已知斜率为负的直线过点，且与两坐标轴围成的面积是54，求直线的方程；（2）在中，已知边上的中线所在直线的方程依次是与，求所在直线方程.【答案】（1），或（2）【解析】【分析】（1）设直线的方程为，根据点在直线上，且与两坐标轴围成的面积是54，求出可得答案；（2）设，根据的中点在直线上、点在直线上求出点坐标，的中点在直线上、点在直线上求出点坐标，再利用点斜式方程求解即可.【详解】（1）由斜率为负的直线过点，设直线的方程为，可得，①又因为直线与两坐标轴围成的面积是54，所以，②，由①②解得，或， 所以直线的方程为，或，即，或；（2）设，可得的中点坐标为，的中点坐标为，可得，，解得，，即，所以所在直线方程为，即.19.在正四棱柱中，为的中点，.（1）点满足，求证：四点共面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】19.证明见解析20. 【解析】【分析】（1）连接，，先证明是平行四边形，进而可得N，M，B，四点共面.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角正弦值.【小问1详解】如图：连接NM，，由，知，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，．又因为，，所以，，故N，M，B，四点共面．【小问2详解】如图：因为正四棱柱，故，，以两两相互垂直，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 由，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，可得．记直线CD与平面所成角为，则．20.已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的中点.（1）求证：平面；（2）求的重心到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，连接交于点，连接，由线面平行的判定定理即可证明；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】 连接交于点，连接，因为底面是菱形，则为中点，又为中点，则为的中位线，则，又平面，平面，则平面.【小问2详解】因为底面为菱形，且边长为2，，则，，即，又，为中点，则，则，又，，则，则，又，平面， 则平面，则以为原点，分别为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，设的重心为，则，又，设平面的法向量为，则，解得，取，则，则，又，则点到平面的距离.21.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面平面ABCD，AB＝1，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为．（1）若E为棱SA的中点，F为棱SB的中点，求证：平面平面SCD．（2）在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在点M，位于AS的靠近点A的三等分点处 【解析】【分析】（1）由题可得EPSD，EFCD，即证；（2）由题可得SP⊥平面ABCD，结合条件可得AD的长，建立空间直角坐标系，设＝λ，利用条件列方程，即可解得.【小问1详解】因为E、F分别是SA、SB的中点，所以EFAB，在矩形ABCD中，ABCD，所以EFCD，CD平面SCD，EF平面SCD，∴EF平面SCD，又因为E、P分别是SA、AD的中点，所以EPSD，SD平面SCD，EP平面SCD，∴EP平面SCD，又EF∩EP＝E，EF，EP平面PEF，所以平面PEF平面SCD．【小问2详解】假设在棱SA上存在点M满足题意，在等边三角形SAD中，P为AD的中点，所以，又平面平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，平面SAD，所以平面ABCD，所以SP是四棱锥的高．设，则，，所以，所以m＝2．以点P为原点，，方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，． 设，所以．设平面PMB的一个法向量为，则，所以取．易知平面SAD的一个法向量为，所以，因为，所以，所以存在点M，位于AS的靠近点A的三等分点处满足题意．22.正方体中，，点在线段上.（1）当时，求异面直线与所成角的取值范围；（2）已知线段的中点是，当时，求三棱锥的体积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意引入参数 ，建立适当的空间直角坐标系，将问题转换为两直线方向向量夹角的余弦的范围，然后结合异面直线角的范围即可得解.（2）引入参数，利用等体积法转换为求的体积，只需求到平面的距离以及即可得表达式，从而进一步得解.【小问1详解】由题意正方体的三条棱长两两互相垂直，故以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：，由题意不妨设，所以，所以，设异面直线与所成角为，所以异面直线与所成角的余弦值为，令，当时，，当时，，综上，，所以异面直线与所成角的取值范围为.【小问2详解】 如图所示：由题意线段的中点是，，不妨设，所以，取平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为，而，所以三棱锥的体积为，所以当且仅当时，三棱锥的体积取最小值.【点睛】关键点睛：第一问关键是引入适当参数将问题先转换为求方向向量夹角的余弦，第二问的关键是等体积转换法，这样大大减少了计算量.