山东省临沂市第一中学文峰校区2022-2023学年高一4月月考数学 word版含解析.docx

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临沂一中文峰校区高一学科素养测评数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图所示，是的边上的中点，记，，则向量A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：由向量的减法几何意义得选项C．考点：向量减法的几何意义．2.计算（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由两角差的正切公式，结合，即可求出答案.【详解】.故选：D3.已知是边长为2的等边三角形，则（）A.-2B.C.2D.【答案】A【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的定义直接计算作答.【详解】等边的边长为2，所以.故选：A4.已知，求与的夹角（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由可得，后由向量夹角公式可得答案.【详解】，则，又，则故选：C5.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】令，则，，再利用诱导公式及二倍角公式计算可得；【详解】令，则，，所以.故选：C.6.若平面向量两两的夹角相等，且，则（）A.B.C.5或2D.10或4【答案】D【解析】 【分析】两两的夹角相等，可得夹角为或,再分两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解.【详解】.因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，即，，两两的夹角为或,当夹角为时，，当夹角为时，，所以或.故选：D．7.已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可【详解】所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图：又，所以为等边三角形，，，向量在向量上的投影数量为：． 故投影向量为.故选：D．8.如图，已知扇形的半径为，其圆心角为，四边形是该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最大值为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，根据几何图形的性质把矩形面积表示成关于的三角函数最值问题.【详解】连接，设，则，由已知可得：三角形是等腰直角三角形，即，所以，故矩形的面积为：显然当时，取得最大值，故选:B 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列关于向量的命题正确的是（）A.对任一非零向量，是一个单位向量B.对任意向量，，恒成立C.若且，则D.在中，C为边AB上一点，且，则【答案】ABC【解析】【分析】根据向量的相关概念与线性运算逐项分析判断.【详解】对于A：由于是非零向量，则，可得是一个单位向量，故A正确；对于B：根据向量减法的运算法则可得：当，共线时，（，反向）或（，同向），故；当，不共线时，由三角形法则可得；综上所述：，故B正确；对于C：根据向量相等的定义可得，故C正确；对于D：由题意可得，故D错误；故选：ABC.10.已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（） A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可.【详解】设，因为，，且点P在直线AB上，故由可得以下两种情况：，此时有，解得；或，此时有，解得；故选：AB11.如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（）A.当天10:00时，该船位于观测点C的北偏西15°方向B.当天10:00时，该船距离观测点CkmC.当船行驶至B处时，该船距观测点CkmD.该船在由A行驶至B的这5min内行驶了km【答案】ABD【解析】【分析】利用方位角的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD．【详解】A选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正确.B选项中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=， 故B正确.C选项中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，则BD=CD=2，于是BC=2，故C不正确.D选项中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos∠ACB=2+8－22=6，即AB=km，故D正确.故选：ABD．12.已知函数，则（    ）A.在内有2个零点B.在上单调递增C.图象可由的图象向左平移个单位长度得到D.在上的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，把三角函数化简，求函数的零点进行验证；对于B，求函数的单调递增区间进行验证；对于C，通过图像平移公式进行验证；对于D，由得出整体角的取值范围，再得到的最大值.【详解】.对于A，令，则.当时，；当时，满足题意，故A正确；对于B，令，则.当时，在上单调递增，所以在上单调递增正确，故B正确； 对于C，由的图象向左平移个单位长度得到，故C错误；对于D，若，则，，所以在上的最大值为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.若与共线，则_______【答案】【解析】【分析】由两个向量共线的坐标表示直接求得结果.【详解】已知与共线，则，解得.故答案为：.14.已知单位向量，，若，则与的夹角为________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用夹角公式计算作答.【详解】单位向量，，满足，则有，解得，于是，而，则，所以与的夹角为.故答案为：15.已知函数的部分图象如图所示，点，，在图象上，求_______ 【答案】【解析】【分析】根据图象可得函数周期，据此求出，再代入点可得，再代入点求出，得到函数解析式进而求解即可.【详解】由函数图像可知.设函数的最小正周期为，则，又因为，由，解得，又由图可知函数经过点，则，所以，解得，又因为，所以当时，，所以，又函数图象过点，所以，解得，所以，故，故答案为：16.求_______【答案】【解析】【分析】将切化弦，利用两角和差余弦公式可将原式分子化成一个三角函数，再利用二倍角公式及诱导公式化简求得结果. 【详解】.故答案为：.四、解答题：本题共6小题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知，且向量与不共线.（1）若与的夹角为，求；（2）若与的夹角为且向量与的夹角为锐角，求实数k的取值范围.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）由数量积定义可求得，展开代入即可求得结果；（2）由向量与的夹角的锐角，可得且不同向共线，展开解k即可.【小问1详解】与的夹角为，，.【小问2详解】与的夹角为，，向量与的夹角为锐角，，且不能同向共线， ，，解得且，即或，实数k的取值范围是18.已知函数的最小正周期为；（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间、对称轴及对称中心．【答案】（1）（2）单调递增区间为，对称轴为，对称中心为．【解析】【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式可将化为，后由周期计算公式可得解析式；（2）由（1）结合函数的单调增区间、对称轴以及对称中心，利用整体代换可得答案.【小问1详解】因为最小正周期为，所以∴∴函数的解析式为 【小问2详解】令，得，∴函数的单调递增区间为．令，得．∴函数的对称轴为．令，得．∴函数的对称中心为．19.已知函数在区间上的最大值为5，（1）求常数的值；（2）当时，求使成立的x的取值集合.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的数量积及三角恒等变换化简，再根据三角函数的图象与性质即可求；（2）由（1）求得，根据三角函数的图象与性质即可解不等式.【小问1详解】，，，，∴函数的最大值为，，， 【小问2详解】由（1）得，由得，∴解得：成立的x的取值集合是．20.如图，一个半径为4m筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间.（1）求d与时间t（单位：s）之间函数关系（2）在（1）的条件下令，的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数，画出在上的图象【答案】（1）；（2）图象见解析【解析】【分析】（1）由最大值和最小值及周期求出值，再利用特殊点求出，即可得函数的关系式； （2）先通过三角函数图象变换求出解析式，再根据正弦型函数五点作图的特点列表、描点、连线即可得大致图象.【小问1详解】由题意，所以，，因为逆时针方向每分转2圈，所以,因为时，，所以，即，又，所以，所以；【小问2详解】由（1）知，所以的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数，列表如下x0100描点连线，图象如图. 21.已知，设函数．（1）当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；（2）设的内角的对应边分别是且，，求的值．【答案】（1）时最大值0；时最小值；（2）或．【解析】【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算，二倍角、辅助角公式化简得，由正弦型函数的性质求的最值；（2）由已知及三角形内角性质得，法一：应用余弦定理列关于的方程求解即可；法二：应用正弦定理求得或，分别求出对应的值即可.【小问1详解】由题知：，，则，故，∴当，即，得时取得最大值0，当，即，得时取得最小值．【小问2详解】由，即，又，则．法一：由余弦定理A得：，解得：或．法二：由正弦定理有，则或， 当时，，由勾股定理有；当时，，则；综上所解：或．22.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）在①，②，③这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题，若________，________，求的面积.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）用边化角和三角形内角和知识化简可得，再由，即可求A；（2）方案一：选条件①和②，先用正弦定理求，再由余弦定理求，用三角形面积公式即可求解；方案二：选条件①和③，用余弦定理求出，判断出三角形形状，即可求面积．【详解】（1）∵，又由正弦定理得，又，∴，即整理得，即，又，∴；（2）方案一：选条件①和②，由正弦定理，得由余弦定理，得解得，所以的面.方案二：选条件①和③， 由余弦定理，得，即，解得．∴，∴，为直角三角形，所以的面积．【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式，属于常规题.