湖南省108所学校2022-2023学年高一下学期期中联考数学题 Word版含解析.docx

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2023年高一上学期期中联考数学试卷本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求得集合，结合题意及集合的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，根据图中阴影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即为.故选：B.2.用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（）A.长方体B.圆锥C.棱锥D.圆台【答案】D【解析】【分析】作图，结合空间想象，即可得出答案. 【详解】对于A项，如图1，用平面截长方体，得到的截面是三角形，故A项正确；对于B项，如图2，用平面截圆锥，得到的截面是三角形，故B项正确；对于C项，三棱锥各个面即为三角形；除三棱锥外，过棱锥底面不相邻两顶点和棱锥顶点的截面为三角形，故C项正确；对于D项，圆台的截面不可能为三角形，故D项错误.故选：D.3.复平面内表示复数的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】化简复数可得，即可根据复数的几何意义得出答案.【详解】根据复数的除法运算求解，所以，复平面内表示该复数的点为，所以，复平面内表示复数的点位于第三象限.故选：C.4.已知，为非零实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】由，即成立，故充分性成立；取，，则成立，但不成立，故必要性不成立.因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A5.函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性排除AB，再由特殊值排除D即可得解.【详解】因为的定义域为，关于原点对称，所以，即函数为奇函数，排除AB，当时，，排除D.故选：C6.如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选择地面CD作为水平基线，使得C，D，B在同一直线上，在C，D两点用测角仪器测得A点的仰角分别是45°和75°，，则建筑物AB的高度为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理求出，再在直角三角形中求解即可.【详解】在中，根据正弦定理可得，在中，，故选：A7.如图，在中，点O在BC上，，则的最小值为（）A.5B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知可推得，又，根据“1”的代换，利用基本不等式，即可求出最小值.【详解】由题意可得，三点共线，则共线.则存在唯一实数，使得，，即， 整理可得，.又，所以，，所以，且，，又，当且仅当，即，时等号成立.所以，的最小值为.故选：D.8.已知，是不共线的两个向量，，，若，，则的最小值为A.2B.4C.D.【答案】B【解析】【分析】由可推得，.令，根据函数的最大值，即可得出，进而得出答案.【详解】由可得，，即.因为，，所以，所以，.令，因，，所以.又对，恒成立，所以，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题.每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.向量满足：，，，则向量在向量上的投影向量的模的可能值是（）A.1B.C.D.2【答案】CD【解析】【分析】根据题意，结合向量在向量上的投影向量的模公式，即可求解.【详解】由题意，向量满足且，所以向量在向量上的投影向量的模为.故选：CD10.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列选项正确的是（）A.B.C.若为锐角三角形，则D.【答案】ABC【解析】【分析】根据大边对大角，即可得出A项；根据正弦定理，结合A项，即可得出B项；由已知可推出，根据正弦函数单调性，即可得出C项；，根据诱导公式化简，即可判断D项.【详解】对于A项，根据大边对大角，知A项正确；对于B项，由A知，.由正弦定理可得，，所以.由，根据正弦定理可得，，所以，所以，故B项正确；对于C项，由已知可得，，所以，因为正弦函数在上单调递增，所以，故C项正确； 对于D项，，故D项错误.故选：ABC.11.已知，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】辅助角公式化简已知，即可得出A项；由已知可得，，展开即可得出B项；先得出，根据已知可得，开方即可判断C项；根据，结合三角函数的符号，即可推出，进而得出，即可得出D项.【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；对于B项，由已知可得，，即，所以，，故B项正确；对于C项，.由已知，，可知，所以，所以，，故C项错误；对于D项，因为，，，所以，所以，. 又，所以，故D项正确.故选：ABD.12.已知函数，下列说法正确的是（）A.若函数为偶函数，则B.若时，且在上单调，则C.若时，的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则D.若函数在上至少有两个最大值点，则【答案】BD【解析】【分析】由已知求出的表达式，代入即可判断A；求出的范围，根据已知列出方程组，求解即可得出B项；先解，然后得出相邻交点最小的距离为，最大距离为.结合已知列出的不等式，求解即可判断C项；由已知可推出，进而结合正弦函数的图象与性质，得出所有的可能，分别列出不等式组，求解即可得出的取值范围，进而判断D项.【详解】对于A项，要使函数为偶函数，则，则，故A项错误；对于B项，时，，因，所以，因为在上单调，所以有，解得，故B项正确；对于C项，由题意，则，或，则或， 所以，相邻交点最小的距离为，最大距离为.由题意，相邻四个交点之间的最大距离不大于，相邻五个交点之间的最小距离不小于，所以，，且，所以，，故C项错误；对于D项，，故，所以，所以.因为，所以.由于，所以，则①，解得；②，解得；③，解得.④当时，，满足在上至少有两个最大值点.综上所述，.故选：BD【点睛】思路点睛：D项，先化简函数表达式，进而根据已知得出的大致范围，进而结合正弦函数的图象与性质，列出关系式，求解即可得出的取值范围.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.幂函数的图象过点，则函数恒过定点___________.【答案】【解析】【分析】根据幂函数过点求出，再由对数函数的性质求出所过定点.【详解】因为幂函数的图象过点，所以，解得，即，当时，，所以函数恒过定点.故答案为：14.若，则___________.【答案】【解析】【分析】因为，根据诱导公式可得，然后根据二倍角的余弦公式展开，即可得出答案.【详解】因为，所以，.故答案为：.15.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图是一个半径为6m的筒车，筒车转轮的中心到水面的距离为3m，每2分钟逆时针匀速旋转一圈.筒车上的一个盛水筒P（视为质点）从水中浮现（图中点 A）时开始记时.建立如图平面直角坐标系，将P到水面距离表示为时间的函数，则___________.【答案】【解析】【分析】根据三角函数的周期求出角速度，再利用正弦函数求圆上点的纵坐标即可得出.【详解】由题意周期秒，所以角速度（rad/s），当经过时间秒，质点从运动到如图所在位置，如图，此时，因为水车半径米，水车中心离水面距离米,所以，，所以P到水面距离，即，故答案为：16.定义在上的函数满足，且当时，；当 时，；当时，.若对，都有，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据已知可得出函数在区间以及区间上的对称性，进而可作出函数的图象.根据图象设，以及.进而根据已知条件，推出函数在内的解析式，进而求解即可得出的值，进而得出的取值范围.【详解】由当时，，可得的图象在该区间内关于直线对称；由当时，，可得的图象在该区间内关于点对称.结合已知条件，作出函数的部分图象如下图由图象可设，且时，都有，且.设，则，.因为，当时，，所以，.当时，，所以.又函数满足， 所以，，所以，.令，解得，即.所以，.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知关于的方程，.（1）当时，在复数范围内求方程的解；（2）已知复数，若方程有虚根，求的模的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入，配方得到，开方即可得出答案；（2）由已知可得，求解得出的取值范围，进而得出，开方即可得出答案.【小问1详解】当时，方程为，配方可得，，两边开方可得，，所以，方程的解为.【小问2详解】要使方程有虚根，则， 所以，所以.又，所以，所以，.18.为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，我校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场，规定ABCD的每条边长均不超过20米．如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且点A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径．设AB＝x（单位：米），养殖区域EFGH的面积为S（单位：平方米）．（1）将S表示为x的函数，并写出函数的定义域；（2）当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值．【答案】（1）S＝102－－x，定义域为[5，20]；（2）当AB＝10米时，S取得最大值，最大值为102－20．【解析】【分析】（1）由已知得到AD＝，进一步得到EF,FG的长度用x表示，即可得到S；（2）利用基本不等式即可求得最大值.【详解】解：（1）因为AB＝x，所以AD＝，EF＝x－2，FG＝－1，所以S＝(x－2)(－1)＝102－－x，因为0＜x≤20，0＜≤20，解得5≤x≤20，所以S＝102－－x，定义域为[5，20]．（2）S＝102－－x≤102－2＝102－20，当且仅当x＝10∈[5，20]时取等号， 答：当AB＝10米时，S取得最大值，最大值为102－20．19.如图，在四边形ACBD中，AB与CD交于点M，且.（1）若，，求，的值；（2）若，，，，求，满足的等量关系.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件可推得，，进而得出.根据，即可得出的值；（2）根据数量积公式，求出.进而求出，又根据数量积公式有，即可得出.同理可得出，联立即可得出关系式.【小问1详解】由已知可得，.又，所以.所以，.又，所以.又，所以，.【小问2详解】由已知可得，， 则，则.则，又,所以，，则..又，所以，.所以，有，整理可得，.20.函数在一个周期内的图象如图所示，与为该图象上两点，且函数的一个零点为.（1）求的解析式；（2）将的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图象.令，求的最大值，若取得最大值时的值为，求. 【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）求出对称轴可得出函数周期，由周期求出，再由过点求出，代入求A，即可得出函数解析式；（2）根据图象平移得出解析式，利用三角恒等变换化简，即可得出最大值及对应的自变量，再求出对应正切即可.【小问1详解】由图象过与知为函数的对称轴，所以，即，所以，又函数图象经过，所以，即，又，所以，因为图象过点，所以，解得，所以函数解析式为.【小问2详解】的图象向左平移个单位长度可得，得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到，所以， 当，即时，有最大值，此时.21.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AC边上的点，.（1）求的大小；（2）若，，求BC的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理角化边，整理可得，然后根据余弦定理即可求得，进而根据角的范围，即可得出答案；（2）在以及中，分别根据余弦定理，结合，整理化简可得.在中，根据余弦定理推出.联立两个方程，即可得出答案.【小问1详解】由正弦定理以及已知可得，，整理可得，.由余弦定理可得，.又，所以.【小问2详解】在中，由余弦定理可得，. 在中，由余弦定理可得，.又，所以，即，整理可得.因为，在中，由余弦定理可得，，即，整理可得，.联立可得.所以，.22.已知是定义在上的奇函数，.（1）若时，的最大值为2，求的值；（2）设直线，与函数的图象分别交于A，B两点，直线，与函数的图象分别交于C，D两点，若存在，且，使得，求的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据，求出，然后代入函数验证奇偶性.化简得到，结合的单调性，根据与0的关系，得到函数的单调性，进而得出最大值，列出方程，即可求出答案；（2）写出各点的坐标，得出向量，根据易知即可得出.令，代入整理可得，令 换元，根据题意结合对勾函数的单调性，即可求出的取值范围.小问1详解】因为为R上的奇函数，所以，即，所以.当时，，，因此，为奇函数.所以，.当时，单调递增，若，则恒成立，不符合题意；若，则单调递增，此时，所以；若，则单调递减，此时，所以.综上所述，或.【小问2详解】由题意可得，，，，，则，.由可知，，即，设，由题意可得，存在，使得..令，该函数关于单调递增，且时，. 设，由题意可知在上不单调，当时，不符合题意；当时，对勾函数上单调递减，在上单调递增，因此，解得.