山东省淄博市部分学校2022-2023学年高一下学期期中联考数学 Word版含解析.docx

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2022-2023学年高一第二学期期中考试数学试题单选题（每题5分，共40分）1.将转化为弧度为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据角度制与弧度制的转化公式直接转化.【详解】，故选：B.2.如图所示的△ABC中，点D是线段AB上靠近A的三等分点，点E是线段BC的中点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依题意可得，，根据平面向量的加减运算可得.【详解】由已知可得，，所以．故选：B．3.化简的值为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式结合两角和的正弦公式化简可得所求代数式的值.【详解】原式.故选：D.4.已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（）A.B.C.或D.或【答案】C【解析】【分析】根据平面向量共线的基本定理可得关于实数的等式，解之即可.【详解】因为与共线，则存在，使得，即，因为向量、不共线，则，整理可得，即，解得或.故选：C.5.设，，，则有（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用辅助角公式和二倍角公式化简a，b，c，再进行比较.【详解】解：由题意得：，，， ，，，故选：C6.已知扇形面积，半径是1，则扇形的周长是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由扇形的面积公式，代入计算，即可得到结果.【详解】设扇形的弧长为，由扇形的面积公式可得，，即，所以，则扇形的周长为.故选：C7.已知角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”．已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由诱导公式化简，对选项逐一判断【详解】若，即，若，则，，，故A，C错误，对于B，若，则，B错误，对于D，若，则，D正确．故选：D8.已知函数，则在区间上有且仅有个零点和 条对称轴，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数解析式为，由可求得取值范围，结合已知条件可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为，因为，当时，，因为函数在区间上有且仅有个零点和条对称轴，则，解得，故选：A.二、多选题（每题5分，共20分，少选得2分，错选得0分）9.已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A.B.C.向量与的夹角为D.向量在上的投影向量为【答案】BD【解析】【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断A，根据数量积的坐标运算可判断B,由夹角公式可判断C，由投影向量的求解公式可判断D.【详解】，所以，故A错误；，故B正确；，，，，故C错误； 向量在上的投影向量为，故D正确．故选：BD10.函数，下列选项正确的是（）A.该函数的值域为；B.当时，该函数取得最大值；C.该函数是以为最小正周期的周期函数；D.当且仅当时，．【答案】BD【解析】【分析】根据题意，做出函数的图像，结合函数图像逐项判断，即可得到结果.【详解】因为，对于C，当时，，当时，，所以，函数为周期函数，做出函数的图像（图中实线）如下图所示：    结合图形可知，函数的最小正周期为，故C错误；对于A，由图可知，函数的值域为，故A错误；对于B，由图可知，当或时，函数取得最大值，故B正确；对于D，由图可知，当且仅当时，，故D正确.故选：BD11.如图，在矩形ABCD中，，E为边AB的中点，若P为折线段DEC上的动点，则 的可能取值为（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出数量积，再根据二次函数的性质求出的取值范围，即可得解；【详解】解：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系：则，，，，当在上时，设，，则，，所以，因为，所以，即．当在上时，设，， 则，，所以，因为，所以，即．故选：AD12.已知为偶函数，其图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为，，的最小值为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列选项正确的是（）A.B.函数在上单调递减C.是函数图象的一个对称中心D.若方程在上有两个不等实根，则【答案】BD【解析】【分析】首先根据已知条件得到，对选项A，根据三角函数平移变换即可判断A错误，对选项B，根据即可判断B正确，对选项C，根据即可判断C错误，对选项D，画出的图象即可得到答案.【详解】因为的图象与直线的两个交点为两个最高点，且的最小值为，所以的最小正周期，所以.因为为偶函数，且，所以，故.因为，所以A错误； 当时，，所以在上单调递减，故B正确；因为，所以C错误；对选项D，当时，，，即，，如图所示：结合图象可知，要使方程在上有两个不等实根，则，所以D正确.故选：BD三、填空题（每题5分，共20分）13.已知向量，若与互相垂直，则________．【答案】2【解析】【分析】根据题意，由平面向量的坐标运算，即可得到结果.【详解】由题意可得，与互相垂直，则，即，即.故答案：14.定义运算.若，，，则____.【答案】##【解析】【分析】由已知可得出，利用同角三角函数的基本关系求出、 的值，利用两角差的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值.【详解】由题意可得，因为，则，所以，，因为，则，所以，，因此，.故答案为：.15.函数的部分图象如图所示，则下列关于的结论正确的序号为______.①的最小正周期为；②的图象关于直线对称；③若且，则；④的图象向左平移θ（θ＞0）个单位得到的图象，若图象的一个对称中心是，则θ的最小值为.【答案】①③④ 【解析】【分析】根据函数的零点，结合正弦型函数的对称性、图象变换性质逐一判断即可.【详解】因为，所以由正弦型函数的周期公式可知：，即，由，因为，所以令，所以，即.因为的最小正周期为，所以①正确；因为，所以的图象不关于直线对称，因此②不对；因为，所以关于该函数的一条对称轴对称，令，因为，所以令，即对称轴为：，，所以③正确；因为的图象向左平移θ（θ＞0）个单位得到的图象，所以，因为图象的一个对称中心是，所以，因为，所以当时，θ的最小值为，因此④正确，故答案为：①③④【点睛】关键点睛：根据函数经过的零点求出函数的解析式是关键.16.已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于、两点，且 ，则的最小值是_____．【答案】【解析】【分析】延长交于点，则点为的中点，且，将用表示，再根据三点共线，可得的等量关系，再利用等量代换结合基本不等式即可得解.【详解】解：延长交于点，则点为的中点，且，故，又因为，所以，因为三点共线，所以，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值是.故答案为：.四、解答题（共70分） 17.已知向量，，其中，，求：（1）和的值；（2）与的夹角的余弦值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标运算求解，利用向量的模公式求解；（2）利用向量的夹角公式求解.【小问1详解】因为，，所以＝(－2)×(－1)＋1×2＝4，所以＝5＋5＋2×(2＋2)＝18，所以＝3.【小问2详解】.18.已知函数的图象过点．（1）求函数的单调增区间；（2）总成立．求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数过可得，进而利用整体法即可求解， （2）根据，得，即可由三角函数的性质求解最值求解.【小问1详解】因为，所以．因为，所以，故，由．得：．所以函数的单调增区间为．【小问2详解】由总成立，得的最小值．因为，所以．所以当时，取得最小值．所以的取值范围是．19.已知平面向量、，若，，.（1）求向量、的夹角；（2）若且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在等式两边平方，结合平面向量数量积的运算性质可求得向量、的夹角的余弦值，结合向量夹角的取值范围即可得解； （2）由已知可得，利用平面向量数量积的运算性质求出的值，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得.【小问1详解】解：因为，则，所以，，又因为，因此，，即向量、的夹角为.小问2详解】解：因为且，则，解得，因此.20.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）当时，求的最大值和最小值，以及相应的值；（3）若，求的值．【答案】（1）（2）时，，时．（3）【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简，即可由周期公式求解， （2）根据得，即可由正弦函数的性质求解，（3）根据同角关系以及和差角公式即可求解.【小问1详解】故周期为【小问2详解】当即时，，此时当即时，此时．小问3详解】，故21.如图，是半径为的圆的直径，点为圆周上一点，且，点为圆周上一动点. （1）求的值；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）法一：由题设可得，，再应用向量数量积的定义求；法二：构建平面直角坐标系并确定相关点坐标，进而得到，应用向量数量积的坐标运算求.（2）法一：根据向量数量积的几何意义判断的最大时与位置关系，即可得最大值；法二：设，，利用向量数量积的坐标运算及三角函数的性质求最大值即可.【小问1详解】法一：因为是单位圆直径，则，，又，所以.所以.法二：以圆心为原点，直径为轴建立平面直角坐标系，则.所以.所以.【小问2详解】法一：因为，， 所以要使最大，则需最大，而为在上的投影，当与重合时最大，此时，所以的最大值为.法二：设，，则.所以，又，则当时的最大值为.22.已知函数的部分图像如图所示，若，B，C分别为最高点与最低点．（1）求函数的解析式；（2）若函数在，上有且仅有三个不同的零点，，，（），求实数m的取值范围，并求出的值．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）化简函数为，设函数的周期为T，得到，，再根据求解； （2）将问题转化为曲线与在上有且仅有三个不同的交点，设，由与求解；再由，，得到求解.【小问1详解】解：，，，，设函数的周期为T，则，，则，所以．故，故，所以．【小问2详解】由题意，函数在上有且仅有三个不同的零点，，，，即曲线与在上有且仅有三个不同的交点．设，当时，．则，，则，，，所以，即，即，所以．