四川省绵阳市三台中学校2024届高三上学期第四次月考数学（理） Word版含解析.docx

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高中2021级高三第四学月测试理科数学试卷本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求出集合M，根据集合的交集运算，即可得答案.详解】解，得：，所以，，所以.故选：B.2.在复平面内，复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】通过复数的运算求出复数的代数形式，然后再进行判断即可． 【详解】由题意得，所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限．故选D．【点睛】解题的关键是将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断，属于基础题．3.设Sn是等差数列{an}前n项和，若＝，则等于（）A.1B.－1C.2D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.【详解】＝＝＝1.故选：A.4.已知向量，不共线，向量，，且，则（）A.－3B.3C.－6D.6【答案】D【解析】【分析】设，从而得到，得到方程，求出的值.【详解】设，则，故．故选：D5.南山中学某学习小组有名男同学，名女同学，现从该学习小组选出名同学参加数学知识比赛，则选出的名同学中男女生均有的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】首先计算出基本事件总数，依题意选出的名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学；②2名男同学，1名女同学，计算出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从有名男同学，名女同学，现从该学习小组选出名同学参加数学知识比赛，则有；依题意选出的名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学，有（种）；②2名男同学，1名女同学，（种）；故概率为故选：【点睛】本题考查简单的组合问题，古典概型的概率问题，属于基础题.6.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将已知等式平方后相加，结合同角的三角函数关系以及两角和的正弦公式，即可求得答案.【详解】由题意得，，两式相加得，得，故选：C7.在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（）A.该省考生数学成绩的中位数为75分 B.若要全省的合格考通过率达到，则合格分数线约为44分C.从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人D.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5.【答案】A【解析】【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数，从而判断各选项．【详解】由频率分布直方图知中位数在上，设其为，则，解得，A错；要全省的合格考通过率达到，设合格分数线为，则，，B正确；由频率分布直方图优秀的频率为，因此人数为，C正确；由频率分布直方图得平均分为，考试数学成绩的平均分约为70.5,D正确．故选：A.8.在上随机取一个数，则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据直线与圆有公共点，求出的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可.【详解】若直线，即与圆有公共点，则圆心到直线距离，故解得或，由几何概型的概率公式，得事件“直线与圆有公共点”发生的概率为.故选：A. 9.已知函数的最小正周期为，且时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则的最大值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由周期求得，再由最小值求得函数解析式，然后由单调性可得的范围，从而得最大值．【详解】由题意，，，又，∴，，时，，又在上单调递减，所以，，即，的最大值是．故选：D．10.点是以为焦点的的椭圆上一点，过焦点作外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】A【解析】【分析】是以，为焦点的椭圆上一点，过焦点作外角平分线的垂线，垂足为，延长交延长线于，可证得，且是的中点，由此可求得的长度是定值，即可求点的轨迹的几何特征．【详解】解：由题意，是以，为焦点的椭圆上一点，过焦点作外角平分线的垂线，垂足为，延长交延长线于，得，由椭圆的定义知，故有，连接，知是三角形的中位线，即点到原点的距离是定值，由此知点的轨迹是圆故选：． 【点睛】本题在椭圆中求动点的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．11.已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k=A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】将y=k(x+2)代入y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.设交点的横坐标分别为xA,xB,则xA+xB=-4,①xA·xB=4.又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,|FA|=2|FB|,∴2xB+4=xA+2.∴xA=2xB+2.②∴将②代入①得xB=-2,xA=-4+2=-2.故xA·xB==4.解之得k2=.而k>0,∴k=,满足Δ>0.故选D. 12.已知函数，其中、，为自然对数的底数，若，是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由可得，作出函数函数与的图象在上有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】因为，则，可得，所以，，则，由可得，因函数在区间内有两个零点，所以，函数与的图象在上有两个交点，作出与的函数图象，如图所示： 若直线经过点，则，若直线经过点，则，结合图形可知，实数的取值范围是.故选：A．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.13.若一组数据的方差为10，则另一组数据的方差为______．【答案】40【解析】【分析】由题意先设出两组数据的平均数，然后根据已知方差、方差公式运算即可得解.【详解】由题意设的平均数为，则的平均数为，由题意的方差为，从而的方差为 .故答案为：40.14.若二项式的展开式中第项是常数项，则展开式中各项系数的和为__________.【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第五项，令的指数为0，求出的值，令，可得展开式中各项系数的和．【详解】解：展开式的第项为二项式的展开式中第5项是常数项，，二项式为令，可得展开式中各项系数的和故答案为：．【点睛】本题考查展开式的特殊项，正确运用二项展开式是关键，属于基础题．15.在平面直角坐标系中，A,B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线相切，则圆C面积的最小值为___．【答案】【解析】【详解】由题意，圆心到原点距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则，则，．点睛：本题考查直线和圆的位置关系．本题中，由分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆，则半径就是圆心到原点的距离，所以圆心到原点的距离与到直线的距离相等，得到解答情况．16.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长 FE交抛物线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为_________．【答案】【解析】【详解】试题分析：因为，所以，因为，所以为的中点，，又因为为的中点，所以，所以，因为抛物线的方程为，所以抛物线的焦点坐标为，即抛物线和双曲线的右焦点相同，过点作的垂线，过点作，则为抛物线的准线，所以，所以点的横坐标为，设,在中，，即，解得.考点：双曲线的简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、以及谁去下的简单的几何性质的应用，同时考查了双曲线的定义及性质，着重考查了学生推理与运算能力、数形结合思想、转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据题意得到抛物线和双曲线的右焦点相同，得出点的横坐标为，再根据在中，得出是解答的关键.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前2n项和.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）根据求得.（2）根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】依题意，，当时，，当时，，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，也符合.所以.【小问2详解】由（1）得，所以.18.某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）789111213销量y（kg）120118112110108104（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求y关于x的线性回归方程； （2）若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知表格中数据求得与，则可求得线性回归方程；（2）求出ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望．【详解】解：（1），=112．=═，．∴y关于x的线性回归方程为；（2）6种单价中销售量在[110，118]内的单价种数有3种．∴销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=．∴ξ的分布列为： ξ 0123 P 期望为E（ξ）=． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望，考查计算能力，求离散型随机变量的分布列与均值的方法：（1）理解离散型随机变量的意义，写出的所有可能取值；（2）求取每个值的概率；（3）写出的分布列；（4）根据均值的定义求19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且.（1）求证：；（2）求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为，结合诱导公式及可证.（2）根据及，结合诱导公式和二倍角余弦公式将化为，先求出角A的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为，由正弦定理得，，由余弦定理得，所以，又，所以.又，，所以或，所以或，又，所以，所以，得证. 【小问2详解】由（1）知，所以，又，所以，因为，所以，所以，因为函数在单调递增，所以，所以的取值范围为.20.椭圆有两个顶点过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点，直线与交于点．（1）当时，求直线的方程；（2）当点异于两点时，证明：为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】 【分析】（1）先由题意求出椭圆方程，直线不与两坐标轴垂直，设的方程为，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再由弦长公式列方程可求出的值，从而可得直线方程；（2）表示直线，的方程，联立方程组可得而代入化简可得，而，则可得的结果【详解】（1）由题意，椭圆方程为易得直线不与两坐标轴垂直，故可设的方程为，设，由消去整理得，判别式由韦达定理得，①故，解得，即直线的方程为．（2）证明：直线的斜率为，故其方程为，直线的斜率为，故其方程为，由两式相除得即由（1）知， 故解得．易得，故，所以为定值121.已知函数．（1）若，求在上的单调区间；（2）若函数在区间上存在两个极值点，求a的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）【解析】【分析】（1）对函数求导得到，再根据导数与函数单调性间的关系即可求出结果；（2）对函数求导得，令，将问题转化为在内有两个交点，再应用导数研究的单调性并确定其区间最值及边界值，进而可得的范围.【小问1详解】因为，所以，又因为，，则，所以，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增, 所以在上的单调递减区间为，单调递增区间为．【小问2详解】由（1）知，当，函数在上单调递减，此时在上不存在极值点，不符合题意，所以，设，，所以，当时，当时，，所以在上单调递增，所以当时，，所以当时，，所以在上单调递减，故在上不存在极值点，不符合题意；当时，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，若函数在上存在两个极值点，则，即解得．综上，a的取值范围为．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线的参数方程分别为（为参数），（为参数）．（1）将的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线与曲线分别交于两点（异于极点），点，求的面积．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用消参法与完全平方公式求得的普通方程，利用得到的普通方程；（2）分别求得的极坐标方程，联立射线，从而得到，，进而利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】因为曲线的参数方程为（t为参数），则，，两式相减，得的普通方程为：；曲线的参数方程为（为参数），所以的普通方程为：.【小问2详解】因为，所以曲线的极坐标方程为，即，联立，得，所以射线与曲线交于A， 而的普通方程，可化为，所以曲线的极坐标方程为，即，联立，得，所以射线与曲线交于B，又点，所以，则．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数，其中.（1）若函数的图像关于直线对称，且，求不等式的解集.（2）若函数的最小值为，求的最小值及相应的和的值.【答案】（1）；（2）的最小值为2，相应的【解析】【分析】先根据对称性求出，对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；根据绝对值三角不等式即可求出，可得，再根据基本不等式即可求出.【详解】函数的图象关于直线对称，，，当时，，解得，当时，，此时不等式无解，当时，，解得，综上所述不等式的解集为． ，又的最小值为2，，，当且仅当时取等号，故的最小值为2，其相应的．【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；