四川省宜宾市叙州区第二中学校2023-2024学年高二上学期第三学月（12月）数学Word版含解析.docx

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叙州区二中2023年秋期高二第三学月考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的纵截距是（）A.5B.－5C.D.【答案】C【解析】【分析】直线与y轴交点的纵坐标即为纵截距，把一般式化为斜截式，可以看出纵截距..【详解】中，，故纵截距是.故选：C2.已知直线：，：，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线与直线的垂直，列方程，求出，再判断充分性和必要性即可.【详解】解：若，则，解得或，即或，所以“”是“或”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查直线一般式中直线与直线垂直的系数关系，考查充分性和必要性的判断，是基础题.3.若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：设圆锥底面半径为，母线长为，侧面展开图的扇形的圆心角为，则侧面积，底面积，由题：，所以，则在侧面展开图中，．考点：1．圆锥侧面展开图；2．弧长公式．4.甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习，第一次甲传给其他三人中—人,第二次由拿球者再传给其他三人中的一人,这样共传了次，则第四次仍传回到甲的概率是A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：第三次传球后,球不能在甲的手中,第四次传球后,球一定在甲的手中,而第二次传球后,球可在甲的手中,也可不在甲的手中.若第二次传球后,球在甲的手中,则传球的方法数为:,若第二次传球后,球不在甲的手中,则传球的方法数为:,而所有的传球方法数共有:,第次仍传回到甲的概率是:,故答案选A.考点：等可能事件的概率.5已知直线与相交于A，B两点，且，则（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由向量数量积求得∠AOB，从而求得圆心到直线距离，利用点到直线距离公式求得斜率.【详解】的半径为1，，得，，圆心到直线AB的距离为，则，．故选：D. 6.经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点，则直线的方程为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用点差法求得弦斜率，再根据点斜式得结果.【详解】设，，可得，，两式相减可得：，为的中点，即有，，可得直线的斜率为，即有直线的方程为，即为，由代入双曲线的方程，可得，即有，故存在直线，其方程为，故选：C.点睛：本题考查双曲线的中点弦所在直线方程的求法，注意运用点差法，注意检验直线的方程的存在性，考查运算能力，属于中档题；设，，代入双曲线的方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，由点斜式方程可得直线的方程，代入双曲线的方程，由判别式的符号，即可得到判断直线的存在性.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，为坐标原点，若，且，则该椭圆的离心率为（）AB.C.D.【答案】D【解析】 【分析】由是中点，而，∴，这样结合椭圆的定义及已知条件可得到的关系，得出离心率．【详解】∵是中点，而，∴，设，，则解得，又，∴，化简得．故选：D．【点睛】本题考查求椭圆的离心率，考查椭圆的定义，解题关键是由已知条件得出，然后结合椭圆定义求解．8.已知三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先证明，进而以点建立坐标系，结合直角三角形的性质设出球心坐标，再由得出球的半径，进而得出表面积.【详解】，以为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系过点作的垂线二面角的大小为，又外接圆的圆心在的中点 三棱锥外接球的球心在过的中点且垂直于平面上设由得，解得该几何体外接球的半径即三棱锥外接球的表面积为故选：B【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于建立空间直角坐标系，利用球上的点到球心的距离等于半径列出方程，求出半径.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线：，下列说法正确的是（）A.若，则直线的倾斜角为B.若直线在两坐标轴上的截距相等，则C.，原点到直线的距离为5D.直线与直线垂直，则【答案】AD【解析】【分析】求出直线方程，即可求出斜率与倾斜角，即可判断A，分直线经过原点和不过原点，即可判断B，求出直线过定点坐标，即可判断C，由两直线垂直斜率之积为，求出直线的斜率，即可判断D.【详解】对于A，若，直线的方程为，即，则斜率为，所以其倾斜角，故A正确；对于B，当直线经过原点时，即，解得，则直线方程为，在两坐标轴上截距相等，都为，当直线不经过原点时，则，即，若直线的在两坐标轴的截距相等，必有，解可得，符合题意，故或，即B错误；对于C，直线，即，令，解得，直线恒过点， 设，则，所以原点到直线的距离，不存在满足条件，故C错误；对于D，若直线与直线垂直，则直线的斜率，则有，解可得，故D正确；故选：AD．10.抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“至少一枚点数为1”，“两枚骰子点数一奇一偶”，“两枚骰子点数之和为8”，“两枚骰子点数之和为偶数”判断下列结论，正确的有（）A.B.B，D为对立事件C.A，C为互斥事件D.A，D相互独立【答案】BC【解析】【分析】根据题意，写出各事件包含的基本事件，再依次讨论求解即可.【详解】解：根据题意，事件包含的基本事件有，事件包含的基本事件有，，，事件包含的基本事件有，事件包含的基本事件有，，，所以对于A选项，由于事件中的元素均不在事件中，故错误；对于B选项，事件与事件互斥，且并集为必然事件，故B，D为对立事件，正确；对于C选项，显然事件与事件是不可能同时发生，为不可能事件，故A，C为互斥事件，正确；对于D选项，由题知，，事件包含的基本事件有，，显然，故错误.故选：BC11.已知过点的直线交抛物线于，两点，设，，点是线段的中点，则下列说法正确的有（） A.为定值－8B.的最小值为4C.的最小值为D.点的轨迹方程为【答案】ACD【解析】【分析】设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，再一一判断即可．【详解】由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程为，显然，两点在轴的两侧，设，且，，联立，整理可得，显然，，，，，所以A正确；所以，当且仅当时取等号，所以B不正确；因为，，所以，当且仅当时取等号，所以C正确；由题意可得的中点，设，则，消参可得，整理可得，所以D正确．故选：ACD．12.已知三棱锥中，，面面，，点为中点，与面所成的角为，则（）A.B.点到面的距离为C.三棱锥的侧面积为D.与所成角为 【答案】AC【解析】【分析】对A，取中点，中点，根据线面垂直面面垂直的性质与判定，结合中位线性质证明即可；对B，根据等体积法，求解即可；对C，根据侧面均为等腰三角形计算即可；对D，取中点，则与所成角为与所成角，再证得为正三角形即可.【详解】对A，取中点，连接如图，因为，，故，且，故，.又面面，且面面，面，故面又面，故，又，，故.取中点，因为，故.又中点，中点，故，故，故A正确；对B，因为，故，因为面，故与面所成的角为，故，又，故，则，，故，设点到面的距离为，，则由可得，，即，解得，故B错误；对C，为边长为2的等边三角形，则三棱锥的侧面积为，故C正确；对D，取中点，则，又，故与所成角为与所成角，又，，故为正三角形，故，即与所成角为，故D错误. 故选：AC第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时方差是______.【答案】【解析】【分析】利用平均数和方差的定义直接求解即可.【详解】设这个样本容量为7的样本数据分别为则，所以，，所以.当加入新数据5后，平均数，方差.故答案为：14.已知直线，，且，则直线，间的距离为__________．【答案】【解析】【分析】根据两直线平行列关于的方程，解出的值，然后代入两直线方程进行验证是否满足，即可得出实数的值，最后利用平行直线得距离公式即可求解.【详解】直线，，且，则，解得当时，直线，，化简得，此时， ，两直线平行，满足题意，因此，，则直线，间的距离为故答案为：【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，在求出参数后，还应将参数的值代入两直线方程，验证两直线是否平行，最后再利用两直线平行的距离公式来求解，考查运算求解能力，属于基础题.15.已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，过点，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，线段的中点为，且，则______.【答案】16【解析】【分析】设直线的方程为，直线和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式即可求解.【详解】由题意得，易知直线的斜率存在且不为0（当直线的斜率不存在时，点为的准线与轴的交点，此时，不符合题意；当直线的斜率为0时，直线与只有一个交点，不符合题意），故设直线的方程为，与联立，消去得，设，，则，因为线段的中点为，所以，由，得，得，解法一：所以.解法二：所以，设直线的倾斜角为，则，故.故答案为：16.16.已知圆和圆只有一条公切线，若 且，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】由题意可得两圆相内切，根据两圆标准方程求出圆心和半径，可得，再利用“1”的代换，使用基本不等式求得的最小值．【详解】解：由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为，，圆心分别为，，半径分别为2和1，故有，，，当且仅当时，等号成立，的最小值为9．故答案为：．【点睛】本题考查两圆的位置关系，两圆相内切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到是解题的关键和难点，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．（1）求顶点的坐标.（2）求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程，通过解方程组进行求解即可；（2）根据中点坐标公式，结合直线点斜式方程进行求解即可.【小问1详解】边上的高所在直线方程为， ，且，即，的顶点，直线方程;，即与联立，，解得：，顶点的坐标为；【小问2详解】所在直线方程为，设点，是中点，，，在所在直线方程为上，,解得：,，的方程为：，即.18.山东淄博有着丰富的烧烤文化，淄博烧烤以其独特的口味和制作方法，吸引了大量的食客，今年的“五一”假期更是游客“进淄赶烧”的高峰期.某商家为了提高自己的竞争力，举行了消费抽奖活动，活动规则如下：每消费满100元，会获得一次抽奖机会，奖项为“5元烧烤优惠券”“10元烧烤优惠券”以及“谢谢惠顾”.已知抽中“5元烧烤优惠券”的概率为，抽中“10元烧烤优惠券”的概率为，并且每次抽奖互不影响.（1）求抽到“谢谢惠顾”的概率；（2）某位客人消费了200元，求这位客人能抽到总计10元烧烤优惠券的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出事件，根据互斥事件求概率公式进行求解；（2）分两种情况进行求解，相加得到答案.【小问1详解】记抽到“5元烧烤优惠券”为事件，抽到“10元烧烤优惠券”为事件，抽到“谢谢惠顾”为事件， 且，.根据互斥事件求概率公式可得.【小问2详解】记抽到总计10元烧烤优惠券为事件，则可能一次抽到“10元烧烤优惠券”、一次抽到“谢谢惠顾”，记为事件，或者两次都抽到“5元烧烤优惠券”，记为事件.则，，.故该客人能抽到总计10元烧烤优惠券的概率为.19.已知直线的方程为．（1）求直线恒过定点的坐标；（2）求过点与圆相交的弦的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把直线方程变形得，联立方程组，求得方程组的解即为直线l恒过的定点；（2）判断在圆内部，确定相交弦最短时与弦的位置关系，利用弦心距、弦长、半径的几何关系求最小弦长．【小问1详解】方程可化为，由得：，点的坐标为.【小问2详解】圆可化为，由，知：在圆内部，而，则， 当线段与过的弦垂直时弦长最小，∴过与圆相交弦的最小值为.20.如图，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，.（1）求椭圆的离心率；（2）已知的面积为，求椭圆的标准方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依题意可得，即可求出离心率；（2）设，则，在中利用余弦定理求出，再由面积公式求出，即可求出椭圆方程.【小问1详解】依题意可得，，又，所以为等边三角形，∴，∴；【小问2详解】设，则，在中，∴， ∴，所以，∴，∴（负值舍去），所以，故椭圆的标准方程为.21.如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，，.（1）求证：；（2）若点的在线段上，且二面角的大小为，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面即可.（2）利用空间向量的坐标运算，表示出二面角的余弦值，即可求解.【小问1详解】四棱柱中，底面和侧面都是矩形，则侧面都是矩形，有，，，平面，所以平面， 又因为平面，所以.【小问2详解】，.取分别为的中点，连接，，因为，平面，所以平面，因为，所以,所以以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，  因为，，则.则，设，即，可得，，，设平面的一个法向量，则有，令，则，得，又平面的一个法向量，因为二面角的大小为，则有， 整理得，，解得，或（舍），所以，则，有的值为2.22.若双曲线的一个焦点是，且离心率为2.（1）求双曲线的方程；（2）设过焦点的直线与双曲线的右支相交于两点（不重合），①求直线的倾斜角的取值范围；②在轴上是否存在定点，使得直线和的斜率之积为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）①②存在，的坐标为【解析】【分析】（1）由及离心率求解，进而得双曲线方程；（2）①按直线斜率是否存在分类求解.联立直线与双曲线方程，由判别式条件与两交点都在右支上，利用韦达定理转化为斜率的不等关系求解斜率范围，则可得所求倾斜角的范围；②利用韦达定理，将条件“直线和的斜率之积为常数”，转化为不受参数的影响恒为常数，待定系数求解方程组即可.【小问1详解】由题意，，又，则，，所以，双曲线的方程为.【小问2详解】①（i）当直线斜率存在时，设直线：，，，联立， 整理得：，由题得：解得或，此时，直线的倾斜角的范围为.（ii）当直线斜率不存在时，直线的倾斜角为.综上可知，直线的倾斜角的范围为.②（i）当直线斜率存在时，设直线和的斜率之积，，由（2）①得：，又，得：，上对于任意的都成立，所以，解得：或， 即当坐标为时，；当坐标为时，.（ii）当直线斜率不存在时，此时，.当坐标为时，；当坐标为时，.综上所述，存在点，使得直线和的斜率之积为常数.