湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学 Word版含解析.docx

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湖南省常德市汉寿县第一中学2023—2024学年高一上学期期中考试数学试题（时量：120分钟满分：150）一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={1，2，5，7}，集合B={2，5}，那么下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的定义及运算逐项判断即可【详解】因为A={1，2，5，7}，集合B={2，5}，所以，B正确；D错误，C错误；A选项，集和与集合之间不能用属于，所以错误.故选：B2.已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围可以是AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】由条件求得的范围，结合充分不必要条件可得的范围.【详解】由：，：，要是的充分不必要条件，则有，故选：D．3.已知a、b、c∈R，那么下列命题中正确的是（）A.若ac>bc，则a>bB.若则ab³，则a>bD.若a²>b²，则a>b【答案】C【解析】【分析】根据不等式性质及特例法即可作出判断.【详解】对于A，若，，则，故A错误；对于B，若，，则但，故B错误； 对于C，若，此时，∴，故C正确；对于D，若取，，则，故D错误．故选：C．4.若有意义，则a取值范围是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的式子有意义，列式求解即得.【详解】由有意义，得，解得，所以a的取值范围是.故选：B5.已知使是真命题，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意可知在上能成立，参变分离，构造函数，求出函数在上的最小值即可.【详解】因为使是真命题，所以在上能成立，即在上能成立，设，开口向上，且对称轴为，所以在上的最小值为，故，故选：C.6.函数是幂函数，且在上是减函数，则实数的值为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由幂函数的定义及单调性可得.【详解】因函数是幂函数，故得，解得或，又因为函数在上是减函数，故，所以，故选：A.7.若关于不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式解集的端点值，即为对应方程的根，从而得到系数之间的关系，从而求解.【详解】试题分析：由的解集为，可得：，为：，解得为：.故选：D8.已知函数的定义域为R，对任意的，且，都有成立．若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知得出函数的单调性，进而由不等式即可得出对任意恒成立.根据二次不等式恒成立，即可得出，化简求解即可得出答案.【详解】不妨设，则，由，可得，即，所以在R上单调递增.由可得，，即对任意恒成立，所以，整理可得，解得或，所以实数a的取值范围是.故选：C．二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列函数中是偶函数，且在上为增函数的有（）．A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义和基本初等函数的性质，逐项判定，即可得解.【详解】对于A：定义域为，关于原点对称，是奇函数，不满足题意； 对于B：定义域为R，关于原点对称，，，是偶函数，由二次函数的性质可知，函数在上为增函数，满足题意；对于C：定义域为R，关于原点对称，，，是奇函数，不满足题意；对于D：定义域为，关于原点对称，，，是偶函数，当时，，由对数函数的性质可知，在上为增函数，满足题意.故选：BD.10.若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（）A.B.1C.D.2【答案】BCD【解析】【分析】根据已知条件及二次函数的性质即可求解.【详解】由，对称轴为，当时，函数取得最小值为，或2时，函数值为，因为函数的定义域为，值域为，所以，实数t的可能取值为，，2.故选：BCD.11.下列说法正确的是（）A.函数在定义域上为减函数B.“”是“”的充分不必要条件C.幂函数在上是增函数的一个充分条件是D.是的必要不充分条件【答案】BCD 【解析】【分析】A.利用反比例型函数的性质判断；B.利用命题法判断；C.根据若幂函数在上是增函数，则判断；D.利用对数函数的图象和性质判断.【详解】A.函数在上是减函数，故错误；B.命题若“”，则“”等价命题是命题若“”，则“”，原命题为真，逆命题为假，故充分不必要条件，故正确；C.若幂函数在上是增函数，则，故正确；D.若，则，故正确；故选：BCD12.定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（）A.B.C.D.1【答案】AD【解析】【分析】根据定义列不等式，得到的解析式，然后画出函数图象，根据函数图象求出区间的长度即可.【详解】令①，当时，不等式可整理为，解得，故符合要求，当时，不等式可整理为，解得，故，所以不等式①的解为；由上可得，不等式的解为或，所以，令，解得，令，解得或， 令，解得或，令，解得或，所以区间的最小长度为1，最大长度为.故选：AD.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.计算：______.【答案】##-0.25【解析】【分析】直接由分数指数幂以及根式互化运算，以及整数指数幂运算即可求解.【详解】由题意.故答案为：.14.已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】由偶函数的性质及在区间上单调递增，分别解不等式， ，进而可得出答案.【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，又在区间上单调递增，由，得，解得.由，得，解得或.所以，即或解得或，所以不等式的解集为.故答案为：.15.若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】分离参数，将不等式有解的问题，转化为函数最值的问题，解不等式即可.【详解】关于的不等式在上有解，等价于，在有解，等价于，，由一次函数的单调性，容易知.故只需即可.故答案为：.【点睛】本题考查不等式能成立求参数范围的问题，涉及函数的最值求解，属基础题.16.已知正实数a，b满足，若恒成立，则实数m的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为正实数a，b满足， 所以，当且仅当时取等号，故的最大值为，所以.故答案：四、解答题（本大题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.17.已知全集,集合，.(1)当时，求集合;(2)若,求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分别解出集合A，B，再由集合交集的概念得到结果；（2）由补集的概念得到集合B的补集，再由交集为空集列出不等式，即可得到结果.【详解】（1）当a=2时，，．（2），即故实数的取值范围是.【点睛】本题考查集合交，补的运算，以及由集合的关系求参数的范围．属于基础题.18.（1）已知a，b为正数，且满足，求的最小值；（2）已知，求的最大值.【答案】（1）9；（2）1【解析】 【分析】（1）变换，展开利用均值不等式计算得到答案.（2）变换，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）a，b为正数，且满足，故，当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为9.（2），，故，则，当且仅当，即时等号成立，故，当且仅当时等号成立，的最大值为1.19.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】19.20.在上递增，证明见解析21.或【解析】【分析】（1）根据题意，利用奇函数的性质可求得.（2）根据题意，用定义法证明函数单调性即可.（3）由题意可得，函数的值域为函数的值域的子集，并由集合的包含关系建立关于参数的不等式，从而得解.【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以.【小问2详解】在上递增，证明如下：任取，因为，所以，，，所以，故在上递增．【小问3详解】由于对任意的，总存在，使得成立，所以的值域为的值域的子集．由（2）知：在上递增，，所以，当时，在上递减，在递增，，，所以，由，得；当时，在上递增，在递减，，，所以，由，得．综上所述，或．故若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为：或. 20.已知函数．（1）当时，求函数在上的值域；（2）是否存在实数，使函数的定义域为，值域为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）由题意可得，，根据定义域为，在上单调减，在上单调增，求得函数的值域；（2）由条件可得二次函数的对称轴为，分当时、当时、当时，当时四种情况，根据定义域为，值域为，分别利用二次函数的性质求得的值.【详解】（1）∵函数，，∴，∵，∴在上单调减，在上单调增，∴最小值为，而，∴函数的值域为．（2）①若时，，，②若时，，，不存在③若时，，，不存在④若时，，，不存在综上知：.21.育人中学为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元.设荣誉室的左右两面墙的长度均为（米）.（1）将甲工程队的整体报价（元）表示为长度（米）的函数；（2）当（米）取何值时，甲工程队的整体报价最低？并求出最低整体报价； （3）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数的取值范围.【答案】（1）（2），元（3）【解析】【分析】（1）根据已知条件计算出整体报价.（2）利用基本不等式对整体报价的最小值进行求解，同时求得对应的的值.（3）根据“乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低”列不等式，结合二次函数的知识求得的取值范围.【小问1详解】依题意得：.【小问2详解】，当且仅当，即时等号成立.故当左右两侧墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为元.【小问3详解】对任意的恒成立.从而对任意的恒成立，令，在上的最小值为，∴所以的取值范围为：.22.已知二次函数，．（1）若关于x的不等式对恒成立，求a的取值范围；（2）已知函数若对，使不等式 成立，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）问题转化为对恒成立，结合均值不等式求的最小值，即可得出答案；（2）问题可转化为，分别根据函数单调性求最值即可.【小问1详解】关于x的不等式对恒成立等价于对恒成立，∵，当且仅当即时等号成立，∴.所以实数a的取值范围为；【小问2详解】∵对，不等式成立，∴，∵在上单调递增，∴.令，对称轴为，∴.∴，则.故a的取值范围为