重庆市江津第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学 Word版含解析.docx

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江津二中2023-2024学年度高二上半期测试卷数学试题一、单选题（每题5分共40分）1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出直线的斜率，进而得到倾斜角.【详解】的斜率为，故倾斜角为.故选：B2.点关于坐标平面的对称点为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】关于平面对称，则坐标和坐标不变，坐标变为相反数.【详解】关于坐标平面的对称点为.故选：D3.设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离为（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先联立直线方程求出点P坐标，再利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】联立两直线方程，即，由点到直线的距离公式可得P到直线的距离为.故选：D 4.是空间的一组基底，则可以与向量构成基底的向量（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用向量基底的定义和共面向量的充要条件逐一判断即可求解.【详解】因为是空间的一组基底，所以不共面，不共线，因为，若，则，显然这样的不存在，所以不共线，对于A，因，所以，由共面的充要条件知，共面，故不能构成基底向量，故A错误；对于B，因为，所以，由共面的充要条件知，共面，故不能构成基底向量，故B错误；对于C，因为，若，显然这样的不存在，所以不能用与表示，不共面，故能构成基底向量，故C正确；对于D，因为，所以，由共面的充要条件知，共面，故不能构成基底向量，故D错误.故选：C.5.已知直线，，若且，则的值为（）A.B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】由两直线的平行与垂直求得值后可得结论.【详解】由题意,，，， 所以．故选：C．6.圆关于直线对称后的圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题可得圆心关于直线的对称点，半径不变，进而即得.【详解】圆的圆心半径为，由得，设圆心关于直线对称点的坐标为，则，解得,所以对称圆的方程为.故选：A.7.如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用空间向量基本定理求解即可【详解】 即，即故选：B8.已知点，．若直线l：与线段相交，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】直线l过定点，且与线段相交，利用数形结合法，求出斜率，从而得出l的斜率的取值范围，即可得解.【详解】设直线过定点，则直线可写成，令，解得.直线必过定点．，．直线与线段相交，  由图象知，或，解得或，则实数的取值范围是．故选：A.二、多选题（每题5分共20分漏选得2分错选得0分） 9.已知向量，，则下列正确的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算判断作答.【详解】向量，，则，A正确；显然，B正确；由数量积的定义得，C错误；显然，则，即有，D错误.故选：AB.10.已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（）A.圆的圆心为B.圆被轴截得的弦长为10C.圆的半径为5D.圆被轴截得的弦长为8【答案】AC【解析】【分析】将圆一般方程化为标准方程，可求得圆心和半径，即可判断AC是否正确，再令和，算出弦长可判断BD是否正确.【详解】由圆的一般方程为，则圆，故圆心为，半径为，则AC正确；令，得或，弦长为6，故D不正确；令，得或，弦长为8，故B不正确.故选：AC11.下列说法正确的有（）A.若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限B.直线过定点 C.方程表示的图形是圆D.斜率为，在轴截距为3的直线方程为【答案】AB【解析】【分析】运用圆与直线有关知识逐项分析可以求解.【详解】对于A，由直线经过第一、二、四象限，得到斜率截距，故点在第二象限，正确；对于B，由直线整理得，所以无论a取何值点都满足直线方程，正确；对于C，将方程配方得，表示的图形是一个点，错误；对于D，斜率为-2，在y轴截距为3的直线方程为，错误；故选：AB.12.如图，在边长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（）A.当为中点时，直线平面B.当为中点时，直线与所成的角为C.若是棱上的动点，且，则平面平面D.当在棱上运动时，直线与平面所成的角的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量关系依次求解每个选项即可判断. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，当为中点时，，所以,设平面的一个法向量为，则，即，令，则可得，因为，所以，因为平面，所以平面，故A正确；因为，所以当为中点时，直线与所成的角为，故B错误；若，则，又,则，设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，因为，所以平面平面，故C正确；因为，易得平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，则当时，取得最大值为，所以直线与平面所成的角的最大值为，故D 正确.故选：ACD.三、填空题（每题5分共20分）13.在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．【答案】【解析】【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：，解得：，则圆的方程为.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．14.已知直线与直线垂直，则实数a值为__________．【答案】或【解析】【分析】根据向量垂直列方程，由此求得的值.【详解】由于，所以，，解得或. 故答案为：或15.若，，点在线段（含端点）上移动，则的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】由表示动点与定点之间的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】因为，，可得直线的方程为，又由表示动点与定点之间的距离，由点到直线的距离公式，可得，又由，则过点与垂直的直线的斜率为，此时直线方程为，即，联立方程组，解得，满足题意，所以的最小值为.故答案为：.16.在菱形中，，将沿对角线折起，若二面角为直二面角，则二面角的余弦值为___________.【答案】##【解析】【分析】取的中点，连接、，依题意、、两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；【详解】解：取的中点，连接、，依题意可得、、 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，令，则，，，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，显然平面的法向量可以为，设二面角为，则，故二面角的余弦值为；故答案为：四、解答题（17题10分其余每题12分共70分）17.已知直线l过点．（1）若直线l与垂直，求直线l的一般式方程；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般式方程．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程；（2）分别讨论截距为和截距不为，两种情况分类讨论，进而求得直线的方程.【小问1详解】 解：由直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线的方程为，即.【小问2详解】解：当截距为0时，直线的方程为；当截距不为0时，直线设为，代入,解得，可得直线的方程为，综上可得，直线的方程为或18.如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．（1）求异面直线EF与所成角大小．（2）证明：平面．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解；（2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.【详解】据题意，建立如图坐标系．于是： ，，，，，∴，，，．（1），∴∴异面直线EF和所成的角为．（2）∴，即，∴即．又∵，平面且∴平面．19.已知曲线和直线．（1）当曲线C表示圆时，求m的取值范围；（2）当曲线C表示圆时，被直线l截得的弦长为，求m的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）通过对变形，结合圆的标准方程计算即得结论；（2）通过（1）可知，利用点到直线的距离公式计算可知弦心距，利用弦心距､半径与半弦长的关系计算即得结论【小问1详解】，，又曲线表示圆，，即，所以m的取值范围为； 【小问2详解】由（1）可知，圆心坐标为，又直线，圆心到直线的距离，直线截得的弦长为，，解得：20.如图，在五面体中，四边形是矩形，，，，平面.（1）若点是的中点，求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量求解即可，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量即可结合点面距离公式求解，或者利用等体积法求解.【小问1详解】方法一：∵平面，，∴，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系∵，，∴平面的一个法向量，故，∴又∵平面，∴平面 方法二：（1）取中点，连接，因为，分别为，的中点，所以，且，因为四边形是矩形，，所以，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】解法一：，，设面一个法向量为，取，则，故，解法二：因为，平面，平面，所以平面，所以到平面的距离为到平面的距离，所以，设到平面的距离，取中点为，则四边形为平行四边形，故,所以平面， 所以，因为，，，所以，所以，所以所以点到平面的距离为21.直线l过点且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）若直线l的斜率为，求的面积；（2）若的面积S满足，求直线l的斜率k的取值范围；【答案】（1）16（2）.【解析】【分析】（1）点斜式求出直线方程，得到A、B两点坐标，可计算的面积；（2）设直线的斜率为，表示出直线方程，得到A、B两点坐标，由求直线l的斜率k的取值范围.【小问1详解】因为直线的斜率为，所以直线的方程为：，整理得：，所以直线与轴、轴正半轴的交点为、， 故的面积为.【小问2详解】根据题意，直线的斜率存在且，所以直线的方程为：，整理得：所以直线与轴、轴正半轴的交点为、，所以，解得，所以的面积，由于的面积满足，所以，整理得：，解不等式得：，故直线的斜率的取值范围.22.如图甲，在矩形中，，E为线段的中点，沿直线折起，使得，O点为AE的中点，连接DO、OC，如图乙．（1）求证：；（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置．【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点是线段的中点【解析】【分析】（1）取线段的中点可得，由余弦定理求出，根据勾股定理可得答案；（2）以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设的坐标为，，可求出平面的法向量，利用二面角的向量求法可得．【小问1详解】取线段的中点，连接，在Rt中，，，在中，，由余弦定理可得：，，在中，，；【小问2详解】因为，，，平面，，所以平面，过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，平面的法向量，在平面直角坐标系中，直线的方程为，设的坐标为，，则，设平面的法向量为，，所以，令，则，由已知，解之得：或9（舍去），所以点是线段的中点．