浙江省绍兴市柯桥区柯桥中学2023-2024学年高一上学期期中数学Word版含解析.docx

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浙江省柯桥中学2023学年高一第一学期期中考试数学试题（满分：100分，时间：120分钟）一、选择题：共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义求解，并写出区间形式即可.【详解】.故选：C2.已知幂函数的图象经过点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义结合题意求出函数解析式，即可得解.【详解】设幂函数，所以，解得，所以，故.故选:C.3.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】由题意得，不等式，解得或， 所以“”是“”的充分而不必要条件，故选A．考点：充分不必要条件的判定．4.已知函数，若，则实数的值为（    ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式求得，继而可得，可得，即可求得答案.【详解】由题意可得，故，所以，故选:A5.已知，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．6.已知是定义在上的奇函数，当时，.若函数在区间，上单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】结合二次函数的单调性与奇函数的性质，可推出在，上单调递增，从而得 ，解之即可.【详解】当时，，由二次函数的单调性可知在，上单调递增，又因为是定义在上的奇函数，所以在，上单调递增，综上，在，上单调递增，又函数在区间，上单调递增，所以，解得，所以实数的取值范围是，.故选：C.7.函数的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.【详解】函数的定义域为，因为，所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，所以排除A，当时，，所以排除C， 当时，，因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B，故选：D8.奇函数满足，当时，，则=（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由，可得到函数的周期是4，利用函数的周期性和奇偶性，将转化为，代入函数解析式求解即可.【详解】解：已知奇函数满足，是以4为周期的奇函数，又当时，，，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中是真命题的是（）A.已知，则的值为11B.若，则函数的最小值为C.函数是偶函数D.函数在区间内必有零点【答案】AD【解析】【分析】令，求得，可判定A正确；结合基本不等式，可判定B 错误；根据函数的定义和奇偶性的定义，可判定C错误；根据函数零点的存在性定理，可判定D正确.【详解】A中，由函数，令，可得，所以A正确；B中，若，由，当且仅当时，即时，显然不成立，所以B错误；C中，由函数，则满足，解得，即函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，所以C不正确；D中，由函数，可得，所以，所以函数在内必有零点，所以D正确.故选：AD.10.下列命题为真命题的是（）A.“”的否定为“”B.函数的单调递减区间为C.函数与函数是同一个函数D.若方程在区间上有实数解，则实数的取值范围为【答案】BD【解析】【分析】由含量词命题的否定法则可直接判定选项A；先求定义域，再利用复合函数的同增异减的法则，可求出单调减区间，即可判定选项B；化简函数，即可判定选项C；通过分参法即可求解参数的范围，则选项D可判定.【详解】“”的否定为“”，故选项A错误；中，即解得，则定义域，又的增区间为， 由复合函数同增异减可得函数的单调递减区间为，故选项B正确；由于，可知两者解析式不一致,则函数与函数不是同一个函数，故选项C错误；由，可得，又，则，又，所以故选项D正确；故选：BD.11.给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：则下列命题中正确有（）A.的定义域是，值域是B.点是的图像的对称中心，其中C.函数满足D.函数在上是增函数【答案】AC【解析】【分析】根据新定义，得到值域是，在对各选项由定义逐一判定即可.【详解】因为，所以，所以可得值域是，选项A正确；由于，， 但是由于值域是，可知不是中心对称图形故选项B错误；，选项C正确；当时，单调增当时，单调增，可得分段函数在不单调，故选项D错误.故选：AC.12.已知函数的图象关于对称，且对，，当，且时，成立，若对任意恒成立，则实数的可能取值为（）A.B.C.0D.1【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，得到函数为偶函数，且在上为单调递增函数，把不等式转化为对任意恒成立，当时，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为函数的图象关于对称，所以函数的图象关于对称，可得函数为偶函数，又因为当，且时，成立，所以函数在上单调递增函数， 由对任意恒成立，所以对任意恒成立，当时，恒成立；当时，，因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即实数的取值范围为，结合选项，BCD项符合题意.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分.13.函数的定义域是_________．【答案】【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故答案为：14.已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.【答案】0【解析】【详解】当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－x，－f(x)＝－ax2－bx，故x2－x＝－ax2－bx，所以－a＝1，－b＝－1，即a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.15.已知，则的最小值为_______．【答案】 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可.【详解】因为，所以，则．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故答案为：16.设函数，则函数的零点的个数为_______．【答案】【解析】【分析】分别画出函数和的图像，根据图像得出结论.【详解】因为，所以，转化为，如图所示，画出函数和的图像， 当时，有一个交点，当时，，此时，故是函数的一个零点，因为，，满足，所以在有两个交点，因为，，满足，所以在有两个交点，因为，，，所以在内没有交点，当时，恒有，所以两个函数没有交点所以，函数的零点个数为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）求值；（2）解不等式；（3）已知，求的值域.【答案】（1）8;（2）（3）;.【解析】【分析】（1）可由指对数的运算公式直接求解；（2）可将，化为，再求解即可；（3）利用配方法可直接求解.【详解】（1） ；（2）由可得，解得：，所以不等式的解为；（3），又，可得则函数的值域.18.已知函数（且）是定义在R上的奇函数.（1）求及的值；（2）求函数的值域.【答案】（1）;.（2）【解析】【分析】（1）可用特值法先求出的值，再检验是否是奇函数，再代值求；（2）先分离常数得到，接着可用直接法，由的范围，得到的范围，再利用不等式的性质得到的范围，最后得到的范围，继而可求函数的值域.【小问1详解】因为函数（且）是定义在R上的奇函数，所以，可得，则，可得， 经检验：，所以为奇函数,.【小问2详解】,因为所以继而所以，则，即，所以函数的值域.19.已知函数是定义在上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）用定义证明在上是增函数；（3）解不等式：．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由解出，可确定函数的解析式；（2）用定义证明函数的单调性；（3）利用奇偶性和单调性解不等式.【小问1详解】 由题意，得，∴（经检验符合题意），故．【小问2详解】证明　任取，且，则．∵，∴，，．又，∴．∴，即，∴在上是增函数．小问3详解】由（2）知在上是增函数，又在上为奇函数，，∴，∴，解得．∴不等式的解集为．20.已知函数.（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；（2）对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；为奇函数（2）【解析】【分析】（1）根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）根据题意，利用对数函数的性质，转化为，不等式恒成立，结合换元法和对勾函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由函数，则满足，解得或，即函数的定义域为，关于原点对称，又由，所以函数在定义域上的奇函数.【小问2详解】解：因为对于，不等式恒成立，所以对于，不等式恒成立，所以对于，不等式组恒成立，可得对于，不等式恒成立，令，则函数在区间单调递增函数，所以，所以，所以实数的取值范围为.21.已知二次函数（，，为实数）．（1）若的解集为，求不等式的解集；（2）若不等式对任意恒成立，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）结合一元二次不等式的解集得到与的关系，从而解不等式即可求出结果；（2）由题意可得，分、讨论进而结合不等式的性质以及均值不等式即可求出结果.小问1详解】因为的解集为，所以是方程的两个根，所以，且，，可得，，所以，解得，所以不等式的解集为；【小问2详解】为二次函数，所以，由得对任意恒成立，可得，即，可得，当时，，；当，设，则，则，当且仅当即且时等号成立，所以的最大值为.22.已知函数．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）求所有的实数，当，使得对任意时，恒成立； （3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．【答案】（1）增区间为、，减区间为；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）写出的分段函数形式，结合二次函数的性质确定单调区间；（2）令，问题化为在上恒成立，讨论、、、、，结合二次函数性质研究恒成立求参数范围；（3）由题意，存在使有三个不相等的实数根，由时递增不符合，只需研究，结合二次函数、对勾函数性质及方程有解求参数范围.【小问1详解】由题设，对于在上递增；对于，在上递增，在上递减；所以增区间为、，减区间为.【小问2详解】由题设，若对任意时，恒成立，令，在上恒成立，当时，则，而开口向下且对称轴为，若，即时，在上递增，此时最大值，不合题意；若，即时，在上递增，在上递减，此时最大值，不合题意；当时，此时，不合题意； 当时，则时递减，此时，而时递增，此时即可，故，所以，此时，满足题设；当时，，且递增，此时，不合题意；综上，.【小问3详解】由题设，存在，使关于的方程有三个不相等的实数根，由（2）知，，在处连续，当时，开口向上且对称轴为，故上递增，开口向下且对称轴为，故上递增，此时，在整个定义域上递增，故不可能有三个不相等的实数根；当时，此时，在、上递增，上递减，此时，只需，根据对勾函数的性质，在上递增，故， 存在，使有三个不相等的实数根，故.【点睛】关键点点睛：第二问，注意讨论参数a的范围，结合二次函数性质确定参数范围；第三问，首先判断出时递增，再研究研究的单调区间，数形结合求参数范围.