安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期第二次联考（10月）数学 Word版含解析.docx

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安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期第二次联考（10月）数学试题本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别解不等式得到集合和，再根据并集的运算即可求得.【详解】由题意得：，，所以，故选：D.2.的值等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式即可得解. 【详解】由题意，.故选：C.3.已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的夹角关系得到且与不共线，即可求解.【详解】由题意得：且与不共线，即，解得：且，所以实数的范围是，故选：C.4.已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令，，根据复合函数的单调性及条件即可求出结果.【详解】令，则，因为在定义域上单调递增，又函数在区间上递增，所以，得到，故选：B.5.“为锐角三角形”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式可证充分性，再根据特例可判断必要性不成立，故可得正确的选项.【详解】充分性：若为锐角三角形，因为，所以，同理可得，，故．必要性：当，时，不等式成立，而此时并不是锐角三角形．故选：A6.若函数为定义在上的奇函数，则实数（）A.B.C.1D.-1【答案】B【解析】【分析】根据奇函数的定义先特殊值计算，再验证即可.【详解】由题意知为定义在上的奇函数，所以，于是，解得：.经检验，此时，，符合题意.故选：7.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用作差法得到，结合基本不等式得到 ，即可得到，同理作差可比较和，即可求解.【详解】，又，则，且，所以，则，，又，则，且，所以，则，综上：，故选：A.8.已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（）A.0B.1C.2D.【答案】D【解析】【分析】先令，得到，再令，得到，根据函数的周期性得到函数的周期为，即可求解.【详解】由题意令，得，又不是常数函数，所以，再令，得，即，则，即，故， 所以函数的周期为，所以，故选：D.二､多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.设函数，若表示不超过的最大整数，则的函数值可能是（）A.0B.C.1D.2【答案】AB【解析】【分析】先得到函数的值域，从而得到的范围，结合条件即可求解.【详解】因为，则，所以函数的值域是，则的范围是，于是的函数值可能是或，故选：.10.已知，若点满足，则下列说法正确的是（）A.点一定在内部B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】设、分别是、的中点，依题意可得，从而得到点是中位线上靠近点的三等分点，即可判断A，再根据面积关系判断C、D，又平面向量线性运算法则判断B. 【详解】由，所以，设、分别是、的中点，所以，于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故A正确；又，所以，则，故B正确；由A可知，，且，所以，，即，故C正确；所以，故D错误；故选：ABC11.若函数的图象关于直线对称，则（）A.B.点是曲线的一个对称中心C.直线也是一条对称轴D.函数在区间上单调【答案】CD【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，再根据三角函数性质进行求解即可.【详解】由题意函数，其对称轴为，即 ，所以令，解得，对于选项A,因此错误；对于选项B，该函数没有对称中心，因此错误；对于选项C，令，解得，取，符合题意，因此C正确；对于选项D，函数在单调递增，即，当时，函数区间上单调递增，当时，函数在区间上单调递减，因此选项D正确.故选：CD12.若实数是方程的解，实数是方程的解，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据零点存在性定理可判断A，根据指数、对数函数图象的对称性判断B，利用均值不等式判断C，根据关系，利用函数单调性及做差比较判断D.【详解】对于：函数在上单调递增，且，所以，故A正确；对于：如图， 是函数与的交点的横坐标，实数是函数与的交点的横坐标，因为与关于直线对称，图象关于直线对称，所以两点关于直线对称，所以且，于是，故B正确；对于C：由上，故C错误；对于D：由B可知，，又在上为减函数，且，所以，而，所以成立，故D正确.故选：ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设单位向量满足，则值是__________.【答案】【解析】【分析】根据单位向量定义与等量关系可得，再利用夹角的计算公式可求得余弦值.【详解】由题意可知：，将两边平方得，即，化简得，所以.故答案：.14.钝角中，，则的面积是__________. 【答案】【解析】【分析】利用余弦定理与面积公式即可得【详解】由余弦定理得，代入数据，解得或，因为是钝角三角形，，所以，所以的面积是.故答案为：15.已知函数，设是四个互不相同的实数，满足，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据对数函数的图象变换作出时，函数的图象，再根据图象设，从而得到，且，，即可求解【详解】当时，，作出函数图象，如图所示： 当时，，设，且，则由图象得：，则由题意知，，且，，所以，即，则，所以的取值范围是，故答案为：.16.已知函数的图象与函数的图象关于点对称，则__________；的最大值是__________.【答案】①.2②.##【解析】【分析】根据二倍角公式得到，，设函数与函数关于点对称，从而得到，进而得到，结合条件即可求解. 【详解】由题意得：，设函数与函数关于点对称，则，又，则，所以，，，即，又，所以当时，的最大值是，故答案为：；.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数最小值为，周期为.（1）求实数的值；（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由函数的最小值可得，再利用周期公式可求得，（2）由，得，再利用正弦函数的性质可求得函数的值域.【小问1详解】由题意，所以【小问2详解】 由题意，因为，所以，于是，所以所以函数的值域为18.已知对应关系.（1）若，求的值；（2）若对于区间内的任意一个数，在区间内都存在唯一确定的数和它对应，求实数的取值范围.【答案】（1）6；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，借助指数式与对数式的互化关系计算得解.（2）根据给定条件，结合函数的定义得是从到的一个函数，再转化为函数不等式恒成立求解.【小问1详解】若，则，所以.【小问2详解】依题意，为从区间到区间的一个函数，其定义域为，值域为的子集，因此问题转化为时，有恒成立，令，即当时，恒成立，于是对一切恒成立，而当时，，当且仅当，即时取等号，从而， 所以实数的取值范围是.19.已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若.（1）求的值；（2）过点任意作一条动直线交射线于两点，，求最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意画出图象，再利用平面向量基本定理列出方程组即可求解.（2）利用已知条件和的共线得出关系，再利用基本不等式求的最小值.【小问1详解】由题意画出图像，因为，所以且，注意到共线且共线，所以解得.【小问2详解】由（1）和图象可知，结合. 于是，所以.所以，当且仅当，即，时等号成立.于是的最小值为.20.已知函数，.（1）当时，判断函数的奇偶性并证明；（2）给定实数且，问是否存在直线，使得函数的图像关于直线对称？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）存在符合题意．【解析】【分析】（1）当时，函数为偶函数，结合对数的运算性质利用偶函数的定义证明即可；（2）假设存在直线满足题意，则，代入后利用对数的运算性质化简得，从而可求得符合题意．【详解】解：（1）当时，，函数为偶函数，证明如下：∴，又函数的定义域为， ∴函数为偶函数；（2）假设存在直线，使得函数的图像关于直线对称，则，∴，即，即，∴，即，∴，∴，即，∵且，∴，故存在，使得函数的图像关于直线对称．【点睛】本题主要考查对数型复合函数的奇偶性与对称性，考查对数的运算性质，属于难题．21.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，设.（1）若，求线段的长；（2）已知当时，矩形的面积最大.求圆心角的大小，并求此时矩形面积的最大值是多少？【答案】（1） （2）时最大，最大值为【解析】【分析】（1）在中，求得，在中，，代入条件得解；（2）在中，求得，，得，求得矩形的面积，再利用三角恒变换化简，分析得到面积的最大值，得解.【小问1详解】，，.【小问2详解】由题意知，，，，所以当，即时，面积最大，最大值为. 22.已知函数，函数.令函数.（1）若曲线与直线相切，①求实数的值；②证明：；（2）若函数有且仅有一个零点，证明：.【答案】（1）①0；②证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先根据切线斜率求切点再根据切点在曲线上求参即可，函数求导函数，结合单调性求出最值即可证明；（2）根据函数有且仅有一个零点，结合的单调性知，再构造函数结合单调性及零点存在定理证明即可.【小问1详解】设曲线在点处切线是，则，由于所以，由题意知：，于是；，当时，，所以，即，当时，，所以，即，于，在单调递减，单调递增，其最小值是，所以，于是原不等式成立【小问2详解】 有且只有一个零点，注意到为上的增函数且值域为，所以在上有唯一零点，且.在上为负，上为正，所以为极小值，又函数有唯一零点，结合的单调性知，所以，即，即，即，令，显然，是的零点，，在上为正，上为负，于是在上单调递减，注意到，所以在内有一个零点，在内无零点，所以的零点一定小于2，从而原命题得证.