山东省泰安市宁阳县2022-2023学年高三上学期11月期中考试数学 word版含解析.docx

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2022—2023学年高三上学期期中检测试题数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合A，再去求即可解决【详解】由，得，则故选：B.2.已知命题，，则命题的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，再否定结论即可.【详解】命题，的否定为“”.故选：D【点睛】本题考查全称命题的否定的求解，注意只否定结论即可，属简单题.3.设命题p：关于x的不等式对一切恒成立，命题q：对数函数在上单调递减，那么p是q的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】p为真，利用判别式小于0求解a的范围；q为真时，由对数函数的单调性求解a的范围，然后利用充分必要条件的判定得答案.【详解】关于x的不等式对一切恒成立，则，即，∴p为真：；对数函数在上单调递减，则，即.∴q为真：.∵Ü∴p是q的必要不充分条件.故选：C.4.已知为等比数列，，，则（）A9B.－9C.D.【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出.【详解】∵,∴,又,可解得或设等比数列的公比为,则当时,,∴；当时,,∴. 故选：C．【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.5.垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．已知某种垃圾的分解率ν与时间t（月）满足函数关系式（其中a，b为非零常数）．若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（）（参考数据）A20个月B.40个月C.28个月D.32个月【答案】D【解析】【分析】根据题意先确定的值，令，求得时间t.【详解】依题意，解得，故.令，得，即，则.即这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过32个月.故选：D.6.函数的大致图像为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得正确结论．【详解】函数的定义域为，当时，，，所以为奇函数，故排除B、D选项.当时，，，所以，排除C，故选：A．7.已知，且，则（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.【详解】，,，又，则，即所以，因为，所以，.由平方可得，即，符合题意.综上，.故选：B.8.已知函数，则、、的大小关系是（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，可得出，分析函数在上的单调性，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得出、的大小，并比较与的大小，结合函数的单调性可得出结论.【详解】因为，对任意的，，所以，函数的图象关于直线对称，则，当时，，因为二次函数在上为增函数，且，所以，函数、在上为增函数，所以，函数在上为增函数，令，其中，则，故函数在上为减函数，所以，，即，所以，，所以，，又因为，即，所以，.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知实数x，y满足（0-1，则a=______.【答案】1【解析】【分析】利用分段函数的性质求解. 【详解】解：因为函数，所以又因为a>-1，所以，所以，则，解得，故答案为：1.14.已知的内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，，，则外接圆半径为______．【答案】2.5【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式化简已知，结合，可求的值，然后利用正弦定理即可求出外接圆的半径【详解】由得，又所以，.则由正弦定理可得外接圆半径.故答案为：.15.已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为______．【答案】【解析】【分析】通过等差数列的通项公式用分别表示，，，再通过等比中项的性质列出 即可求解.【详解】设等差数列的公差为，所以，所以，，又因为、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，即构成等比数列，所以，解得（舍去），所以.故答案为：.16.已知函数，，设两曲线，有公共点P，且在P点处的切线相同，当时，实数b的最大值是______．【答案】【解析】【分析】由题意可得，，联立后把b用含有a的代数式表示，再由导数求最值得答案．【详解】设，，．由题意知，，，即，，解得或舍，代入得：，，，当时，，当时，． 实数b的最大值是．故答案为．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，函数的定义域为．（1）若求集合；（2）若，求实数的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）对数的真数大于零；（2）按与的大小分类讨论求解.【详解】（Ⅰ）由，得，故集合；（Ⅱ）由题可知，①若，即时，，又因为，所以，无解；②若时，显然不合题意；③若，即时，，又因为，所以，解得．综上所述，．【点睛】本题考查函数的定义域和集合的运算.求函数定义域的常用方法：1、分母不为零；2、对数的真数大于零；3、偶次方根的被开方方数大于或等于零；4、零次幂的底数不等于零；5、中.18.如图，在中，内角所对的边分别为，. （1）求角；（2）若，，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式即可求解.（2）由余弦定理得到为等边三角形，在中，利用余弦定理表达出，然后根据三角形面积公式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得：,所以即,【小问2详解】由由余弦定理得，为等边三角形，设，在中，，解得 当，即时，S有最大值19.已知数列的前项和为，若，且.（1）求的通项公式;（2）设，，数列的前项和为，求证.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知等式可得，采用累乘法可求得当时的，利用可求得，检验首项后可得结论；（2）由（1）可得时的通项，由，采用裂项相消法可求得，由可得结论.【小问1详解】由得：，则当时，，又，，，经检验：满足；.【小问2详解】 由（1）得：当时，；，，，.20.已知函数，，（1）求的单调递减区间；（2）求在闭区间上的最大值和最小值；（3）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在上所有零点之和．【答案】（1）（2）最小值，最大值为（3）【解析】【分析】（1）先将函数化简成一个三角函数，再根据单调区间公式求得即可；（2）先由求出整体角的取值范围，再求得的最大值和最小值；（3）先根据图形变换求出，在求其零点得出结果.【小问1详解】函数. 令解得，所以函数的单调递减区间为，【小问2详解】由（1）得，由于，所以，所以，故，当时，函数的取最小值，最小值为，当时，函数的取最大值，最大值为.小问3详解】将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，令，，即，整理得，即或，当时，或，即，；当时，，；当时，；故所有零点之和为．21.小张于年初支出万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售收入为万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ （2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累积收入+销售收入-总支出）【答案】（1）第三年；（2）第5年.【解析】【分析】（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．【详解】（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y＝25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50＝﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5，∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为＝19﹣（x+）≤19﹣10＝9，当且仅当x＝5时，等号成立，∴小张应当在第5年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．【点睛】思路点睛：首先构建函数的模型一元二次函数，再解一元二次不等式，再利用基本不等式求最值.22.已知函数.（1）若，求函数的单调增区间；（2）若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值；（3）当时，函数恰有两个不同的零点，且，求证：.【答案】（1）单调增区间为（2）2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出，再利用导数求出的单调增区间；（2）先利用分离参数法得到对恒成立.令 ，求导得到，再令，判断出，使，得到在上单调递增，在上单调递减，求出，得到.由，求出整数a的最小值；（3）用分析法证明：当时，把题意转化为只需证.先整理化简得到，只需证.令，构造函数，利用导数证明出.即证.【小问1详解】当时，，所以，则，定义域为.令，解得：.所以的单调增区间为.【小问2详解】依题意对恒成立，等价于对恒成立.令，则令在上是增函数，，所以，使即对，，，所以在上单调递增；对，，，所以在上单调递减. 所以.所以.又，所以整数a的最小值2小问3详解】当时，由（2）知在上单调递增，在上单调递减且，时，；时，；依题意存在，使得已知可得要证成立，只需证因为是的零点，所以，两式相减得：即只需证又因为只需证即证令则，所以，所以在增函数，所以即. 即成立.所以原不等式得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)利用导数证明不等式．