山东省临沂市兰山区2021-2022学年高二上学期开学考试数学word版含解析.docx

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2021-2022学年度高二第一学期开学考测试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷指定位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷选择题（60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，复数，则复数的虚部为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的四则运算，计算出复数，进而求出其共轭复数，得答案.【详解】复数，所以，所以复数的虚部为.故选：B.2.下列调查方式合适的是（）A.2020年我国进行了第七次人口普查，采用抽查方式B.了解一批玉米种子的发芽率，采用普查方式C.了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查方式D.调查一批待售袋装牛奶的细菌数是否超标，采用抽查方式学科网（北京）股份有限公司 【答案】D【解析】【分析】根据抽查和普查的特点，对每个选项逐一判断即可得出答案.【详解】对于A，2020年我国进行了第七次人口普查，采用普查方式，故A不正确；对于B，了解一批玉米种子的发芽率，采用抽查方式.若采用普查方式，虽然获得了准确数据，但所有玉米种子都浪费了，不是适合的调查方式，故B不正确；对于C，了解一批炮弹的杀伤半径，采用抽查方式.若采用普查方式，虽然获得了准确数据，但所有炮弹都浪费了，不是适合的调查方式，故C不正确；对于D，调查一批待售袋装牛奶的细菌数是否超标，采用抽查方式，所以D正确.故选：D.3.下列说法正确的是（）A.空间中任意三点确定一个平面B.一个西瓜切3刀可以切成7块C.垂直同一条直线的两条直线互相平行D.垂直同一个平面的两个平面互相垂直【答案】B【解析】【分析】根据立体几何的相关知识逐一判断即可.【详解】对于A，空间中任意不共线的三点确定一个平面，故A错误；对于B，作西瓜截面如图所示，一个西瓜切3刀可以切成7块，故B正确；对于C，垂直同一条直线的两条直线不一定互相平行，也可以异面、相交、垂直，故C错误；对于D，垂直同一个平面的两个平面不一定互相垂直，也可以相交、平行，故D错误.故选：B4.已知向量，，若，则（）A.5B.15C.D.【答案】C【解析】学科网（北京）股份有限公司 【分析】由向量平行的坐标表示求出，再由向量的加法和数量积的坐标运算即可求出答案.【详解】若，则，解得：.所以，所以，所以.故选：C.5.如图所示的是一个四边形用斜二测法画出的直观图，它是一个底角为45°，腰和上底边长都为2的等腰梯形，则原四边形的面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由直观图还原成原图是一个如图所示的直角梯形，与轴平行的线段长度不变，与轴平行的线段长度加倍，所以由已知的数据可得，从而可求得答案.【详解】由直观图还原成原图是一个如图所示的直角梯形，如图所示，因为在直观图中，,所以在原图中,学科网（北京）股份有限公司 所以原四边形的面积为,故选：B6.算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数含2个数字5”，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意可知基本事件总数为，然后列举出四位数含2个数字5的情况，再利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，每个珠子有两种情况：1和5，所以共有种情况，其中四位数含2个数字5的有：1155，1515，1551，5511，5115，5151，共6种，所以，故选：C7.若在中，角的对边分别为，则（）A.或B.C.D.以上都不对【答案】C【解析】【分析】在中，根据，利用正弦定理求解.学科网（北京）股份有限公司 【详解】在中，已知，由正弦定理得：，所以，因为，所以，所以，故选：C8.先把一正六面体六个面分别写上数字1到6，然后任意抛掷一次，把它与地面接触的面上的数字记为X，则，定义事件：，事件：，事件：，则下列判断正确的是（）A.B.C.D.A，B，C两两相互独立【答案】C【解析】【分析】根据古典概型求解概率判断A，B，C选项，利用相互独立的公式验证D选项【详解】由题意，，，，所以，同理，，由，则，故A错误；由，则，而，故B错误；由，则，故C正确；由A选项中，所以事件A，B，C不两两相互独立，故D错误.故选：C学科网（北京）股份有限公司 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为提高生产效率，某汽车零件加工厂的甲乙两个车间进行比赛，下表是对甲乙两个车间某天生产零件个数的统计，根据表中数据分析得出的结论正确的是（）车间参加人数中位数方差平均数甲55149191135乙55151110135A.甲、乙两车间这一天生产零件个数的平均数相同B.甲车间这一天生产零件个数的波动比乙车间大C.乙车间优秀的人数多于甲车间优秀的人数（这一天生产零件个数个为优秀）D.甲车间这一天生产零件个数的众数小于乙车间零件个数的众数【答案】ABC【解析】【分析】根据表中的数据，对各选项依次判断即可.【详解】对于A，甲、乙两车间这一天生产零件个数的平均数都是135，故A正确；对于B，甲车间方差191大于乙车间的方差110，甲车间这一天生产零件个数的波动比乙车间大，故B正确；对于C，在平均数相同的情况下，乙的中位数大于甲的中位数，所以乙车间优秀的人数多于甲车间优秀的人数，故C正确；对于D，根据表中数据无法判断甲乙两车间的众数的大小，故D不正确.故选：ABC10.下列命题正确的是（）A若，，，则B.若，则当，时，为纯虚数C.若，则的最大值为3D.若实数与对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系【答案】BC【解析】学科网（北京）股份有限公司 【分析】对各选项依次判断即可.【详解】对于A，令，，则，但不满足，故A不正确；对于B，若，则当，时，为纯虚数，故B正确；对于C，的几何意义是复数对应的点到的距离为1，则的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，则的最大值为，故C正确；对于D，当时，不满足，故D不正确.故选：BC11.已知平面单位向量，，满足，，，则（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】由已知条件可得，，.对于A，由向量的数量积计算即可判断；对于B，采用反证法验证即可判断；对于C，根据向量的模的公式计算即可判断；对于D，根据向量的模的公式计算即可判断.【详解】解：因为，，所以，，又因为，所以得.学科网（北京）股份有限公司 对于A，，故正确；对于B，假设，则有，与是单位向量矛盾，故错误；对于C，因为，所以=1，故错误；对于D，因为，所以，故正确.故选：AD.12.如图，正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为棱上的点，且，则（）A.当时，平面B.当时，点C到平面BDN的距离为C.当时，三棱锥外接球的表面积为D.对任意，直线与都是异面直线【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，对于A，直接求解平面的法向量，判断与法向量是否垂直即可，对于B，直接求解平面的法向量，利用距离公式求解，对于C，连接交于，过作平面的垂线，则外接球球心在此垂线上，然后利用勾股定理可求出球的半径，从而可求出表面积，对于D，利用异面直线的定义判断即可.【详解】如图，建立空间直角坐标系，学科网（北京）股份有限公司 对于A，，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以，所以与不垂直，所以与平面不平行，所以A错误，对于B，，设平面的法向量为，则，令，则，所以点C到平面BDN的距离为，所以B正确，对于C，连接交于，过作平面的垂线，则外接球球心在此垂线上，设三棱锥外接球的半径为，则，所以三棱锥外接球的表面积为，所以C正确，对于D，对任意，因为在平面内，点在平面外，且直线与平面交于点，直线不经过点，所以直线与都是异面直线，所以D正确，故选：BCD第Ⅱ卷非选择题（90分）学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.某中学高二各班三分钟跳绳比赛的成绩如下：257，311，267，301，279，296，246，287，257，323，266，293，304，269，332，270，则第75百分位数为______.【答案】302.5【解析】【分析】将数据从小到大排序，再根据百分位数的定义求第75百分位数即可．【详解】数据从小到大排序如下，246，257，257，266，267，269，270，279，287，293，296，301，304，311，323，332共16个数据，，第12、13个数据分别为301、304，则其第75百分位数为，故答案为：302.514.已知一个圆锥的底面半径为，其侧面积，则该圆锥的体积为______.【答案】【解析】【分析】根据圆锥侧面积公式可得母线长，进而可得圆锥的高及体积.【详解】由圆锥侧面积，解得母线，所以圆锥的高，圆锥体积，故答案为：.15.在如图所示珊瑚群岛上取两点C，D，且A，B，C，D四点共面，测得，，，，则A，B两点间的距离为______.【答案】学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】在中易得，再在中，由正弦定理得到BD，然后在中，利用余弦定理求解.【详解】如图所示：在中，因为，所以，所以，则．在中，因为，所以由正弦定理，得．在中，因为，所以由余弦定理得，故．故答案为：16.在中，是边的中点，若，向量在向量上的投影向量为______，若点为线段上的动点，且满足，则的最大值为______.【答案】①.②.【解析】【分析】根据已知得到为的平分线，即，再利用平面向量的投影的概念即可得投影向量，又三点共线，设，，再根据已知可得为关于的函数，进而可得最值.学科网（北京）股份有限公司 【详解】如图所示，，，分别表示平行于，，的单位向量，由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量，又，所以为的平分线，又因为为的中线，所以，所以向量在向量的投影向量为，即向量在向量的投影向量为，因为在上，即，，三点共线，设，，又因为，所以，因为，则，，令，所以当时，取最大值为，故答案为：；.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.学科网（北京）股份有限公司 17.已知复数（i是虚数单位）.（1）求复数z的共轭复数和模；（2）若.求a，b的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用复数运算化简，从而求得的共轭复数以及模.（2）根据复数相等列方程，化简求得的值.【小问1详解】，所以z的共轭复数，.【小问2详解】因为，即，也即，所以，解得.18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求角A的值；（2）若边上的高为3，求a的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理对原式边化角即可；学科网（北京）股份有限公司 （2）根据的两个面积公式得到，再结合余弦定理和基本不等式求解即可.【小问1详解】因为，由正弦定理知，所以，因为，所以，所以，因为，所以【小问2详解】由（1）知，且边上的高为3，所以的面积，即.又因为中，由余弦定理得，当且仅当b=c时取等号，所以，又因为，所以，所以a的最小值为19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，E为侧棱的中点.设平面与侧棱交于点F，且.（1）求证：四边形为直角梯形；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）设平面平面，，则由线面平行的性质可得∥，则由三角中位线定理结合正方形的性质可得四边形为梯形，再由面面垂直的的性质可得，从而可证得结论，（2）由已知条件可求出直角梯形的面积，由平面，可得，再由等边三角形的性质可得，所以平面，从而可求出四棱锥的体积.【小问1详解】因为是正方形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，因平面，设平面平面，，所以∥，因为E为的中点，所以F为的中点，∥且，在正方形中，∥且，所以∥，，则四边形为梯形，因为侧面底面，平面底面，平面，，所以平面，又平面，可得，而∥，所以，所以四边形为直角梯形.【小问2详解】由（1）知四边形为直角梯形，则，，所以，学科网（北京）股份有限公司 由平面，平面，得，因为∥，所以，在正三角形中，E是的中点，则，又，、平面，所以平面，因为，所以20.为了解市民对疫苗接种工作的满意度，从本市居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成表格和频率分布直方图（如下图所示），已知评分在的居民有300人.满意度评分满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；（2）根据所给数据，估计样本的中位数（保留小数点后一位）；（3）定义满意度指数（满意程度的平均分）/100，若，则疫苗接种工作需要进行调整，否则不需要调整，根据所学知识判断该市疫苗接种工作是否需要进行调整？【答案】（1），1200人（2）82.9（3）不需要进行调整.【解析】学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1可求得，由的居民有300人，结合频率分布直方图的频率可求得所调查的总人数；（2）根据小于中位数的频率和为0.5计算中位数即可；（3）根据所给计算公式，结合频率分布直方图数据直接计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图知，即，解得，设总共调查人，则，解得.即调查的总人数为1200人.【小问2详解】由频率分布直方图得：的频率为：，的频率为，设样本的中位数为，则，解得.所以样本的中位数约为82.9.【小问3详解】由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02，0.04，0.14，0.20，0.35，0.25，∴，∴该市疫苗接种工作不需要进行调整.21.在如图所示的半圆柱中，为上底面直径，为下底面直径，为母线，点F在上，点G在上且，P为的中点.学科网（北京）股份有限公司 （1）求直线与直线所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正切值；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据几何法利用线线平行找异面直线所成的角为或其补角，借助余弦定理即可求解.（2）根据线面垂直，可得为直线与平面所成的角，在三角形中利用边长即可求解角的正切值.（3）根据，，可得为二面角平面角，利用三角形即可求解正弦值.【小问1详解】过F点作圆柱的母线交于H，因为与均为圆柱的母线，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且，所以为正三角形.又因为为正三角形，所以，，所以，所以或其补角为直线与所成的角.学科网（北京）股份有限公司 在中，，，，所以由余弦定理知：，所以直线与直线所成角的余弦值为.【小问2详解】因为平面，平面，所以又因为，，平面,所以平面，所以为直线与平面所成的角，在中，，.【小问3详解】由（2）知平面,平面,所以，，因此为二面角的平面角，在中，，，.所以二面角的正弦值为.22.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）证明：；（2）记的面积为S，点P是内一点，且，证明：.学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将原式切化弦，结合正弦定理和余弦定理进行化简即可；（2）根据题意将分为三个小三角形，在各小三角形里结合三角形面积公式和余弦定理得到等式，最后相加即可.【小问1详解】由，得，所以，由正弦定理得，再由余弦定理得，所以【小问2详解】，，，，，的面积分别为，，，在中，由余弦定理得，所以，而，所以，在，中，同理可得，所以，，，所以，所以学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司