四川省泸县第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学 Word版含解析.docx

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泸县第一中学2023年春期高一期中考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】分析：根据终边相同的角正弦值相等，将的正弦化成的正弦，，即可求出结果.详解：由诱导公式可得，，，故选A.点睛：本题着重考查了终边相同的角、诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于简单题.2.命题“对任意，都有”的否定为（）A.存在，使得B.不存在，使得C.存在，使得D.存在，使得【答案】D【解析】【分析】利用全称量词命题的否定是特称命题可得出结论.【详解】由全称量词命题的否定可知，原命题的否定为“存在，使得”.故选：D.3.若集合,则所含的元素个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】化简集合，然后利用集合的补集的定义及交集的定义运算即得. 【详解】由，得，解得，由于，，由，得或，因此，因此含两个元素.故选：C.4.若复数为纯虚数，则（）A.-4B.-2C.-1D.1【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法法则化简，根据复数的类型列出方程，求出的值.【详解】，因为复数为纯虚数，所以，解得：故选：D5.如图，在中，，点是的中点，设，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】连结，根据向量加法三角形法则有，由题意，再转化为，整理即可得结论.【详解】解：连结， 在中，因为，点是的中点，所以,故选：B.6.已知均为锐角，则A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】易得．7.数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，其中、、分别为内角、、的对边.若，，则面积的最大值为（）A.B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】将已知等式结合进行化简，得到 ，并利用正弦定理可得，代入“三斜求积”公式并将看成整体并利用二次函数性质得解.【详解】，，又，所以，所以，所以，所以，由正弦定理得的面积，，将看成整体并利用二次函数性质得，当即a=2时，的面积S有最大值为.故选：A.8.已知的边，的长分别为20,18，，则的角平分线的长为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】 利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则可得，两边平方，利用平面向量数量积的运算法则，化简即可得结果.【详解】如图，因为是的角平分线，所以，所以，即.两边平方得，所以，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算法则，以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列三角式中，值为1的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】对A、B、C三个选项都套用2倍角公式计算即可，D选项直接计算就可选出答案.【详解】A选项,，故正确. B选项，，故正确.C选项，，故正确.D选项，，故错误故选：ABC10.设，是复数，则下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】CD【解析】【分析】举反例证明选项A，B错误；利用一般情况证明选项C，D正确.【详解】对A，取，，有，但，且，所以A错误；对B，取，，且，但，所以B错误；对C，设，则，因此，所以C正确；对D，设，，则由得，，，，因此，所以D正确.故选：CD.11.若对于任意，不等式恒成立，则实数a的值可能是（）A.2B.4C.D.5【答案】BCD【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集与的关系即可求解.【详解】由得，解得，故不等式对于任意恒成立，则 且，进而得故均符合，故选:BCD12.已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（）A.为奇函数B.若的一个零点为，且，则C.在区间的零点个数为个D.若大于的零点从小到大依次为，则【答案】ABD【解析】【分析】利用奇函数的定义可判断A，利用奇函数的性质可判断B，数形结合作出函数的图象，通过交点个数可判断C，根据的图象确定大于的零点的取值范围即可判断D.【详解】因为，所以为奇函数，A正确；假设，则，此时，所以当时，，当时，，当时，，则，由于的零点为，所以，所以，B正确；当时，令， 大于零的零点为的交点，由图可知，函数在有2个零点，由于为奇函数，所以在有1个零点，且，所以在区间的零点个数为个，C错误；由图可知，大于1的零点，，所以，而，所以，D正确.故选:ABD.第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，则______．【答案】##-0.75【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出进而可求正切值.【详解】由平方得，所以，因为，所以，所以，又因为， 所以，联立解得，所以，故答案为：.14.中，，，，则____________.【答案】5【解析】【分析】由余弦定理得，代入数值解出即可.【详解】设，由余弦定理得，即，整理得，由于，解得，即.故答案为：5.15.若函数（其中）在区间上不单调，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】化简f(x)，结合正弦函数单调性即可求ω取值范围.【详解】，x∈，①ω＞0时，ωx∈，f(x)在不单调，则，则； ②ω＜0时，ωx∈，f(x)在不单调，则，则；综上，ω的取值范围是.故答案为：.16.给出以下命题：①若α、β是第一象限角且，则；②函数有三个零点；③函数是奇函数；④函数的周期是；⑤函数，当时恒有解，则a的范围是.其中正确命题的序号为____________.【答案】④⑤【解析】【分析】根据正切周期性，对①举反例；根据与关系，可解零点；根据奇函数定义域，判断是非奇非偶函数.【详解】对于①，令，则①错；对于②，当有恒成立，则无零点；又为奇函数，，也无零点；则只有一个零点，则②错； 对于③，求定义域，则定义域为定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，则③错误；对于④，函数是函数向下平移个单位，再沿轴将下方图像翻折到轴上方，故，则④正确对于⑤，当，，，使恒有解，则恒有根，，则⑤正确故答案为：④⑤【点睛】本题考查，正切函数周期性、奇偶性定义、翻折变换、三角函数有界性，综合性较强，考查计算能力，有一定难度.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知，，且．（1）求与的夹角；（2）求．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根据向量的数量积运算律求解即可；（2）根据向量模运算求解即可.【小问1详解】∵，，由化简得，∴ ∵，∴【小问2详解】．18.已知函数，求（1）求函数的最小正周期；（2）当，求函数的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）应用二倍角正余弦公式及辅助角公式有，即可求最小正周期；（2）由题设得，再由正弦函数的性质求值域即可.【详解】，（1）最小正周期为；（2）由知：，故.19.已知函数的图象的两相邻对称轴间的距离为.（1）求函数的解析式：（2）已知角满足：且，，求 的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）化简函数得到，根据周期为，计算得到答案.（2）代入数据得到，计算得到，最后利用齐次式计算得到答案.【详解】（1）由条件可得，所以，则（2）又∴原式【点睛】本题考查了函数三角函数的解析式，三角恒等变换. 其中齐次式方法是解题的关键，需要熟练掌握.20.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件；，．（I）求角A的值；（Ⅱ）求的范围．【答案】（I）；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理可得解；（Ⅱ）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数恒等变换公式化简，再利用正弦函数的性质求值域即可得解.详解】（I）由，利用正弦定理可得，即故，又，（Ⅱ），，利用正弦定理故，在中，，故，，所以的范围是 【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，求最值可以将“边化角”利用三角函数思想求值域，考查学生的转化能力与运算能力，属于较难题.21.据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，x为月份.已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元.（1）求f(x)的解析式；（2）求此商品的价格超过8万元的月份.【答案】（1）f(x)＝2sin＋7；（2）2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.【解析】【分析】（1）由最大值和最小值求得，由周期求得，再用最高点坐标代入可得，从而得解析式；（2）解不等式2sin＋7>8中在上的整数解即得．【详解】解（1）由题意可知＝7－3＝4，∴T＝8，∴ω＝.又，∴，即f(x)＝2sin＋7.(*)又f(x)过点(3，9)，代入(*)式得2sin＋7＝9，∴sin＝1，∴，k∈Z.又|φ|<，∴φ＝－， ∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*).（2）令f(x)＝2sin＋7>8，∴sin>，∴，k∈Z，可得＋8k