四川省成都市成都市树德中学2021-2022学年高一上学期期中数学 Word版含解析.docx

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树德中学高2021级高一上学期11月阶段性测试数学试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如果集合，，那么集合、之间的关系是（）A.B.C.D.互不包含【答案】A【解析】【分析】分别求出集合和集合中的元素，即可判断集合和集合的关系.【详解】由可得集合是由全体非负偶数构成的即集合是由的2倍构成的，即，所以，故选：A2.已知角的终边过点，且，则的值为A.B.C.D.【答案】A【解析】详解】试题分析：由题设可得,经检验成立,应选A.考点：三角函数的定义.3.已知，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较 【详解】则．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数单调性判断各区间端点函数值正负情况，结合零点存在性定理即可得答案.【详解】由，且在定义域上递增，所以区间、、对应函数都为正，只有区间中函数值有正有负.故选：A5.设函数，则函数的定义域为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据对数函数的定义域求解.【详解】函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为，故选：B6.若函数，满足（1），则的单调递减区间是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，待定系数求得，再根据复合函数单调性的求解原则，即可求得结果. 【详解】由（1），得，于是，因此．因为在，上单调递增，所以的单调递减区间是，．故选：B【点睛】本题考查指数型复合函数单调性的求解，属基础题.7.函数在的图像大致为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．8.已知在上递减的函数，且对任意的，，总有 ，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用二次函数的单调性和题意可得．根据二次函数的对称性可知要使对任意的，，都有，只要即，列出不等式，解不等式，即可求出结果．【详解】由于函数的图象的对称轴为，所以函数的递减区间为又函数在区间上单调递减，所以，所以，由二次函数的对称性可知，在区间上，故要使对任意的，，都有，只要，即，可得，解得．又，所以．故选：B．9.设某公司原有员工100人从事产品A生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x＜100，x∈N＋)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是(　　)A.15B.16C.17D.18【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意，分流前每年创造的产值为100t（万元），分流后x人后，每年创造的产值为 ，则由，解得：．∵∴x的最大值为16．故选B．考点：函数模型的选择与应用．10.已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A.(－∞，－1)B.(－∞，1)C.(－1，0)D.[－1，0)【答案】D【解析】【分析】当x>0时，f(x)有一个零点，故当x≤0时只有一个实根，变量分离后进行计算可得答案.【详解】当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，函数y=－ex单调递减，则－1≤a<0.故选：D【点睛】本题考查由函数零点个数确定参数的取值，考查指数函数的性质，属于基础题.11.已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】当时，，单调递减，且，单调递增，且，此时有且仅有一个交点；当时，，在上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需选B.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12.已知定义在上的函数为减函数，对任意的，均有，则函数的最小值是（）A.2B.5C.D.3【答案】D【解析】【分析】根据题意由带入，可得：整理化简可得，解方程求得函数解析式，再结合基本不等式即可得解.【详解】由任意的，均有，由带入可得：，所以所以，由为减函数，所以所以即 由，所以，化简整理可得，所以或，由为减函数所以，故当时，，当且仅当时，等号成立.故选：D.【点睛】本题考查了求函数解析式，考查了单调性求解过程中的应用，考查了较高的计算能力，属于较难题.本题的关键点有：（1）带入化简，把带入在利用原式进行化简，是本题的关键；（2）掌握利用基本不等式求最值.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若幂函数在上为增函数，则实数m的值为______.【答案】1【解析】【分析】由幂函数有求m值，结合幂函数的区间单调性验证m值，即可得答案.【详解】由题设，即，可得或，当时，在上为增函数，符合；当时，在上为减函数，不符合.所以.故答案为：1 14.计算_________【答案】6【解析】【分析】利用对数的运算性质及换底公式进行计算即可．【详解】解：原式，故答案为6．【点睛】本题考查对数的运算及换底公式，其中公式以及的应用是关键，是基础题．15.设，若不等式对于任意的恒成立，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【详解】令，则不等式对恒成立，因此16.若曲线上至少存在一点与直线上的一点关于原点对称，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【详解】直线关于原点对称直线为方程，即在上有解，所以恒成立，所以.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（1）已知，求.（2）若，求的值.【答案】(1)(2)1【解析】【分析】（1）先利用诱导公式把等式进行化简，代入进行求解；（2）可以把分母看成，再利用弦化切进行求解.【详解】（1）用诱导公式化简等式可得，代入可得.故答案为；（2）原式可化为：把代入得故答案为1.【点睛】遇到复杂的三角方程时，首先应该考虑使用诱导公式进行化简，再将数据代入，求出结果；切化弦和弦化切都是我们常用的运算方法，在计算时要灵活应用三角函数的隐藏条件，如等.18.已知函数．（1）当时，求满足的值；（2）当时，存在，不等式有解，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）依题意得到方程，解得即可求出；（2）利用单调性定义确定其单调性，最后根据单调性转化不等式为即在时有解，根据判别式大于零可得的取值范围．【小问1详解】解：当时，．若，即，解得：，或（舍去），；【小问2详解】解：当时，．对任意，且有：因为，所以，所以，因此在上单调递减．因为，所以，即在时有解所以，解得，所以的取值范围为19.已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)．(1)若f(－1)＝－3，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得，设，由求出的范围，再由复合函数的单调性，可得答案；（2）要使在上单调递增，只需在上单调递减且 在上恒成立，可得的不等式组，解不等式即可判断存在性．【详解】(1)由f(－1)＝－3，得log(4＋2a)＝－3.所以4＋2a＝8，所以a＝2.这时f(x)＝log(x2－4x＋3)，由x2－4x＋3>0，得x>3或x<1.故函数定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．令u＝x2－4x＋3，对称轴为x＝2，则u在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．又y＝logu在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．(2)令g(x)＝x2－2ax＋3，要使f(x)在(－∞，2)上为增函数，应使g(x)在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.因为即a无解．所以不存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上为增函数．【点睛】本题考查复合函数的值域和单调性，注意运用同增异减，考查运算能力，属于中档题．20.某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M、养鸡的收益N与投入a（单位：万元）满足．设甲合作社的投入为（单位：万元），两个合作社的总收益为（单位：万元）．（1）当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大？【答案】（1）万元（2）在甲合作社投入万元，在乙合作社投入万元，总收益最大【解析】【分析】（1）利用收入与投入的表达式即可求解；（2）根据题中甲合作社的收入与投入，对甲乙的投入分类讨论，分别求出总收益即可.【小问1详解】 解：当甲合作社投入为万元时，乙合作社投入为万元，此时两个合作社的总收益为:(万元)；【小问2详解】解：甲合作社的投入为万元，则乙合作社的投入为万元，①当，则，，令，得，则总收益为，显然当时，，即此时甲投入万元，乙投入万元时，总收益最大，最大收益为万元.②当时，则，，显然在上单调递减，所以，即此时甲、乙总收益小于万元.，所以该公司在甲合作社投入万元，在乙合作社投入万元，总收益最大，最大总收益为万元.21.已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）．【解析】【分析】（1）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集；（2）先令，由，则可得，再将有四个不同的实根，转化为有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出的取值范围．详解】（1）由题意，，即， 解方程得，.①当时，即当时，解不等式，得或，此时的解集为；②当时，即时，解不等式，得，此时的解集为；③当时，即当时，解不等式，得或，此时的解集为；综上，当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；（2）当时，令，当且仅当时，等号成立；则关于的方程可化为，关于的方程有四个不等实根，即有两个不同正根，则，由②③式可得，由①知：存在使不等式成立，故，即，解得或. 故实数的取值范围是．【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．22.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称函数为“依赖函数”.（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域且上为“依赖函数”，求的值；（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）是，理由见解析；（2）5；（3）.【解析】【分析】（1）根据新函数的定义判断；（2）利用函数上是单调函数，新定义说明，结合可求得；（3）由单调性及新定义求得值，然后有不等式都成立，求出的最大值，得关于的不等式恒成立，由判别式可得范围．【详解】解：对于函数的定义域R内任意的，取，则，且由是R上的严格增函数，可知的取值唯一，故是“依赖函数”  因为，在严格增函数，故，即，由，得， 又，所以，解得故 因，故在上单调递增，从而，即，进而，解得或舍，从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立，故，即，整理，得对任意的恒成立.由，得，即实数s的取值范围是.