江西省抚州市2022-2023学年高一上学期期末学业质量监测数学Word版含解析.docx

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抚州市2022-2023学年度高一年级上学期学生学业质量监测数学试题一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，仅有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接利用交集的概念求解即可.【详解】，又，.故选：D2.“”是“”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先分别解出指数不等式和分式不等式，再利用充分性和必要性的概念得答案.【详解】，或，可以推出或，当或不能推出，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.已知是定义域为的偶函数，则（）．A.0B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据偶函数性质列方程求出，代入计算即可.【详解】由是定义域为的偶函数得，解得，.故选：B.4.在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（）次区间中点的函数值．A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】根据二分法的性质可知，开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，经过次二分法计算后，区间长度变为，根据精确度即可求得关于的不等式，从而得到答案.【详解】开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，经过次二分法计算后，区间长度变为，又使用二分法计算函数的在区间上零点的近似解时，要求近似解的精确度为0.1，所以，则，又，所以，又，故，所以接下来至少需要计算你次区间中点的函数值．故选：C.5.函数的图像大致为（）． A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性和区间内的值域，用排除法得到图像.【详解】函数，，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，排除AB选项；当时，，排除D选项；故选：C6.已知函数，则不等式的解集为（）A.B.或C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知得出函数在定义域上单调递减，即可根据单调性解不等式得出答案.【详解】函数中，在上单调递减，在上单调递减，且， 则函数在定义域上单调递减，，，解得：，即不等式的解集为.故选：D.7.七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出3个，则这3个三角形的面积之和不大于另外2个三角形面积之和的概率是（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分别计算出五个三角板的面积，且得出总面积为，5个三角形中任取出3个的取法有10种，3个三角形的面积之和不大于另外2个三角形面积之和即是3个三角形的面积之和不大于，由此得出对应取法种数，即可得出答案.【详解】五个等腰三角形的面积由大到小分别为：1号板，2号板，3号板，4号板，5号板，5个三角形中任取出3个的取法有种，其中3个三角形的面积之和不大于另外2个三角形面积之和的取法有：145、245、345三种取法，故若该同学从5个三角形中任取出3个，则这3个三角形的面积之和不大于另外2个三角形面积之和的概率是.故选：C 8.对于函数和，设，，若存在，，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出的零点，得出的零点的范围，根据二次函数的性质列不等式组得出a的范围．【详解】，函数定义域为，任取，有，，，则，即，所以在上单调递增，由，∴只有一个零点，函数与互为“零点相邻函数”，则在上存在零点．，解得或（1）当，即，存在唯一零点，时，符合题意；时，不符合题意；（2）当，即或，，；，；若在上只有1个零点，则，即，解得．若在上有两个零点，则，解得，综上，实数a的取值范围是.故选：B 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.9.若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（）．A.B.C.4D.5【答案】B【解析】【分析】由题意得到，成立是真命题，转化为在上恒成立，由基本不等式得到，从而得到，从而求出答案.【详解】由题意得：，成立是真命题，故在上恒成立，由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，故，故选：B.10.已知一组不全相等的数据的平均数为，若在这组数据中添加一个数据，得到一组新数据，则（）A.这两组数据的平均数相同B.这两组数据的中位数相同C.这两组数据的极差相同D.这两组数据的标准差相同 【答案】AC【解析】【分析】根据平均数的计算即可判断A正确；举例数据判断B；根据极差的计算方法说明判断C;根据标准差与方差的关系及方差的计算公式判断D.【详解】对于A选项，，，，，平均数不变，所以A选项正确；对于B选项，取一组数据，中位数为7，平均数为，加上一个，中位数为，所以B选项错误；对于C选项，数据不全相等时，既不是最大值也不是最小值，极差不变，所以C选项正确；对于D选项，原来数据的方差，后来数据的方差，因为方差不相等，所以标准差也不相同，所以D选项错误.故选：AC.11.设，，，以下四个命题中正确的是（）．A.若为定值，则有最大值B.若，则有最大值4C.若，则有最小值4D.若总成立，则的取值范围为【答案】CD【解析】【分析】对A，利用均值不等式判断；对B，C构造不等式，解不等求得最值，判断是否正确；对D，分离变量，转化为恒成立，再用基本不等式求的最小值，求得的范围，得到是否正确.【详解】为定值时，应有最小值，∴A不正确；当时， ，∴B不正确；，当且仅当，等号成立，∴C正确；由，又，∴，∴，∴D正确．故选：CD.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，构造不等式求最值，属于中档题.12.我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，，则有成立.下列判断正确的是（）A.若为“函数”，则B.函数在上是“函数”C.函数在上是“函数”D.若为“函数”，，则【答案】ACD【解析】【分析】根据“函数”的定义，使用赋值法可判断AB；按照“函数”的定义直接判断可知C；利用定义作差，可判断D.【详解】A选项，由（1）知，由（2）得时，，即，∴，故A正确；B选项，显然满足（1），若x，，则，，若x，，设，，则，，与（2）不符，故B不正确； C选项，，∵，∴，满足（1），，满足（2），故C正确；D选项，∵，∴，∵，∴，∴，故D正确.故选：ACD.三、填空题：共4小题，每题5分，共20分.13.幂函数在区间上单调递增，则实数的值为______．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义与单调性可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值.【详解】因为幂函数在区间上单调递增，则，解得.故答案为：.14.函数的单调递增区间为______【答案】【解析】【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数单调性分析求解.【详解】令，解得或，故函数的定义域为.∵R上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴在上单调递减，在上单调递增，故函数的单调递增区间为.故答案为：. 15.已知，若，则___________.【答案】8【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．【详解】解：由，且所以是方程的两根，解得或，又，所以，即，又从而，且，则，．所以.故答案为：8.16.已知函数，关于x的方程恰有2个不同实数解，则a的值为__________．【答案】4【解析】【分析】由已知可得有两组解，分析函数的性质，作函数的图象，结合图象确定2必须为方程（）的一个解，由此确定的值.【详解】令，则方程可化为因为方程恰有2个不同实数解，所以有两组解，因为，所以函数为偶函数， 当时，；当时，.所以当时，，又函数为偶函数，所以，作函数的图象如下，所以当时，没有解，当时，有两个解，当时，有四个解，当时，有没有解，因为有两组解，2必须为方程（）的一个解，所以，故,当时，由可得所以或，满足条件；所以，故答案为：4.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17.已知集合，或．（1）当时，求；（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在（2 ）问中的横线上，并求解，若__________，求实数的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】（1）（2）条件选择见解析，【解析】【分析】（1）当时，利用补集和并集可求得集合；（2）若选①，分、两种情况讨论，根据可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围；若选②，分、两种情况讨论，在时直接验证即可，在时，根据可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；若选③，分析可得，同①.【小问1详解】解：当时，，或，所以，，因此，.【小问2详解】解：若选①，当时，则时，即当时，成立，当时，即当时，即当时，由可得，解得，此时.综上，；若选②，当时，则时，即当时，成立，当时，即当时，即当时，由可得，解得，此时.综上，；若选③，由可得，当时，则时，即当时，成立，当时，即当时，即当时， 由可得，解得，此时.综上，.18.已知定义域为R的函数（a为常数）是奇函数．（1）求实数a的值，并用定义证明的单调性；（2）求不等式的解集．【答案】（1）；单调性的证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义计算可得的值，再任取，通过计算的正负可得单调性；（2）先利用奇函数将不等式变形为，再利用单调性去掉，然后解二次不等式即可.【小问1详解】函数（a为常数）是奇函数，，，得，，，任取，则，，，即， ，即，为上的单调递减函数；【小问2详解】由（1）得，，解得或即不等式的解集为.19.新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数．（2）据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据和频率总和为1计算出a的值；频率分布直方图中中位数左右两边的直方图面积相等都为0.5，由此列式即可计算出中位数； （2）根据频率分布直方图计算出成绩在，的学生频数，根据分层抽样规则计算出对应区间人数，最后列式计算或用列举法即可得出答案.【小问1详解】，解得设中位数为x，因为学生成绩在的频率为，在的频率为所以中位数满足等式，解得故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为.【小问2详解】成绩在的频数为成绩在的频数为按分层抽样的方法选取5人，则成绩在的学生被抽取人，在的学生被抽取人从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为.20.已知函数．（1）设，求函数的值域；（2）函数的图像与函数的图像关于对称，把函数的图像向上平移一个单位长度得到函数的图像，对任意的，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，由指数函数的值域求函数的值域；（2）根据对称和平移，得到函数的解析式，原不等式转化为二次函数在区间内小于等于0恒成立问题，结合二次函数的图像与性质求解.【小问1详解】，，由，，的值域为.【小问2详解】，函数的图像与函数的图像关于对称，则，函数的图像向上平移一个单位长度得到函数的图像，则，当，有，则，令，任意的，恒成立，即任意的，恒成立，设，则有，解得，实数m的取值范围为.21.第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕.该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长.对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P(x)（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（常数.该款冰雪运动装备的日销售量Q(x)（套）与时间x的部分数据如下表所示：x381524Q（x）（套）12131415已知第24天该商品的日销售收入为32400元.（1）求k的值；（2）给出以下两种函数模型：①；② ，请你依据上表中的数据，从以上两种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量Q（x）与时间x的关系，说明你选择的理由.根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（元）在哪一天达到最低.【答案】（1）；（2）②，理由见解析；第3天达到最低.【解析】【分析】（1）将代入即可得出答案；（2）根据表中数据结合三个模型应选模型②，将，代入模型②，求对应模型解析式，检验即可得出结论，再根据结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】由题意，得，解得；【小问2详解】表格中对应的数据递增速度不符合指数模型，排除模型①．对于模型②，将，代入②，，解得，此时，经验证，均满足，故选模型②，，当且仅当时等号成立，故日销售收入第3天达到最低．22.已知函数（1）设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；（2）已知集合①求集合； ②当时，函数的最小值为，求实数的值．【答案】（1）（2）①；②的值为或5【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；（2）①由题知解得，再解对数不等式即可得答案；②由题知，进而结合①还原，转化为求，的最小值问题，再分类讨论求解即可.【小问1详解】解：根据题意，当时，，当时，，则，因为函数是定义在上的奇函数，所以，，所以，【小问2详解】解：①，即所以，所以，，解得所以，② 由①可得所以，函数等价转化为，，下面分三种情况讨论求解：当，即，在上是增函数，所以，，解得，与矛盾，舍；当，即时，在上是减函数，所以，解得，满足题意；当，即时，，解得或（舍）综上：值为或5