山东省济宁市兖州区2022-2023学年高一下学期期中数学 Word版含解析.docx

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2022—2023学年高一第二学期期中质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，则A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】因为，所以=（5，7），故选A.考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2.已知复数，则的虚部为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算法则化简，再由虚部的定义求解即可.【详解】复数所以的虚部为，故选：C.3.在中，已知，则角等于（）A.或B.或C.D.【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理解三角形即可，要注意角度的取值范围.【详解】根据正弦定理有，题中 又中，，选项ABC错误，选项D正确故选：D.4.将曲线C1：上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2，则C2的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的变换规则计算可得.【详解】解：将向右平移个单位长度得到，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到；故选：A5.已知向量，向量．若向量与向量垂直，则（）A.B.C.3D.5【答案】A【解析】【分析】由向量与垂直求出，根据模长的坐标表示即得.【详解】因为，向量与垂直，所以，所以，即，∴.故选：A.6.在中，，，，D，E分别是边上的三等分点，则 的值是（）A.6B.C.8D.【答案】B【解析】【分析】以作为基底分别表示出，再根据平面向量的数量积运算即可求出．【详解】因为D，E分别是边上的三等分点，不妨设，，所以，由可得，，即，同理可得，，所以．故选：B．7已知，若，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知可得，，应用同角三角函数平方关系求出，，进而利用差角正弦公式求.【详解】由题设，，，∴，，∴故选：C8.2022年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A（如图2）距离地面的高度AB（AB与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物PQ，测得PQ的高度为25.4米，并从P点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点，P点的仰角分别为75°和30°（其中B，M，Q三点共线），该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约为（）（参考数据：，，） A.58B.60C.66D.68【答案】B【解析】【分析】在中，求得PM，在中，利用正弦定理求得AM，然后在中，由求解.【详解】解：如图所示：由题意得：，在中，，在中，由正弦定理得，所以，在中，，故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数，则下列结论中正确的是（）A.对应的点位于第二象限B.的虚部为2C.D. 【答案】CD【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，根据复数的几何意义判断A，根据共轭复数及复数的概念判断B，根据复数的模判断C，根据复数代数形式的乘法运算判断D.【详解】因为，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故A错误；，则复数的虚部为，故B错误，，故C正确；，故D正确；故选：CD10.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，且，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据正八边形的性质、平面向量数量积的定义及向量加法的平行四边形法则判断即可；【详解】解：依题意，故A错误； ，故B正确；因为，即，所以以，为邻边的平行四边形为正方形，对角线长为，所以，故C正确；因为，所以，故D错误；故选：BC11.已知函数（其中）的部分图象如图所示.则下列结论正确的是（）A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上单调递增D.与图象的所有交点的横坐标之和为【答案】BCD【解析】【分析】根据图像求出函数解析式，再逐个选项判断即可.【详解】由题意，，，所以，又， 可得，又，所以，所以.因为，所以不是函数的对称轴，A错；，所以是对称中心，B正确；时，，所以在上单调递增，C正确；，，所以或，即或，又，所以，它们的和为，D正确.故选：BCD12.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记．在上述坐标系中，若，，则（） A.B.C.D.与夹角的余弦值为【答案】AD【解析】【分析】由题设，且，利用向量数量积的运算律求、和，进而求夹角，即可判断各项正误.【详解】由题意，，且，A正确；所以，则，，则，B错误；，故C错误；由上知：，D正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13.已知，，，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为______.【答案】【解析】【分析】利用向量夹角公式以及向量投影公式直接求解.【详解】设与夹角，则，所以在上的投影向量为，故答案为：.14.在中，若，，的面积为，则的值为_______.【答案】 【解析】【分析】首先求出，由面积求出，再由余弦定理计算可得.【详解】因为，所以，则，又，解得，由余弦定理，所以.故答案为：15.将函数的图象向左平移个单位长度．得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ＝_______．【答案】【解析】【分析】首先根据平移规律求函数的解析式，再根据函数是奇函数，求的值.【详解】函数向左平移个单位长度，得到函数，函数是奇函数，所以，则，，则，，因为，所以.故答案为：16.如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边，直角边、，点在以为直径的半圆上．已知以直角边、为直径的两个半圆的面积之比为3，，则______． 【答案】【解析】【分析】由以直角边、为直径的两个半圆的面积之比为3，可得，进而可得，从而利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】解：因为以直角边、为直径两个半圆的面积之比为3，所以，所以在直角三角形中，因为，所以，所以，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数，（1）当取什么值时，复数是纯虚数；（2）当复数在复平面内对应的点位于第四象限时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据实部为零，虚部不为零得到方程，解得即可；（2）依题意可得，再解一元二次不等式组即可； 【详解】（1）当时，解得或，解得且，即时，复数为纯虚数．（2）当复数在复平面内对应的点位于第四象限时，，解得或，解得，所以18.已知向量，，且与的夹角为.（1）求；（2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量的夹角公式，求得，所以，求得，即可求得；（2）根据，求得，再结合向量与共线时，求得，即可求得实数的取值范围.【小问1详解】解：向量，，可得，，且，因为与的夹角为，可得，解得或（舍），所以，则，所以.【小问2详解】解：由向量，，可得，，由，解得，当向量与共线时，可得，解得， 所以实数的取值范围为.19.记的内角的对边分别为，已知．（1）证明：；（2）若，求的周长．【答案】（1）见解析（2）14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.【小问1详解】证明：因为，所以，所以，即，所以；【小问2详解】解：因为，由（1）得，由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为.20.学军中学11 月在杭州乐园举行了秋游活动，其中“旋转木马”项目受到了师生们的喜爱．假设木马旋转时为逆时针方向的水平匀速圆周运动，圆心为O，半径为5米，周期为1分钟．如图，在旋转木马右侧有一固定相机C（C，O两点分别在AB的异侧），若记木马一开始的位置为点A，与C的直线距离为7米．110秒后木马的位置为点B，与C的直线距离为8米．（1）求弦长的值；（2）求旋转中心O到C点的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出木马旋转的角度，进而得到，从而求得弦长的值；（2）在三角形中，先根据余弦定理求出，进而得到，又在三角形中，根据余弦定理即可求得．【小问1详解】连接由木马旋转的角度为，即，所以三角形为等边三角形，所以；【小问2详解】连接，在三角形中，由余弦定理有，因为，所以，又， 在三角形中，由余弦定理有，故旋转中心O到C点距离为．21.已知向量（cosx，cosx），（cosx，sinx）．（1）若∥，，求x的值；（2）若f（x）•，，求f（x）的最大值及相应x的值．【答案】（1）或（2）的最大值为，此时【解析】【分析】（1）利用向量共线得到三角方程，转化为三角函数求值问题，易解；（2）把数量积转化为三角函数，利用角的范围结合单调性即可得到最大值．【详解】解：（1）∵，，，∴，∴，∴cosx＝0或，即cosx＝0或tanx，∵，∴或；（2） ∵，∴，∴，∴，故f（x）的最大值为，此时．【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查了向量共线与数量积的坐标运算，考查转化能力与计算能力.22.已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.（1）设函数，试求的伴随向量；（2）由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，问在的图象上是否存在一点P，使得．若存在，求出Р点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根据辅助角公式进行化简，结合伴随向量的定义进行求解即可；（2）根据三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合向量垂直建立方程关系进行求解．【小问1详解】，故；【小问2详解】 ，所以，假设存在点，使得，则，即，因，所以，所以，又因为，所以当且仅当时，和同时等于，此时，