湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学（原卷版）.docx

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湖南师大附中2023-2024学年度高二第一学期入学考试数学试卷时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）AB.C.D.2.已知复数（，是虚数单位），若，则的虚部是（）A.B.C.D.3.下列命题错误的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.“，”是“”的必要不充分条件C.对于命题p：，使得，则是：，均有D.命题“，”的否定形式是“，”4.已知扇形的周长为10cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数为（）A.1或4B.或8C.1D.5.在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C若，，，则D.若，，，则6.函数的大致图象为（）A.B. C.D.7.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（）A.0.6B.0.7C.0.75D.0.88.下列命题不正确的是（）A.若非零向量，，满足，，则B.向量，共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得成立C.在中，，，，则该三角形不存在D.若，，为锐角，则实数m的取值范围是二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列各式中值为1的是（）A.B.C.D.10.下列命题中，正确的有（）A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则11.2020年，我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，脱贫攻坚战取得了全面胜利.下图是2013—2019年我国农村减贫人数(按现行农村贫困标准统计)统计图，2019年末我国农村贫困人口仅剩的551万人也在2020年现行标准下全部脱贫.以下说法中正确的是（） A.2013—2020年我国农村贫困人口逐年减少B.2013—2019年我国农村贫困人口平均每年减少了1300万人以上C.2017年末我国农村贫困人口有3046万人D.2014年末与2016年末我国农村贫困人口基本持平12.如图，在棱长为2的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E、F为CD上任意两点，且EF的长为1，则下列四个值中为定值的是（）A.点P到平面QEF的距离B.二面角的大小C.直线PQ与平面PEF所成的角D.三棱锥的体积三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.事件A、B是相互独立事件，若，，，则实数n的值等于______．14.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：，，，，，已知各组频数之比为，那么成绩的第70百分位数约为______秒．15.设点P在内且为外心，，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是________. 16.求“方程的解”有如下解题思路：构造函数，其表达式为，易知函数在上是严格减函数，且，故原方程有唯一解．类比上述解题思路，不等式的解集为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设的内角所对边的长分别是，且，，．（1）求a的值；（2）求的值．18.用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知，，，且．（1）求原平面图形ABCD的面积；（2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．19.某学校高一年级在期末考试成绩中随机抽取100名学生的数学成绩、按成绩分组，得到的频率分布表如下所示．组号分组频数频率第1组50.05第2组350.35第3组①0.30第4组200.20 第5组10②合计1001.00（1）请先求出频率分布表中①，②位置相应数据，并估计这次考试中所有同学的平均成绩；（2）为了解学生的学习状态，年级决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生作为第一批座谈对象，第3，4，5组每组各有多少名学生是座谈对象？如果年级决定在这6名学生中随机抽取2名学生单独交流，求第4组有且只有一名学生被选中的概率．20.已知向量，，函数（其中），函数图象的一条对称轴是直线．（1）求的值；（2）若且，求的值．21.如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，平面平面ABCD．（1）求证：平面ABCD；（2）若，求二面角的平面角的余弦值．22.已知函数，．（1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（2）设函数，区间上连续不断，证明：函数有且只有一个零点，且．