湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学(原卷版).docx

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湖南师大附中2023-2024学年度高二第一学期入学考试数学试卷时量:120分钟满分:150分一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()AB.C.D.2.已知复数(,是虚数单位),若,则的虚部是()A.B.C.D.3.下列命题错误的是()A.“”是“”的充分不必要条件B.“,”是“”的必要不充分条件C.对于命题p:,使得,则是:,均有D.命题“,”的否定形式是“,”4.已知扇形的周长为10cm,面积为,则该扇形圆心角的弧度数为()A.1或4B.或8C.1D.5.在空间中,l,m是不重合的直线,,是不重合的平面,则下列说法正确的是()A.若,,,则B.若,,则C若,,,则D.若,,,则6.函数的大致图象为()A.B. C.D.7.天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为,用数字0,1,2,3表示下雨,数字4,5,6,7,8,9表示不下雨,由计算机产生如下20组随机数:977,864,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,394,027,556,488,730,113,537,908.由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为()A.0.6B.0.7C.0.75D.0.88.下列命题不正确的是()A.若非零向量,,满足,,则B.向量,共线的充要条件是存在唯一一个实数,使得成立C.在中,,,,则该三角形不存在D.若,,为锐角,则实数m的取值范围是二、选择题:本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列各式中值为1的是()A.B.C.D.10.下列命题中,正确的有()A.若,则B.若,,则C.若,,则D.若,,则11.2020年,我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就,脱贫攻坚战取得了全面胜利.下图是2013—2019年我国农村减贫人数(按现行农村贫困标准统计)统计图,2019年末我国农村贫困人口仅剩的551万人也在2020年现行标准下全部脱贫.以下说法中正确的是() A.2013—2020年我国农村贫困人口逐年减少B.2013—2019年我国农村贫困人口平均每年减少了1300万人以上C.2017年末我国农村贫困人口有3046万人D.2014年末与2016年末我国农村贫困人口基本持平12.如图,在棱长为2的正方体中,P为的中点,Q为上任意一点,E、F为CD上任意两点,且EF的长为1,则下列四个值中为定值的是()A.点P到平面QEF的距离B.二面角的大小C.直线PQ与平面PEF所成的角D.三棱锥的体积三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.事件A、B是相互独立事件,若,,,则实数n的值等于______.14.某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果分成5组:,,,,,已知各组频数之比为,那么成绩的第70百分位数约为______秒.15.设点P在内且为外心,,如图.若的面积分别为,x,y,则的最大值是________. 16.求“方程的解”有如下解题思路:构造函数,其表达式为,易知函数在上是严格减函数,且,故原方程有唯一解.类比上述解题思路,不等式的解集为______.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设的内角所对边的长分别是,且,,.(1)求a的值;(2)求的值.18.用斜二测画法画一个水平放管的平面图,其直观图如图所示,已知,,,且.(1)求原平面图形ABCD的面积;(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周,求所形成的几何体的表面积和体积.19.某学校高一年级在期末考试成绩中随机抽取100名学生的数学成绩、按成绩分组,得到的频率分布表如下所示.组号分组频数频率第1组50.05第2组350.35第3组①0.30第4组200.20 第5组10②合计1001.00(1)请先求出频率分布表中①,②位置相应数据,并估计这次考试中所有同学的平均成绩;(2)为了解学生的学习状态,年级决定在第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生作为第一批座谈对象,第3,4,5组每组各有多少名学生是座谈对象?如果年级决定在这6名学生中随机抽取2名学生单独交流,求第4组有且只有一名学生被选中的概率.20.已知向量,,函数(其中),函数图象的一条对称轴是直线.(1)求的值;(2)若且,求的值.21.如图,在四棱锥中,是边长为2的正三角形,,,,平面平面ABCD.(1)求证:平面ABCD;(2)若,求二面角的平面角的余弦值.22.已知函数,.(1)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围;(2)设函数,区间上连续不断,证明:函数有且只有一个零点,且.

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