中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析

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中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析中考数学真题分项汇编（全国通用）专题21与三角形、四边形相关的压轴题解答题1．(黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的边AB在x轴上,顶点D在y轴的正半轴上,M为BC的中点,OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根,,动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动,到达B点停止．设运动时间为t秒,的面积为S．(1)求点C的坐标;(2)求S关于t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;(3)在点P的运动过程中,是否存在点P,使是等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由．【答案】(1)点C坐标为(2)(3)存在点P或或,使是等腰三角形【分析】(1)先求出方程的解,可得,,再由,可得,然后根据四边形ABCD是平行四边形,可得CD=7,,即可求解;(2)分两种情况讨论:当时,当时,过点A作交CB的延长线于点F,即可求解;(3)分三种情况讨论:当CP=PM时,过点M作MF⊥PC于点F;当时;当PM=CM时,过点M作MG⊥PC于点G,即可求解．(1)解:,解得,,∵,∴,,∵,∴,

1中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴,∵四边形ABCD是平行四边形,∴,,∴点C坐标为;(2)解:当时,,当时,过点A作交CB的延长线于点F,如图,,∵四边形ABCD是平行四边形,∴,∵,∴,∴,∴,∴;(3)解:存在点P,使是等腰三角形,理由如下:根据题意得:当点P在CD上运动时,可能是等腰三角形,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠C=∠BAD,BC=AD=5,∴,∵点M为BC的中点,∴,当CP=PM时,过点M作MF⊥PC于点F,

2中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴,设PC=PM=a,则PD=7-a,,∵PF2+FM2=PM2,∴,解得:,∴,∴此时点P;当时,∴,∴此时点P;当PM=CM时,过点M作MG⊥PC于点G,则,∴,∴PD=7-PC=4,

3中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴此时点P;综上所述,存在点P或或,使是等腰三角形【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质,坐标与图形,等腰三角形的性质,解直角三角形,熟练掌握相关知识点,并利用数形结合思想解答是解题的关键．2．(贵州黔东南)阅读材料:小明喜欢探究数学问题,一天杨老师给他这样一个几何问题:如图,和都是等边三角形,点在上．求证:以、、为边的三角形是钝角三角形．(1)【探究发现】小明通过探究发现:连接,根据已知条件,可以证明,,从而得出为钝角三角形,故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路,写出完整的证明过程．(2)【拓展迁移】如图,四边形和四边形都是正方形,点在上．①试猜想:以、、为边的三角形的形状,并说明理由．②若,试求出正方形的面积．【答案】(1)钝角三角形;证明见详解(2)①直角三角形;证明见详解;②S四边形ABCD=【分析】(1)根据等边三角形性质得出,BE=BD,AB=CB,∠EBD=∠ABC=60°,再证△EBA≌△DBC(SAS)∠AEB=∠CDB=60°,AE=CD,求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°,可得△ADC为钝角三角形即可;(2)①以、、为边的三角形是直角三角形,连结CG,根据正方形性质,得出∠EBG=∠

4中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析ABC,EB=GB,AB=CB,∠BEA=∠BGE=45°,再证△EBA≌△GBC(SAS)得出AE=CG,∠BEA=∠BGC=45°,可证△AGC为直角三角形即可;②连结BD,根据勾股定理求出AC=,然后利用正方形的面积公式求解即可．(1)证明:∵△ABC与△EBD均为等边三角形,∴BE=BD,AB=CB,∠EBD=∠ABC=60°,∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC,∴∠EBA=∠DBC,在△EBA和△DBC中,,∴△EBA≌△DBC(SAS),∴∠AEB=∠CDB=60°,AE=CD,∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°,∴△ADC为钝角三角形,∴以、、为边的三角形是钝角三角形．(2)证明:①以、、为边的三角形是直角三角形．连结CG,∵四边形和四边形都是正方形,∴∠EBG=∠ABC,EB=GB,AB=CB,∵EG为正方形的对角线,∴∠BEA=∠BGE=45°,∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°,∴∠EBA=∠GBC,在△EBA和△GBC中,

5中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析,∴△EBA≌△GBC(SAS),∴AE=CG,∠BEA=∠BGC=45°,∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°,∴△AGC为直角三角形,∴以、、为边的三角形是直角三角形;②连结BD,∵△AGC为直角三角形,,∴AC=,∴四边形ABCD为正方形,∴AC=BD=,∴S四边形ABCD=．【点睛】本题考查等边三角形的性质,三角形全等判定与性质,正方形的性质,勾股定理,掌握等边三角形的性质,三角形全等判定与性质,正方形的性质,勾股定理是解题关键．3．(海南)如图1,矩形中,,点P在边上,且不与点B、C重合,直线与的延长线交于点E．

6中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析(1)当点P是的中点时,求证:;(2)将沿直线折叠得到,点落在矩形的内部,延长交直线于点F．①证明,并求出在(1)条件下的值;②连接,求周长的最小值;③如图2,交于点H,点G是的中点,当时,请判断与的数量关系,并说明理由．【答案】(1)见解析(2)①见解析;;②12,;③,见解析【分析】(1)根据矩形的性质得到,再结合P是的中点证明;(2)①设,在中,表示出三角形的其他两边,再由勾股定理列方程计算即可;②当点恰好位于对角线上时,最小,利用勾股定理计算即可;③过点作,交于点M,证明,再由即可得到．(1)解:如图9-1,在矩形中,,

7中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析即,∴．∵点P是的中点,∴．∴．(2)①证明:如图9-2,在矩形中,,∴．由折叠可知,∴．∴．在矩形中,,∵点P是的中点,∴．由折叠可知,．设,则．∴．在中,由勾股定理得,∴,

8中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴,即．②解:如图9-3,由折叠可知,．∴．由两点之间线段最短可知,当点恰好位于对角线上时,最小．连接,在中,,∴,∴,∴．③解:与的数量关系是．理由是:如图9-4,由折叠可知．

9中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析过点作,交于点M,∵,∴,∴．∴,∴点H是中点．∵,即,∴．∵,∴．∴．∴．∵点G为中点,点H是中点,∴．∴．∴．∴．【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质,关键是作出辅助线,根据等腰三角形的性质证明．4．(吉林)如图,在中,,,．动点从点出发,以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作,另一边与折线相交于点,以为边作菱形,点在线段上．设点的运动时间为,菱形与重叠部分图形的面积为．

10中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析(1)当点在边上时,的长为;(用含的代数式表示)(2)当点落在边上时,求的值;(3)求关于的函数解析式,并写出自变量的取值范围．【答案】(1)2x(2)1(3)【分析】(1)先证明∠A=∠AQP=30°,即AP=PQ,根据题意有AP=2x,即PQ=2x;(2)当M点在BC上,Q点在AC上,在(1)中已求得AP=PQ=2x,再证明△MNB是等边三角形,即有BN=MN,根据AB=6x=6cm,即有x=1(s);(3)分类讨论:当时,此时菱形PQMN在△ABC的内部,此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积,过Q点作QG⊥AB于G点,求出菱形的面积即可;当x＞1,且Q点在线段AC上时,过Q点作QG⊥AB于G点,设QM交BC于F点,MN交BC于E点,过M点作NH⊥EF于H点,先证明△ENB是等边三角形、△MEF是等边三角形,重叠部分是菱形PQMN的面积减去等边△MEF的面积,求出菱形PQMN的面积和等边△MEF的面积即可,此时需要求出当Q点在C点时的临界条件;当时,此时Q点在线段BC上,此时N点始终与B点重合,过Q点作QG⊥AB于G点,重叠部分的面积就是△PBQ的面积,求出等边△PBQ的面积即可．(1)当Q点在AC上时,∵∠A=30°,∠APQ=120°,∴∠AQP=30°,

11中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴∠A=∠AQP,∴AP=PQ,∵运动速度为每秒2cm,运动时间为x秒,∴AP=2x,∴PQ=2x;(2)当M点在BC上,Q点在AC上,如图,在(1)中已求得AP=PQ=2x,∵四边形QPMN是菱形,∴PQ=PN=MN=2x,,∵∠APQ=120°,∴∠QPB=60°,∵,∴∠MNB=∠QPB=60°,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°,∴△MNB是等边三角形,∴BN=MN,∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm,∴x=1(s);(3)当P点运动到B点时,用时6÷2=3(s),即x的取值范围为:,当M点刚好在BC上时,

12中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析在(2)中已求得此时x=1,分情况讨论,即当时,此时菱形PQMN在△ABC的内部,∴此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积,过Q点作QG⊥AB于G点,如图,∵∠APQ=120°,∴∠QPN=60°,即菱形PQMN的内角∠QPN=∠QMN=60°,∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=,∴重叠的面积等于菱形PQMN的面积为,即为:;当x＞1,且Q点在线段AC上时,过Q点作QG⊥AB于G点,设QM交BC于F点,MN交BC于E点,过M点作NH⊥EF于H点,如图,∵,∴∠MNB=∠QPN=60,∵∠B=60°,∴△ENB是等边三角形,同理可证明△MEF是等边三角形∴BN=NE,∠MEF=60°,ME=EF,∵AP=PQ=PN=MN=2x,AB=6,∴BN=6-AN=6-4x,∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6,

13中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∵MH⊥EF,∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°=,∴△MEF的面积为:,QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=,∵菱形PQMN的面积为,∴重叠部分的面积为,当Q点与C点重合时,可知此时N点与B点重合,如图,∵∠CPB=∠CBA=60°,∴△PBC是等边三角形,∴PC=PB,∵AP=PQ=2x,∴AP=PB=2x,∴AB=AP+PB=4x=6,则x=,即此时重合部分的面积为:,;当时,此时Q点在线段BC上,此时N点始终与B点重合,过Q点作QG⊥AB于G点,如图,∵AP=2x,∴PB=AB-AP=6-2x,∵∠QPB=∠ABC=60°,∴△PQB是等边三角形,∴PQ=PB,同时印证菱形PQMN的顶点N始终与B点重合,∴QG=PQ×sin∠QPN=(6-2x)×sin60°=,

14中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴,∴此时重叠部分的面积,综上所述:．【点睛】本题考查了一次函数的应用、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识,理清运动过程中Q点的位置以及菱形PQMN的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想．5．(黑龙江牡丹江)在菱形和正三角形中,,是的中点,连接、．(1)如图1,当点在边上时,写出与的数量关系．(不必证明)(2)如图2,当点在的延长线上时,线段、有怎样的数量关系,写出你的猜想,并给予证明;(3)如图3,当点在的延长线上时,线段、又有怎样的数量关系,写出你的猜想(不必证明)．【答案】(1)(2),证明见解析(3)【分析】(1)延长交于点,利用,得出,,得到,是的中垂线,在中,,利用正切函数即可求解;(2)延长交于点,连接,,先证明,再证明,利用在中,,即可求解;(3)延长到,使,连接,,,作FE∥DC,先证,再证,利用在中,,即可求解．(1)解:如图1,延长交于点,

15中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∵是的中点,∴PD=PF,∵是正三角形,∴,∵,∴,∴,∵四边形是菱形,∴,∴,∴,在和中,,∴,∴,,∵是正三角形,∴,∵四边形是菱形,∴,,是的中垂线,在中,,

16中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析．(2)解:,理由如下:如图2,延长交于点,连接,,,正三角形,∴,,在和中,,,,,在和中,,,,,,．

17中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析(3)解:猜想:．证明:如图3,延长到,使,连接,,,作FEDC,是线段的中点,,,,,,,,,四边形是菱形,,,点、、又在一条直线上,,四边形是菱形,,,,,,,即,,,,．

18中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形．6．(内蒙古呼和浩特)下面图片是八年级教科书中的一道题:如图,四边形是正方形,点是边的中点,,且交正方形外角的平分线于点．求证．(提示:取的中点,连接．)(1)请你思考题中“提示”,这样添加辅助线的意图是得到条件:;(2)如图1,若点是边上任意一点(不与、重合),其他条件不变．求证:;(3)在(2)的条件下,连接,过点作,垂足为．设,当为何值时,四边形是平行四边形,并给予证明．【答案】(1)AG=CE(2)过程见解析(3),证明过程见解析【分析】对于(1),根据点E是BC的中点,可得答案;对于(2),取AG=EC,连接EG,说明△BGE是等腰直角三角形,再证明△GAE≌△CEF,可得答案;对于(3),设BC=x,则BE=kx,则,,再利用等腰直角三角形的性质表示EP的长,利用平行四边形的判定得只要EP=FC,即可解决问题．(1)解:∵E是BC的中点,∴BE=CE．∵点G是AB的中点,∴BG=AG,∴AG=CE．故答案为:AG=CE;(2)取AG=EC,连接EG．∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠B=90°．

19中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∵AG=CE,∴BG=BE,∴△BGE是等腰直角三角形,∴∠BGE=∠BEG=45°,∴∠AGE=135°．∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°．∵CF是正方形ABCD外角的平分线,∴∠DCF=45°,∴∠ECF=90°+45°=135°．∵AE⊥EF,∴∠AEB+∠FEC=90°．∵∠BAE+∠AEB=90°,∴∠BAE=∠CEF,∴△GAE≌△CEF,∴AE=EF;(3)当时,四边形PECF是平行四边形．如图．由(2)得,△GAE≌△CEF,∴CF=EG．设BC=x,则BE=kx,∴,．∵EP⊥AC,∴△PEC是等腰直角三角形,∴∠PEC=45°,

20中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴∠PEC+∠ECF=180°,．∴,当PE=CF时,四边形PECF是平行四边形,∴,解得．【点睛】这是一道关于四边形的综合问题,主要考查了正方形的性质,全等三角形的性质和判定,平行四边形的判定等知识．7．(福建)已知,AB＝AC,AB＞BC．(1)如图1,CB平分∠ACD,求证:四边形ABDC是菱形;(2)如图2,将(1)中的△CDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于∠BAC),BC,DE的延长线相交于点F,用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系,并证明;(3)如图3,将(1)中的△CDE绕点C顺时针旋转(旋转角小于∠ABC),若,求∠ADB的度数．【答案】(1)见解析(2),见解析(3)30°【分析】(1)先证明四边形ABDC是平行四边形,再根据AB＝AC得出结论;(2)先证出,再根据三角形内角和,得到,等量代换即可得到结论;(3)在AD上取一点M,使得AM＝CB,连接BM,证得,得到,设,,则,得到α+β的关系即可．(1)∵,∴AC＝DC,∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠ACB,AB＝DC,∵CB平分∠ACD,

21中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴,∴,∴,∴四边形ABDC是平行四边形,又∵AB＝AC,∴四边形ABDC是菱形;(2)结论:．证明:∵,∴,∵AB＝AC,∴,∴,∵,∴,∵,∴,∴;(3)在AD上取一点M,使得AM＝CB,连接BM,∵AB＝CD,,∴,∴BM＝BD,,∴,∵,∴,

22中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析设,,则,∵CA＝CD,∴,∴,∴,∴,∵,   ∴,∴,即∠ADB＝30°．【点睛】本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等,灵活运用知识,利用数形结合思想,做出辅助线是解题的关键．8．(湖南衡阳)如图,在菱形中,,,点从点出发,沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动,过点作于点,作交直线于点,交直线于点,设与菱形重叠部分图形的面积为(平方单位),点运动时间为(秒)．(1)当点与点重合时,求的值;(2)当为何值时,与全等;(3)求与的函数关系式;(4)以线段为边,在右侧作等边三角形,当时,求点运动路径的长．【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】(1)画出图形,根据30°直角三角形求解即可;(2)根据全等的性质计算即可,需要注意分类讨论;(3)利用面积公式计算即可,需要根据M在B点左边和右边分类讨论;

23中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析(4)先确定E点的运动轨迹是一条直线,再根据求点运动路径的长．(1)与重合时,∵,∴,∴.(2)①当时,∵,∴,∵,∴,∴,∴.②当,∵,∴,∵,∴,∴,∴.∴或.(3)①当时,

24中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析,∴,∴.②当时,∵,,∴,∴,∴.(4)连接.∵为正三角形,

25中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴,在Rt△APE中,,∴为定值.∴的运动轨迹为直线,,当时,当时,∴的运动路径长为.【点睛】本题属于四边形的综合问题,考查了菱形的性质,30°直角三角形的性质,全等三角形的性质,锐角三角函数等知识,综合程度较高,考查学生灵活运用知识的能力．9．(浙江金华)如图,在菱形中,,点E从点B出发沿折线向终点D运动．过点E作点E所在的边(或)的垂线,交菱形其它的边于点F,在的右侧作矩形．(1)如图1,点G在上．求证:．(2)若,当过中点时,求的长．(3)已知,设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时,以G,C,H为顶点的三角形与相似(包括全等)?【答案】(1)见解析(2)或5(3)或或或【分析】(1)证明△AFG是等腰三角形即可得到答案;(2)记中点为点O．分点E在上和点E在上两种情况进行求解即可;(3)过点A作于点M,作于点N．分点E在线段上时,点E在线段上时,点E在线段

26中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析上,点E在线段上,共四钟情况分别求解即可．(1)证明:如图1,∵四边形是菱形,∴,∴．∵FGBC,∴,∴,∴△AFG是等腰三角形,∴．(2)解:记中点为点O．①当点E在上时,如图2,过点A作于点M,∵在中,,∴．∴,∵,

27中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴,∴,∴．②当点E在上时,如图3,过点A作于点N．同理,,,∴．∴或5．(3)解:过点A作于点M,作于点N．①当点E在线段上时,．设,则,ⅰ)若点H在点C的左侧,,即,如图4,．∵,

28中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴,∴,∴,解得,经检验,是方程的根,∴．∵,∴,∴,∴,解得,经检验,是方程的根,∴．ⅱ)若点H在点C的右侧,,即,如图5,．∵,∴,∴,∴,

29中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析此方程无解．∵,∴,∴,∴,解得,经检验,是方程的根,∴．②当点E在线段上时,,如图6,．∴．∵,∴,∴,∴,此方程无解．∵,∴,∴,∴,解得,

30中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析经检验,是方程的根,∵,∴不合题意,舍去;③当点E在线段上时,,如图7,过点C作于点J,在中,．,∴,∴,∵,∴,符合题意,此时,．④当点E在线段上时,,∵,∴与不相似．综上所述,s满足的条件为:或或或．【点睛】此题考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质、锐角三角函数等知识,分类讨论方法是解题的关键．10．(四川南充)如图,在矩形中,点O是的中点,点M是射线上动点,点P在线段上(不与点A重合),．

31中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析(1)判断的形状,并说明理由．(2)当点M为边中点时,连接并延长交于点N．求证:．(3)点Q在边上,,当时,求的长．【答案】(1)为直角三角形,理由见解析(2)见解析(3)或12【分析】(1)由点O是的中点,可知,由等边对等角可以推出;(2)延长AM,BC交于点E,先证,结合(1)的结论得出PC是直角斜边的中线,推出,进而得到,再通过等量代换推出,即可证明;(3)过点P作AB的平行线,交AD于点F,交BC于点G,得到两个K型,证明,,利用相似三角形对应边成比例列等式求出QF,FP,再通过即可求出DM．(1)解:为直角三角形,理由如下:∵点O是的中点,,∴,∴,,∵,∴,∴,∴为直角三角形;(2)

32中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析证明:如图,延长AM,BC交于点E,由矩形的性质知:,,∴,∵点M为边中点,∴,在和中,∴,∴,∵,∴,即C点为BE的中点,由(1)知,∴,即为直角三角形,∴,∴,又∵,,∴,∴;(3)解:如图,过点P作AB的平行线,交AD于点F,交BC于点G,

33中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析由已知条件,设,,则,,．∵,,,∴,,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∴,即,∴．同理,∵,∴,∵,∴,∴,∴,

34中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴,即,∴．∴,解得,∴,将代入得,整理得,解得或．∵,,∴,∴,即,∴,∴当时,,当时,,此时点M在DC的延长线上,综上,的长为或12．【点睛】本题考查矩形的性质,直角三角形斜边中线的性质,相似三角形的判定与性质等,第3问有一定难度,解题关键是作辅助线构造K字模型．11．(湖北武汉)已知是的角平分线,点E,F分别在边,上,,,与的面积之和为S．

35中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析(1)填空:当,,时,①如图1,若,,则_____________,_____________;②如图2,若,,则_____________,_____________;(2)如图3,当时,探究S与m、n的数量关系,并说明理由:(3)如图4,当,,,时,请直接写出S的大小．【答案】(1)①,25;②4;(2)S=(3)S=【分析】(1)①先证四边形DECF为正方形,再证△ABC为等腰直角三角形,根据CD平分∠ACB,得出CD⊥AB,且AD=BD=m,然后利用三角函数求出BF=BDcos45°=5,DF=BDsin45°=5,AE=ADcos45°=5即可;②先证四边形DECF为正方形,利用直角三角形两锐角互余求出∠A=90°-∠B=30°,利用30°直角三角形先证求出DE=,利用三角函数求出AE=ADcos30°=6,DF=DE=,BF=DFtan30°=2,BD=DF÷sin60°=4即可;(2)过点D作DH⊥AC于H,DG⊥BC于G,在HC上截取HI=BG,连接DI,先证四边形DGCH为正方形,再证△DFG≌△DEH(ASA)与△DBG≌△DIH(SAS),然后证明∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°即可;(3)过点D作DP⊥AC于P,DQ⊥BC于Q,在PC上截取PR=QB,连接DR,过点A作AS⊥DR于S,先证明△DQF≌△DPE,△DBQ≌△DRP,再证△DBF≌△DRE,求出∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°即可．(1)解:①∵,,,是的角平分线,∴四边形DECF为矩形,DE=DF,∴四边形DECF为正方形,

36中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∵,∴∠A=90°-∠B=45°=∠B,∴△ABC为等腰直角三角形,∵CD平分∠ACB,∴CD⊥AB,且AD=BD=m,∵,∴BD=n=,∴BF=BDcos45°=5,DF=BDsin45°=5,AE=ADcos45°=5,ED=DF=5,∴S=;故答案为,25;②∵,,,是的角平分线,∴四边形DECF为矩形,DE=DF,∴四边形DECF为正方形,∵,∴∠A=90°-∠B=30°,∴DE=,AE=ADcos30°=6,DF=DE=,∵∠BDF=90°-∠B=30°,∴BF=DFtan30°=2,∴BD=DF÷sin60°=4,∴BD=n=4,∴S=,故答案为:4;;(2)解:过点D作DH⊥AC于H,DG⊥BC于G,在HC上截取HI=BG,连接DI,∴∠DHC=∠DGC=∠GCH=90°,∴四边形DGCH为矩形,∵是的角平分线,DH⊥AC,DG⊥BC,∴DG=DH,∴四边形DGCH为正方形,

37中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴∠GDH=90°,∵,∴∠FDG+∠GDE=∠GDE+∠EDH=90°,∴∠FDG=∠EDH,在△DFG和△DEH中,,∴△DFG≌△DEH(ASA)∴FG=EH,在△DBG和△DIH中,,∴△DBG≌△DIH(SAS),∴∠B=∠DIH,DB=DI=n,∵∠DIH+∠A=∠B+∠A=90°,∴∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°,∴S△ADI=,∴S=;(3)

38中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析过点D作DP⊥AC于P,DQ⊥BC于Q,在PC上截取PR=QB,连接DR,过点A作AS⊥DR于S,∵是的角平分线,DP⊥AC,DQ⊥BC,∴DP=DQ,∵∠ACB=60°∴∠QDP=120°,∵,∴∠FDQ+∠FDP=∠FDP+∠EDP=120°,∴∠FDQ=∠EDP,在△DFQ和△DEP中,,∴△DFQ≌△DEP(ASA)∴DF=DE,∠QDF=∠PDE,在△DBQ和△DRP中,,∴△DBQ≌△DRP(SAS),∴∠BDQ=∠RDP,DB=DR,∴∠BDF=∠BDQ+∠FDQ=∠RDP+∠EDP=∠RDE,

39中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∵DB=DE,DB=DR,∴△DBF≌△DRE,∴∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°,∴S=S△ADR=．【点睛】本题考查等腰直角三角形判定与性质,正方形判定与性质,三角形全等判定与性质,直角三角形判定,三角形面积,角平分线性质,解直角三角形,掌握等腰直角三角形判定与性质,正方形判定与性质,三角形全等判定与性质,直角三角形判定,三角形面积,角平分线性质,解直角三角形是解题关键．12．(山东临沂)已知是等边三角形,点B,D关于直线AC对称,连接AD,CD．(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)在线段AC上任取一点Р(端点除外),连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转,使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究:当点Р在线段AC上的位置发生变化时,的大小是否发生变化?说明理由．(3)在满足(2)的条件下,探究线段AQ与CP之间的数量关系,并加以证明．【答案】(1)见解析(2)大小不变,理由见解析(3),证明见解析【分析】(1)连接BD,由等边三角形的性质可得AC垂直平分BD,继而得出,便可证明;(2)连接PB,过点P作交AB于点E,PF⊥AB于点F,可证明是等边三角形,由等腰三角形三线合一证明,,即可求解;(3)由等腰三角形三线合一的性质可得AF=FE,QF=BF,即可证明．(1)

40中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析连接BD,是等边三角形,,点B,D关于直线AC对称,AC垂直平分BD,,,四边形ABCD是菱形;(2)当点Р在线段AC上的位置发生变化时,的大小不发生变化,始终等于60°,理由如下:将线段PD绕点Р逆时针旋转,使点D落在BA延长线上的点Q处,,是等边三角形,,连接PB,过点P作交AB于点E,PF⊥AB于点F,则,,是等边三角形,,,

41中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析,点B,D关于直线AC对称,点P在线段AC上,PB=PD,∠DPA=∠BPA,PQ=PD,,,∠QPF-∠APF=∠BPF-∠EPF,即∠QPA=∠BPE,∠DPQ=∠DPA-∠QPA=∠BPA-∠BPE=∠APE=60°;(3)AQ=CP,证明如下:AC=AB,AP=AE,AC-AP=AB–AE,即CP=BE,AP=EP,PF⊥AB,AF=FE,PQ=PD,PF⊥AB,QF=BF,QF-AF=BF–EF,即AQ=BE,AQ=CP．【点睛】本题考查了图形的旋转,等边三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,菱形的判定等,熟练掌握知识点是解题的关键．13．(江西)问题提出:某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题:将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处,并绕点O逆时针旋转,探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长为2)．

42中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析(1)操作发现:如图1,若将三角板的顶点P放在点O处,在旋转过程中,当与重合时,重叠部分的面积为__________;当与垂直时,重叠部分的面积为__________;一般地,若正方形面积为S,在旋转过程中,重叠部分的面积与S的关系为__________;(2)类比探究:若将三角板的顶点F放在点O处,在旋转过程中,分别与正方形的边相交于点M,N．①如图2,当时,试判断重叠部分的形状,并说明理由;②如图3,当时,求重叠部分四边形的面积(结果保留根号);(3)拓展应用:若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处,该锐角记为(设),将绕点O逆时针旋转,在旋转过程中,的两边与正方形的边所围成的图形的面积为,请直接写出的最小值与最大值(分别用含的式子表示),(参考数据:)【答案】(1)1,1,(2)①是等边三角形,理由见解析;②(3)【分析】(1)如图1,若将三角板的顶点P放在点O处,在旋转过程中,当OF与OB重合时,OE与OC重合,此时重叠部分的面积=△OBC的面积=正方形ABCD的面积=1;当OF与BC垂直时,OE⊥BC,重叠部分的面积=正方形ABCD的面积=1;一般地,若正方形面积为S,在旋转过程中,重叠部分的面积S1与S的关系为S1=S．利用全等三角形的性质证明即可;(2)①结论:△OMN是等边三角形．证明OM=ON,可得结论;②如图3中,连接OC,过点O作OJ⊥BC于点J．证明△OCM≌△OCN(SAS),推出∠COM=∠CON=30°,

43中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析解直角三角形求出OJ,即可解决问题;(3)如图4-1中,过点O作OQ⊥BC于点Q,当BM=CN时,△OMN的面积最小,即S2最小．如图4-2中,当CM=CN时,S2最大．分别求解即可．(1)如图1,若将三角板的顶点P放在点O处,在旋转过程中,当OF与OB重合时,OE与OC重合,此时重叠部分的面积=△OBC的面积=正方形ABCD的面积=1;当OF与BC垂直时,OE⊥BC,重叠部分的面积=正方形ABCD的面积=1;一般地,若正方形面积为S,在旋转过程中,重叠部分的面积S1与S的关系为S1=S．理由:如图1中,设OF交AB于点J,OE交BC于点K,过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N．∵O是正方形ABCD的中心,∴OM=ON,∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°,∴四边形OMBN是矩形,∵OM=ON,∴四边形OMBN是正方形,∴∠MON=∠EOF=90°,∴∠MOJ=∠NOK,∵∠OMJ=∠ONK=90°,∴△OMJ≌△ONK(AAS),∴S△PMJ=S△ONK,∴S四边形OKBJ=S正方形OMBN=S正方形ABCD,

44中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴S1=S．故答案为:1,1,S1=S．(2)①如图2中,结论:△OMN是等边三角形．理由:过点O作OT⊥BC,∵O是正方形ABCD的中心,∴BT=CT,∵BM=CN,∴MT=TN,∵OT⊥MN,∴OM=ON,∵∠MON=60°,∴△MON是等边三角形;②如图3中,连接OC,过点O作OJ⊥BC于点J．

45中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∵CM=CN,∠OCM=∠OCN,OC=OC,∴△OCM≌△OCN(SAS),∴∠COM=∠CON=30°,∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°,∵OJ⊥CB,∴∠JOM=90°-75°=15°,∵BJ=JC=OJ=1,∴JM=OJ•tan15°=2-,∴CM=CJ-MJ=1-(2-)=-1,∴S四边形OMCN=2××CM×OJ=-1．(3)如图4,将沿翻折得到,则,此时则当在上时,比四边形的面积小,       设,则当最大时,最小,,即时,最大,此时垂直平分,即,则如图5中,过点O作OQ⊥BC于点Q,

46中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析,BM=CN当BM=CN时,△OMN的面积最小,即S2最小．在Rt△MOQ中,MQ=OQ•tan=tan,∴MN=2MQ=2tan,∴S2=S△OMN=×MN×OQ=tan．如图6中,同理可得,当CM=CN时,S2最大．则△COM≌△CON,∴∠COM=,∵∠COQ=45°,∴∠MOQ=45°-,QM=OQ•tan(45°-)=tan(45°-),∴MC=CQ-MQ=1-tan(45°-),

47中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴S2=2S△CMO=2××CM×OQ=1-tan(45°-)．【点睛】本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,旋转变换,全等三角形的判定和性质,四边形的面积等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．14．(贵州贵阳)小红根据学习轴对称的经验,对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图,在中,为边上的高,,点在边上,且,点是线段上任意一点,连接,将沿翻折得．(1)问题解决:如图①,当,将沿翻折后,使点与点重合,则______;(2)问题探究:如图②,当,将沿翻折后,使,求的度数,并求出此时的最小值;(3)拓展延伸:当,将沿翻折后,若,且,根据题意在备用图中画出图形,并求出的值．【答案】(1)(2)(3)作图见解析,【分析】(1)根据等边三角形的性质,平行四边形的性质可得,根据特殊角的三角函数值即可求解;(2)根据折叠的性质即可求得,由三角形内角和定理可得,根据点在边上,当时,取得最小值,最小值为;(3)连接,设,则,,在中,,延长交于点,在中,,进而根据,

48中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析即可求解．(1),是等边三角形,四边形是平行四边形,,,为边上的高,,(2),,是等腰直角三角形,,,,,,,,,是等腰直角三角形,为底边上的高,则点在边上,当时,取得最小值,最小值为;(3)如图,连接,

49中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析,则,设,则,,折叠,,,,,,,,,,,在中,,,延长交于点,如图,,,,

50中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析,,在中,,,．【点睛】本题考查了轴对称的性质,特殊角的三角函数值,解直角三角形,勾股定理,三角形内角和定理,含30度角的直角三角形的性质,平行四边形的性质,等边三角形的性质,综合运用以上知识是解题的关键．15．(吉林长春)【探索发现】在一次折纸活动中,小亮同学选用了常见的A4纸,如图①,矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料,根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠,使点B落在上,点B的对应点为点E,折痕为;再沿过点F的直线折叠,使点C落在上,点C的对应点为点H,折痕为;然后连结,沿所在的直线再次折叠,发现点D与点F重合,进而猜想．【问题解决】(1)小亮对上面的猜想进行了证明,下面是部分证明过程:证明:四边形是矩形,∴．由折叠可知,,．∴．∴．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)的度数为________度,的值为_________;

51中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析(3)在图①的条件下,点P在线段上,且,点Q在线段上,连结、,如图②,设,则的最小值为_________．(用含a的代数式表示)【答案】(1)见解析(2)22.5°,(3)【分析】(1)根据折叠的性质可得AD=AF,,由HL可证明结论;(2)根据折叠的性质可得证明是等腰直角三角形,可求出GF的长,从而可得结论;(3)根据题意可知点F与点D关于AG对称,连接PD,则PD为PQ+FQ的最小值,过点P作PR⊥AD,求出PR=AR=,求出DR,根据勾腰定理可得结论．(1)证明:四边形是矩形,∴．由折叠可知,,．∴．∴．由折叠得,,∴∴又AD=AF,AG=AG∴(2)由折叠得,∠又∠∴∠由得,∠∠

52中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析又∠∴∠∴∠∴设则∴∴∴(3)如图,连接∵∴AG是FD的垂直平分线,即点F与点D关于AG轴对称,连接PD交AG于点Q,则PQ+FQ的最小值为PD的长;过点P作交AD于点R,∵∠∴∠∴又∴∴在中,

53中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴∴的最小值为【点睛】本题主要考查了折叠的性质,全等三角形的判定与性质,最短路径问题,矩形的性质以及勾股定理等知识,正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．16．(广东深圳)(1)【探究发现】如图①所示,在正方形中,为边上一点,将沿翻折到处,延长交边于点．求证:(2)【类比迁移】如图②,在矩形中,为边上一点,且将沿翻折到处,延长交边于点延长交边于点且求的长．(3)【拓展应用】如图③,在菱形中,为边上的三等分点,将沿翻折得到,直线交于点求的长．

54中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析【答案】(1)见解析;(2);(3)的长为或【分析】(1)根据将沿翻折到处,四边形是正方形,得,,即得,可证;(2)延长,交于,设,在中,有,得,,由,得,,,而,,可得,即,,设,则,因,有,即解得的长为;(3)分两种情况:(Ⅰ)当时,延长交于,过作于,设,,则,,由是的角平分线,有①,在中,②,可解得,;(Ⅱ)当时,延长交延长线于,过作交延长线于,同理解得,．【详解】证明:(1)将沿翻折到处,四边形是正方形,,,,,,;(2)解:延长,交于,如图:

55中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析设,在中,,,解得,,,,,,即,,,,,,,,即,,设,则,,,,即,解得,

56中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析的长为;(3)(Ⅰ)当时,延长交于,过作于,如图:设,,则,,,,,沿翻折得到,,,,是的角平分线,,即①,,,,,在中,,②,联立①②可解得,;(Ⅱ)当时,延长交延长线于,过作交延长线于,如图:

57中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析同理,,即,由得:,可解得,,综上所述,的长为或．【点睛】本题考查四边形的综合应用,涉及全等三角形的判定,相似三角形的判定与性质,三角形角平分线的性质,勾股定理及应用等知识,解题的关键是方程思想的应用．17．(黑龙江)和都是等边三角形．(1)将绕点A旋转到图①的位置时,连接BD,CE并延长相交于点P(点P与点A重合),有(或)成立;请证明．(2)将绕点A旋转到图②的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系?并加以证明;

58中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析(3)将绕点A旋转到图③的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不需要证明．【答案】(1)证明见解析(2)图②结论:,证明见解析(3)图③结论:【分析】(1)由△ABC是等边三角形,得AB=AC,再因为点P与点A重合,所以PB=AB,PC=AC,PA=0,即可得出结论;(2)在BP上截取,连接AF,证明(SAS),得,再证明(SAS),得,,然后证明是等边三角形,得,即可得出结论;(3)在CP上截取,连接AF,证明(SAS),得,再证明(SAS),得出,,然后证明是等边三角形,得,即可得出结论:．(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∵点P与点A重合,∴PB=AB,PC=AC,PA=0,∴或;(2)解:图②结论:证明:在BP上截取,连接AF,∵和都是等边三角形,∴,,∴,

59中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴,∴(SAS),∴,∵AC=AB,CP=BF,   ∴(SAS),∴,,∴,∴,∴是等边三角形,∴,∴;(3)解:图③结论:,理由:在CP上截取,连接AF,∵和都是等边三角形,∴,,∴,∴,∴(SAS),∴,∵AB=AC,BP=CF,∴(SAS),   

60中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴,,∴,∴,∴是等边三角形,∴,∴,即．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．18．(辽宁锦州)在中,,点D在线段上,连接并延长至点E,使,过点E作,交直线于点F．(1)如图1,若,请用等式表示与的数量关系:____________．(2)如图2．若,完成以下问题:①当点D,点F位于点A的异侧时,请用等式表示之间的数量关系,并说明理由;②当点D,点F位于点A的同侧时,若,请直接写出的长．【答案】(1)(2)①;②或;【分析】(1)过点C作CG⊥AB于G,先证明△EDF≌△CDG,得到,然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质,即可求出答案;(2)①过点C作CH⊥AB于H,与(1)同理,证明△EDF≌△CDH,然后证明是等腰直角三角形,即可得到结论;②过点C作CG⊥AB于G,与(1)同理,得△EDF≌△CDG,然后得到是等腰直角三角形,利用勾股定理解直角三角形,即可求出答案．(1)解:过点C作CG⊥AB于G,如图,

61中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∵,∴,∵,,∴△EDF≌△CDG,∴;∵在中,,,∴,∴,∴;故答案为:;(2)解:①过点C作CH⊥AB于H,如图,与(1)同理,可证△EDF≌△CDH,∴,∴,在中,,,∴是等腰直角三角形,∴,∴是等腰直角三角形,

62中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析∴,∴;②如图,过点C作CG⊥AB于G,与(1)同理可证,△EDF≌△CDG,∴,∵,当点F在点A、D之间时,有∴,与①同理,可证是等腰直角三角形,∴;当点D在点A、F之间时,如图:∴,与①同理,可证是等腰直角三角形,∴;综合上述,线段的长为或．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理解直角三角形,三角形的内角和定理,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确的作出辅助线,正确得到三角形全等．

63中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析19．(广西)已知,点A,B分别在射线上运动,．(1)如图①,若,取AB中点D,点A,B运动时,点D也随之运动,点A,B,D的对应点分别为,连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论:(2)如图②,若,以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,求点O与点C的最大距离:(3)如图③,若,当点A,B运动到什么位置时,的面积最大?请说明理由,并求出面积的最大值．【答案】(1),证明见解析(2)(3)当时,的面积最大;理由见解析,面积的最大值为【分析】(1)根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行证明即可;(2)取AB中点T,连接OT、CT、OC,由等腰直角三角形的性质可得,继而可得当O、T、C在同一直线上时,CO最大,再证明,再由勾股定理求出OT的长,即可求解;(3)以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,连接OC交AB于点T,在OT上取点E,使OE=BE,连接BE,由(2)可知,当时,OC最大,当时,此时OT最大,即的面积最大,由勾股定理等进行求解即可．(1),证明如下:,AB中点为D,,为的中点,,,,;

64中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析(2)如图,取AB中点T,连接OT、CT、OC,以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,,(当且仅当点T在线段OC上时,等号成立),当O、T、C在同一直线上时,CO最大,在和中,,,,,即,,,;(3)如图,当点A,B运动到时,的面积最大,证明如下:以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,连接OC交AB于点T,在OT上取点E,使OE=BE,连接BE,

65中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析由(2)可知,当时,OC最大,,当时,,此时OT最大,的面积最大,,,,综上,当点A,B运动到时,的面积最大,面积的最大值为．【点睛】本题考查了直角三角形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理等,熟练掌握知识点是解题的关键．20．(湖北十堰)【阅读材料】如图①,四边形中,,,点,分别在,上,若,则．

66中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析【解决问题】如图②,在某公园的同一水平面上,四条道路围成四边形．已知,,,,道路,上分别有景点,,且,,若在,之间修一条直路,则路线的长比路线的长少_________(结果取整数,参考数据:)．【答案】370【分析】延长交于点,根据已知条件求得,进而根据含30度角的直角三角形的性质,求得,,从而求得的长,根据材料可得,即可求解．【详解】解:如图,延长交于点,连接,,,,,,

67中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析是等边三角形,,,在中,,,,,,中,,,,,,中,是等腰直角三角形由阅读材料可得,路线的长比路线的长少．故答案为:370．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,理解题意是解题的关键．21．(陕西)问题提出(1)如图1,是等边的中线,点P在的延长线上,且,则的度数为__________．问题探究(2)如图2,在中,．过点A作,且,过点P作直线,分别交于点O、E,求四边形的面积．问题解决(3)如图3,现有一块型板材,为钝角,．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件,

68中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下:①以点C为圆心,以长为半径画弧,交于点D,连接;②作的垂直平分线l,与于点E;③以点A为圆心,以长为半径画弧,交直线l于点P,连接,得．请问,若按上述作法,裁得的型部件是否符合要求?请证明你的结论．【答案】(1)(2)(3)符合要求,理由见解析【分析】(1)利用等腰三角形的判定及性质,结合三角形内角和,先求出即可;(2)连接．先证明出四边形是菱形．利用菱形的性质得出,由,得出．根据,得,,即可求出,再求出,利用即可求解;(3)由作法,知,根据,得出．以为边,作正方形,连接．得出．根据l是的垂直平分线,证明出为等边三角形,即可得出结论．(1)解:,,,,解得:,,,

69中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析故答案为:;(2)解:如图1,连接．图1∵,∴四边形是菱形．∴．∵,∴．∵,∴．∴．∵,∴．∴．∴．(3)解:符合要求．由作法,知．∵,∴．如图2,以为边,作正方形,连接．

70中考数学真题专练《与三角形、四边形相关的压轴题（二）》全国通用分项冲刺题-附解析图2∴．∵l是的垂直平分线,∴l是的垂直平分线．∴．∴为等边三角形．∴,∴,∴．∴裁得的型部件符合要求．【点睛】本题考查了等边三角形的性质,等腰三角形的判定及性质、三角形内角和定理、菱形的判定及性质、锐角三角函数、正方形、垂直平分线,解题的关键是要灵活运用以上知识点进行求解,涉及知识点较多,题目较难．