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菁优网www.jyeoo.com2006年江西省高考数学试卷（理科）©2010-2014菁优网

1菁优网www.jyeoo.com2006年江西省高考数学试卷（理科）　一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•江西）已知集合M={x|}，N={y|y=3x2+1，x∈R}，则M∩N=（　　）　A．∅B．{x|x≥1}C．{x|x＞1}D．{x|x≥1或x＜0}　2．（5分）（2006•江西）已知复数z满足（+3i）z=3i，则z=（　　）　A．B．C．D．　3．（5分）（2006•江西）若a＞0，b＞0，则不等式﹣b＜＜a等价于（　　）　A．＜x＜0或0＜x＜B．﹣＜x＜C．x＜﹣或x＞D．x＜或x＞　4．（5分）（2006•江西）设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，若=﹣4则点A的坐标是（　　）　A．（2，±2）B．（1，±2）C．（1，2）D．（2，2）　5．（5分）（2006•江西）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（　　）　A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）≥2f（1）D．f（0）+f（2）＞2f（1）　6．（5分）（2006•江西）若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（　　）　A．0B．﹣2C．D．﹣3　7．（5分）（2006•江西）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200=（　　）　A．100B．101C．200D．201　8．（5分）（2006•江西）在（x﹣）2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=时，S等于（　　）　A．23008B．﹣23008C．23009D．﹣23009　©2010-2014菁优网

2菁优网www.jyeoo.com9．（5分）（2006•江西）（理）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2=1和（x﹣5）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为（　　）　A．6B．7C．8D．9　10．（5分）（2006•江西）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（　　）　A．a=105p=B．a=105p=C．a=210p=D．a=210p=　11．（5分）（2006•江西）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A﹣BEFD与三棱锥A﹣EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（　　）　A．S1＜S2B．S1＞S2　C．S1=S2D．S1，S2的大小关系不能确定　12．（5分）（2006•江西）某地一年的气温Q（t）（单位：°c）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10°c，令G（t）表示时间段〔0，t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（　　）©2010-2014菁优网

3菁优网www.jyeoo.com　A．B．C．D．　二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•江西）数列{}的前n项和为Sn，则Sn=　_________　．　14．（4分）（2006•江西）设f（x）=log3（x+6）的反函数为f﹣1（x），若〔f﹣1（m）+6〕〔f﹣1（n）+6〕=27，则f（m+n）=　_________　．　15．（4分）（2006•江西）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ABC=90°，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是　_________　．　16．（4分）（2006•江西）已知圆M：（x+cosq）2+（y﹣sinq）2=1，直线l：y=kx，下面四个命题：（A）对任意实数k与q，直线l和圆M相切；（B）对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；（C）对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切（D）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切其中真命题的代号是　_________　．（写出所有真命题的代号）　三、解答题（共12小题，满分74分）17．（12分）（2006•江西）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．　18．（12分）（2006•江西）将分别标有数字2，3，5的三张质地，大小完全一样的卡片背面朝上放在桌面上．（1）随机抽取一张，求抽到奇数的概率；（2）随机抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，能组成哪些两位数？并求出抽取到的两位数恰好是35的概率．©2010-2014菁优网

4菁优网www.jyeoo.com　19．（12分）（2006•江西）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设ÐMGA=a（）（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数．（2）求y=的最大值与最小值．　20．（12分）（2006•江西）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形．（1）求证：AD⊥BC．（2）求二面角B﹣AC﹣D的大小．（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．　21．（12分）（2006•江西）如图，椭圆Q：（a＞b＞0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点．（1）求点P的轨迹H的方程．（2）在Q的方程中，令a2=1+cosq+sinq，b2=sinq（0＜q≤），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？©2010-2014菁优网

5菁优网www.jyeoo.com　22．（14分）（2006•江西）已知数列{an}满足：a1=，且an=（n≥2，n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！　©2010-2014菁优网

6菁优网www.jyeoo.com2006年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析　一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•江西）已知集合M={x|}，N={y|y=3x2+1，x∈R}，则M∩N=（　　）　A．∅B．{x|x≥1}C．{x|x＞1}D．{x|x≥1或x＜0}考点：其他不等式的解法；交集及其运算．菁优网版权所有分析：集合M为分式不等式的解集，集合N为二次函数的值域，分别求出再求交集．或者在解集合M中，注意x≠1，可排除B、D，再结合A、C用特值检验即可．解答：解：∵M={x|}={x|x＞1或x≤0}，N={y|y≥1}∴M∩N={x|x＞1}故选C点评：本题考查分式不等式的解集和集合的概念、运算等问题，属基本题．在解题过程中，注意选择题的特殊做法．　2．（5分）（2006•江西）已知复数z满足（+3i）z=3i，则z=（　　）　A．B．C．D．考点：复数相等的充要条件．菁优网版权所有分析：将复数方程变形，然后化简化为a+bi的形式．解答：解：=．故选D．点评：本题是基础题，注意变形后的化简：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi的形式．　3．（5分）（2006•江西）若a＞0，b＞0，则不等式﹣b＜＜a等价于（　　）　A．＜x＜0或0＜x＜B．﹣＜x＜C．x＜﹣或x＞D．x＜或x＞考点：不等关系与不等式．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由题意不等式﹣b＜＜a，然后再进行等价变换，进行移项、通分，然后进行求解．解答：解：©2010-2014菁优网

7菁优网www.jyeoo.com故选D．点评：此题考查不等关系与不等式的性质，解题的关键是利用已知条件进行通分．　4．（5分）（2006•江西）设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，若=﹣4则点A的坐标是（　　）　A．（2，±2）B．（1，±2）C．（1，2）D．（2，2）考点：抛物线的标准方程．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：先求出抛物线的焦点F（1，0），根据抛物线的方程设A（，y0），然后构成向量、，再由=﹣4可求得y0的值，最后可得答案．解答：解：F（1，0）设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．点评：本题主要考查抛物线的标准方程．抛物线的标准方程是高考的考点，是圆锥曲线的重要的一部分，要重视复习．　5．（5分）（2006•江西）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（　　）　A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）≥2f（1）D．f（0）+f（2）＞2f（1）考点：导数的运算．菁优网版权所有专题：分类讨论．分析：分x≥1和x＜1两种情况对（x﹣1）f′（x）≥0进行讨论，由极值的定义可得当x=1时f（x）取得极小值也为最小值，故问题得证．解答：解：依题意，当x≥1时，f′（x）≥0，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；当x＜1时，f′（x）≤0，f（x）在（﹣∞，1）上是减函数，故当x=1时f（x）取得极小值也为最小值，即有f（0）≥f（1），f（2）≥f（1），∴f（0）+f（2）≥2f（1）．故选C．点评：本题以解不等式的形式，考查了利用导数求函数极值的方法，同时灵活应用了分类讨论的思想，是一道好题．©2010-2014菁优网

8菁优网www.jyeoo.com　6．（5分）（2006•江西）若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（　　）　A．0B．﹣2C．D．﹣3考点：一元二次不等式与二次函数．菁优网版权所有分析：令f（x）=x2+ax+1，要使得f（x）≥0在区间（0，]恒成立，只要f（x）在区间（0，]上的最小值大于等于0即可得到答案．解答：解：设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=若≥，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）≥0⇒﹣≤a≤﹣1若≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）=1＞0恒成立，故a≥0若0≤≤，即﹣1≤a≤0，则应有f（）=恒成立，故﹣1≤a≤0综上，有﹣≤a．故选C点评：本题主要考查一元二次函数求最值的问题．一元二次函数的最值是高考中必考内容，要注意一元二次函数的开口方向、对称轴、端点值．　7．（5分）（2006•江西）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200=（　　）　A．100B．101C．200D．201考点：等差数列的前n项和．菁优网版权所有分析：由三点共线得a1+a200=1，再由等差数列前n项和公式解得．解答：解：∵A，B，C三点共线∴a1+a200=1又∵∴s200=100故选A点评：本题主要考查向量共线和等差数列前n项和公式．　©2010-2014菁优网

9菁优网www.jyeoo.com8．（5分）（2006•江西）在（x﹣）2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=时，S等于（　　）　A．23008B．﹣23008C．23009D．﹣23009考点：二项式定理的应用．菁优网版权所有专题：计算题．分析：利用二项式定理将二项式展开，令x分别取，得到两个等式，两式相减，化简即得．解答：解：设（x﹣）2006=a0x2006+a1x2005+…+a2005x+a2006则当x=时，有a0（）2006+a1（）2005+…+a2005（）+a2006=0（1）当x=﹣时，有a0（）2006﹣a1（）2005+…﹣a2005（）+a2006=23009（2）（1）﹣（2）有a1（）2005+…+a2005（）=﹣23009¸即2S=﹣23009则S=﹣23008故选项为B点评：本题考查二项式定理的展开式形式及赋值法求系数和．　9．（5分）（2006•江西）（理）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2=1和（x﹣5）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为（　　）　A．6B．7C．8D．9考点：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有专题：计算题；证明题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出双曲线的两个焦点，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，利用双曲线的定义分别求得|PM|和|PN|，进而可求得此时|PM|﹣|PN|的值．解答：解：设双曲线的两个焦点分别是F1（﹣5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|﹣|PN|=（|PF1|+1）﹣（|PF2|﹣1）=（|PF1|﹣|PF2|）+2根据双曲线的定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a=6∴|PM|﹣|PN|=（|PF1|﹣|PF2|）+2=8即|PM|﹣|PN|的最大值为8故选：C点评：本题主要考查了双曲线的简单性质和双曲线与圆的关系，属于中档题．着重考查了学生对双曲线定义的理解和应用，以及对几何图形的认识能力．　10．（5分）（2006•江西）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（　　）　A．a=105p=B．a=105p=C．a=210p=D．a=210p=考点：等可能事件．菁优网版权所有分析：本题是一道平均分组问题，将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，有两个组都是两个人，而这两个组又没有区别，所以分组数容易重复，甲、乙分到同一组的概率要分类计算．解答：解：a==105甲、乙分在同一组的方法种数有©2010-2014菁优网

10菁优网www.jyeoo.com（1）若甲、乙分在3人组，有=15种（2）若甲、乙分在2人组，有C53=10种，故共有25种，所以P=故选A点评：平均分组问题是概率中最困难的问题，解题时往往会忽略有些情况是相同的，若4人分成两组，则有种分法．　11．（5分）（2006•江西）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A﹣BEFD与三棱锥A﹣EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（　　）　A．S1＜S2B．S1＞S2　C．S1=S2D．S1，S2的大小关系不能确定考点：球内接多面体．菁优网版权所有专题：计算题；综合题；压轴题．分析：比较表面积的大小，可以通过体积进行转化比较；也可以先求表面积，然后比较．解答：解：连OA、OB、OC、OD，则VA﹣BEFD=VO﹣ABD+VO﹣ABE+VO﹣BEFD+VO﹣AFDVA﹣EFC=VO﹣AFC+VO﹣AEC+VO﹣EFC又VA﹣BEFD=VA﹣EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，又面AEF公共，故SABD+SABE+SBEFD+SADF=SAFC+SAEC+SEFC故选C©2010-2014菁优网

11菁优网www.jyeoo.com点评：本题考查球的内接体的表面积问题，找出表面积的共有特征是解题简化的关键，是中档题．　12．（5分）（2006•江西）某地一年的气温Q（t）（单位：°c）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10°c，令G（t）表示时间段〔0，t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（　　）　A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．菁优网版权所有专题：压轴题；数形结合．分析：由已知中某地一年的气温Q（t）（单位：°c）与时间t（月份）之间的关系，及该年的平均气温为10°c，我们可以结合实际，利用排除法解答本题．解答：解：注意到后几个月的气温单调下降，则从o到12月前的某些时刻，平均气温应大于10℃，可排除B；6月前的平均气温应小于10℃，故可排除C；又该年的平均气温为10℃，故t=12时，G（t）=10，故D也不对．故选A．点评：这道题的奇妙之处，还在于6附近的状态，气温图在6的左、右两边都是先升后降，6是一个枚小值点，而选择支A中，6的附近为什么始终保持上升状态呢？这是一个圈套，也是通过图形考查能力的魅力所在．　二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•江西）数列{}的前n项和为Sn，则Sn=　　．©2010-2014菁优网

12菁优网www.jyeoo.com考点：数列的求和；极限及其运算．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据题意将该数列的通项公式拆成两项差，进而求出前n项和，再求极限．解答：解：∵∴Sn=a1+a2+…+an==∴．故答案为：点评：本题求和利用裂项相消法，将通项公式拆成两项相减，在求前n项和时除了首尾各一项或少数几项外，其余项都能前后相消，进而求出sn．　14．（4分）（2006•江西）设f（x）=log3（x+6）的反函数为f﹣1（x），若〔f﹣1（m）+6〕〔f﹣1（n）+6〕=27，则f（m+n）=　2　．考点：反函数；函数的值．菁优网版权所有专题：创新题型．分析：先求出f（x）=log3（x+6）的反函数为f﹣1（x），由〔f﹣1（m）+6〕〔f﹣1（n）+6〕=27，解出m+n，进而求出f（m+n）．解答：解：∵f﹣1（x）=3x﹣6故〔f﹣1（m）+6〕•〔f﹣1（x）+6〕=3m•3n=3m+n=27，∴m+n=3，∴f（m+n）=log3（3+6）=2．故答案为2．点评：本题考查反函数的求法及求函数值．是基础题．　15．（4分）（2006•江西）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ABC=90°，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是　1+　．考点：棱柱的结构特征；余弦定理的应用．菁优网版权所有专题：计算题；作图题；综合题；压轴题．分析：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，不难看出CP+PA1的最小值是A1©2010-2014菁优网

13菁优网www.jyeoo.comC的连线．（在BC1上取一点与A1C构成三角形，因为三角形两边和大于第三边）由余弦定理即可求解．解答：解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．通过计算可得AB=6又∠BC1C=45°，BC1=2，可求得A1C=1+故答案为：1+点评：本题考查棱柱的结构特征，余弦定理的应用，是中档题．　16．（4分）（2006•江西）已知圆M：（x+cosq）2+（y﹣sinq）2=1，直线l：y=kx，下面四个命题：（A）对任意实数k与q，直线l和圆M相切；（B）对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；（C）对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切（D）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切其中真命题的代号是　（B）（D）　．（写出所有真命题的代号）考点：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有专题：计算题；综合题；压轴题．分析：根据圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，然后求出圆心到已知直线的距离d利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数与半径r比较大小即可得到直线与圆的位置关系，得到正确答案即可．解答：解：圆心坐标为（﹣cosq，sinq），圆的半径为1圆心到直线的距离d==|sin（θ+φ）|≤1（其中sinφ=﹣，cosφ=﹣）所以直线l与圆M有公共点，且对于任意实数k，必存在实数q，使直线l与圆M相切，故答案为：（B）（D）点评：此题要求学生会利用圆心到直线的距离与半径比较大小来判断直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．　三、解答题（共12小题，满分74分）17．（12分）（2006•江西）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；©2010-2014菁优网

14菁优网www.jyeoo.com（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．解答：解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b由解得，f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：x（﹣∞，﹣）﹣（﹣，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑极大值↓极小值↑所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．（2），当x=﹣时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．解得c＜﹣1或c＞2．点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件．　18．（12分）（2006•江西）将分别标有数字2，3，5的三张质地，大小完全一样的卡片背面朝上放在桌面上．（1）随机抽取一张，求抽到奇数的概率；（2）随机抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，能组成哪些两位数？并求出抽取到的两位数恰好是35的概率．考点：等可能事件．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（1）先求出这组数中奇数的个数，再利用概率公式解答即可；（2）根据题意列举出能组成的数的个数及35的个数，再利用概率公式解答．解答：解：（1）根据题意可得：有三张卡片，奇数只有“5”一张，故抽到奇数的概率P=；（2）根据题意可得：随机抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，共能组成6个不同的两位数：32，52，23，53，25，35．其中恰好为35的概率为．点评：本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．　19．（12分）（2006•江西）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设ÐMGA=a（）（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数．©2010-2014菁优网

15菁优网www.jyeoo.com（2）求y=的最大值与最小值．考点：解三角形；三角函数的最值．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（1）根据G是边长为1的正三角形ABC的中心，可求得AG，进而利用正弦定理求得GM，然后利用三角形面积公式求得S1，同理可求得S2（2）把（1）中求得S1与S2代入求得函数的解析式，进而根据α的范围和余切函数的单调性求得函数的最大和最小值．解答：解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以AG=，∠MAG=，由正弦定理得则S1=GM•GA•sina=同理可求得S2=（2）y===72（3+cot2a）因为，所以当a=或a=时，y取得最大值ymax=240当a=时，y取得最小值ymin=216点评：本题主要考查了解三角形问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．　©2010-2014菁优网

16菁优网www.jyeoo.com20．（12分）（2006•江西）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形．（1）求证：AD⊥BC．（2）求二面角B﹣AC﹣D的大小．（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．菁优网版权所有分析：（1）方法一：根据三垂线定理可得：作AH⊥面BCD于H，连DH．由长度计算可得：BHCD是正方形，所以DH⊥BC，则AD⊥BC．方法二：证明异面直线垂直，也可以先证明直线与平面垂直：取BC的中点O，连AO、DO，则有AO⊥BC，DO⊥BC，所以BC⊥面AOD（2）二面角的度量关键在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂线定理．作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B﹣AC﹣D的平面角，再根据余弦定理即可求得cos∠BMN的大小．（3）直线与平面所成的角，需先作出平面的垂线：设E是所求的点，作EF⊥CH于F，连FD．则EF∥AH，所以EF⊥面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角，则∠EDF=30°．解答：解：（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，连DH．AB⊥BD⇒HB⊥BD，又AD=，BD=1∴AB==BC=AC∴BD⊥DC又BD=CD，则BHCD是正方形，则DH⊥BC∴AD⊥BC方法二：取BC的中点O，连AO、DO则有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD∴BC⊥AD（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B﹣AC﹣D的平面角，因为AB=AC=BC=∵M是AC的中点，则BM=，MN=CD=，BN=AD=，由余弦定理可求得cos∠BMN=∴∠BMN=arccos（3）设E是所求的点，作EF⊥CH于F，连FD．则EF∥AH，∴EF⊥面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角，则∠EDF=30°．设EF=x，易得AH=HC=1，则CF=x，FD=，∴tan∠EDF===©2010-2014菁优网

17菁优网www.jyeoo.com解得x=，则CE=x=1故线段AC上存在E点，且CE=1时，ED与面BCD成30°角．点评：本小题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．　21．（12分）（2006•江西）如图，椭圆Q：（a＞b＞0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点．（1）求点P的轨迹H的方程．（2）在Q的方程中，令a2=1+cosq+sinq，b2=sinq（0＜q≤），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：（1）设出椭圆的标准方程和A，B的坐标进而把A，B代入到椭圆方程联立，先看当当AB不垂直x轴时，方程组中两式相减，进而求得x和y的关系及P的轨迹方程；再看AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足刚才所求的方程，最后综合可得答案．（2）先根据椭圆方程求得其右准线方程，求得原点到右准线的距离，根据c2=a2﹣b2，求得=2sin（+），进而可知©2010-2014菁优网

18菁优网www.jyeoo.com当q=时，上式达到最大值．此时a，b和c可求得，则可求得此时的椭圆的方程，设椭圆Q：上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），则可表示出三角形的面积，把直线m的方程代入椭圆方程，消去x，根据韦达定理由韦达定理得y1+y2和y1y2的表达式，进而求得三角形面积的表达式，令t=k2+131，进而求得S关于t的函数，根据t的范围确定三角形面积S的最大值．解答：解：如图，（1）设椭圆Q：（a＞b＞0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则1°当AB不垂直x轴时，x1¹x2，由（1）﹣（2）得b2（x1﹣x2）2x+a2（y1﹣y2）2y=0∴∴b2x2+a2y2﹣b2cx=0（3）2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）故所求点P的轨迹方程为：b2x2+a2y2﹣b2cx=0（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x=，原点距l的距离为，由于c2=a2﹣b2，a2=1+cosq+sinq，b2=sinq（0＜q≤）则==2sin（+）当q=时，上式达到最大值．此时a2=2，b2=1，c=1，D（2，0），|DF|=1设椭圆Q：上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面积S=|y1|+|y2|=|y1﹣y2|设直线m的方程为x=ky+1，代入中，得（2+k2）y2+2ky﹣1=0由韦达定理得y1+y2=，y1y2=，4S2=（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=令t=k2+131，得4S2=，当t=1，k=0时取等号．©2010-2014菁优网

19菁优网www.jyeoo.com因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力．　22．（14分）（2006•江西）已知数列{an}满足：a1=，且an=（n≥2，n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！考点：数列递推式；数列与不等式的综合．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：（1）将条件变为：1﹣=，因此{1﹣}为一个等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）a1•a2•an=，为证a1•a2•an＜2•n！只要证n∈N*时有＞．再由数数归纳法进行证明．解答：解：（1）将条件变为：1﹣=，因此{1﹣}为一个等比数列，其首项为1﹣=，公比，从而1﹣=，据此得an=（n≥1）1°（2）证：据1°得，a1•a2•an=为证a1•a2•an＜2•n！©2010-2014菁优网

20菁优网www.jyeoo.com只要证n∈N*时有＞2°显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n∈N*，有≥1﹣（）3°用数学归纳法证明3°式：（1）n=1时，3°式显然成立，（2）设n=k时，3°式成立，即≥1﹣（）则当n=k+1时，≥〔1﹣（）〕•（）=1﹣（）﹣+（）≥1﹣（+）即当n=k+1时，3°式也成立．故对一切n∈N*，3°式都成立．利用3°得，≥1﹣（）=1﹣=1﹣＞故2°式成立，从而结论成立．点评：本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题中的隐含条件．　©2010-2014菁优网

21菁优网www.jyeoo.com参与本试卷答题和审题的老师有：wsj1012；jj2008；youyou；wdnah；wdlxh；qiss；geyanli；caoqz；wodeqing；sllwyn；lily2011；zhwsd；zlzhan；gongjy；涨停；yhx01248；ywg2058（排名不分先后）菁优网2014年10月4日©2010-2014菁优网