机械能习题课

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机械能习题课单个物体【例1】如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大?解析这里提供两种解法。解法一（利用E2=E1求解）：设铁链单位长度的质量为ρ，且选取初始位置铁链的下端A、B所在的水平面为参考平面，则铁链初态的机械能为 ,末态的机械能为  。根据机械能守恒定律有 E2=E1，即，解得铁链刚脱离滑轮时的速度。ABL/2L/2B’A’解法二（利用△Ek=－△Ep求解）：如图所示，铁链刚离开滑轮时，相当于原来的BB’部分移到了AA’的位置。重力势能的减少量 ，动能的增加量。根据机械能守恒定律有 △Ek=－△Ep，即，解得铁链刚脱离滑轮时的速度。点拨对于绳索、链条之类的物体，由于发生形变，其重心位置相对物体来说并不是固定不变的，能否确定重心的位置，常是解决该类问题的关键。可以采用分段法求出每段的重力势能，然后求和即为整体的重力势能；也可采用等效法求出重力势能的改变量。再有，利用△Ek=－△Ep列方程时，不需要选取参考平面，且便于分析计算。连续媒质的流动问题Ah图1【例2】如图1所示，一粗细均匀的U形管内装有同种液体竖直放置，右管口用盖板A密闭一部分气体，左管口开口，两液面高度差为h，U形管中液柱总长为4h，现拿去盖板，液柱开始流动，当两侧液面恰好相齐时，右侧液面下降的速度大小为多少？解析：将盖板A拿去后，右管液面下降，左管液面上升。系统的重力势能减少动能增加，当左右两管液面相平时势能最小，动能最大。设液体密度为ρ，液柱的截面积为S，液柱流动的最大速度为V，由机械能守恒定律得：，将，代入上式解得：

1与曲线运动相关【例3】如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，有一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。求物块初始位置相对圆形轨道底部的高度h的取值范围。设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒得物块在最高点受的力为重力mg、轨道压力N。重力与压力的合力提供向心力，有物块能通过最高点的条件是0由两式得由式得按题的要求，，由式得由式得h的取值范围是【例4】如下图所示，小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子，OB=y.初始时，小球A与O同水平面，无初速释放A，绳长为L.为使球能绕B点做圆周运动，求y的取值范围.【例5】甲乙两物体以相同的初速度v0从地面抛出,抛射角都是300，其中甲做斜上抛运动,乙沿斜角300

2的光滑斜面上滑，则两物体上升的最大高度是：（）A.甲上升的高度比乙大B.乙上升的高度比甲大C.甲和乙上升的高度相同D.无法判断O1O2BA【例6】两个质量相同的小球A、B分别用线悬在等高的O1、O2点，A球的悬线比B球的长，把两球的悬线均拉到水平后将无初速释放，则经最低点时（以悬点为零势能点）()A．A球的速度等于B球的速度B．A球的动能等于B球的动能C．A球的机械能等于B球的机械能D．A球受到悬线的拉力大于B球受到悬线的拉力同类题型：如图所示，一滑块从半圆形光滑轨道上端由静止开始滑下，当滑到最低点时，关于滑块动能大小和对轨道最低点的压力，下列结论正确的是             （    ）  A．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越大B．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力与半径无关  C．轨道半径不变，滑块动能越大，对轨道的压力越小  D．轨道半径变化时，滑块的动能和对轨道的压力都不变解析：由机械能守恒定律列式，由牛顿第二定律列式，由两式求解作出分析判断.滑块质量为m，沿半圆形光滑轨道下滑过程中，轨道对滑块的弹力不做功，只有重力做功，机械能守恒.设轨道半径为R，选过轨道最低点的水平面为零势能参考平面，滑块通过最低点时的速度为v，动能为Ek2，受轨道支持力为FN，则由机械能守恒定律得：①此式表明：轨道半径R越大，滑块动能Ek2就越大，速度v也越大.滑块经过最低点时，由牛顿第二定律得：②①②式联立解得轨道对滑块的弹力为FN=3mg再由牛顿第三定律可知，滑块对轨道的弹力大小与轨道对滑块的弹力大小等大反向，即滑块对轨道的压力大小为3mg，与轨道半径R的大小无关，方向向下.AOCB【例7】如图示，用长为L的细绳悬挂一个质量为m的小球，悬点O点，把小球拉至A点，使悬线与水平方向成30°角，然后松手，问：小球运动到悬点的正下方B点时，悬线中张力多大？【错解】从A到B全程使用动能定理有：mgL(1+sin30°)=mVB2①对B点由向心力公式T－mg=m②

3由①②两式解得：T=4mg【错解分析】此题是一道多过程试题，物体从A到C，然后再从C到B，两个过程，而在这两个过程的转折点C处，有内能产生，说明全过程并不是只有重力做功。【正解】在A点松手后，绳子将为松弛状态，所以小球在重力作用下作自由落体运动，当小球落到A点的正下方C点，OC=L时绳被拉紧，此时由于绳子的冲量作用，使小球沿绳方向的速度分量v2减为零，小球将以L为半径以v1为初速度从C开始做圆周运动，如图。因此，从A到B过程有机械能损失，机械能不守恒。本题应先求出球至C点时切向速度v1，再对CB段运动由动能定理求出vB，最后求绳中张力T。小球从A到C自由下落高度L，则vC=，其切向分量v1=vcos30°=小球由C运动到B，由动能定理:mgL(1－cos60°)=mv2B－mv21v1代入解得v2B=gL对B点由向心力公式T－mg=m，即T=mg.【例8】如图所示,光滑圆管形轨道AB部分平直,BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆,圆管截面半径r<(2)小球从C端出来瞬间,对管壁压力可以有三种典型情况:①刚好对管壁无压力,此时重力恰好充当向心力,由圆周运动知识mg=m.由机械能守恒定律,=mg2R+,联立解得v0=.②对下管壁有压力,此时应有mg>m,此时相应的入射速度v0应满足.组合体轻绳连接体问题【例9】如图所示,一固定的楔形木块,其斜面的倾角θ=30°,另一边与地面垂直,顶上有一定滑轮,一柔软的细绳跨过定滑轮,两端分别与物块A和B连结,A的质量为4m,B的质量为m.开始时将B按在地面上不动,然后放开手,让A沿斜面下滑而B上升.物块A与斜面间无摩擦.设当A沿斜面下滑s距离后,细绳突然断了,求物块B上升的最大高度H.

4解析:依题意有两段运动过程:绳断前,A、B组成的系统只有重力做功,机械能守恒,可求出绳断瞬间的v,绳断后,B做竖直上抛运动,由机械能守恒可求出上升的最大高度h.设A沿斜面下滑s时的速度为v,此时B的速度也为v,上升高度也是s.对A、B系统,机械能守恒,分别选取A、B位置变化的最低点为零势面,由E1=E2有解得：v2=0.4gS.绳断瞬间,B做竖直上抛,取绳断瞬间B处为零势面,由机械能守恒有得故物块B上升的最大高度为H=h+s=0.2s+s=1.2sAROCB【例10】如图所示,一根不可伸长的细绳,两端各拴有物体A和B,跨在一半径为R的光滑半圆柱面上,由图示位置从静止开始释放,要使物体B能沿半圆柱面通过顶点C,A、B两个物体的质量之比mA/mB应满足什么条件?解:由机械能守恒定律得①欲使B到达顶点C而不脱离柱面,柱面对B的弹力必须满足N≥0,设物体B到达顶点C而不脱离柱面的速度为vC,则故≤gR②将①式代入②式,注意到vC=v,有≤gR即≤③lABChl【例11】如图所示，质量均为m的小球A、B、C，用两条等长的轻绳相连，置于高为h的光滑水平桌面上，绳长为L，且L>h，A球刚好在桌边，设B球离开桌面后，在特殊装置的作用下，立即向下运动而不计能量损失，若A、B球着地后均不弹起，求C球离开桌边时的速度为多大？提示开始时，三球一起运动；A球着地后，B球与C球一起运动；B球着地后，C球单独运动。由于桌面是光滑的，C球离开桌边时的速度，应与B球着地时B、C两球的共同速度大小相等。

5解析设A球着地时的速度为v1，A、B、C三球与地球组成的系统机械能守恒，有,。设B球着地时的速度为v2，A球着地后，B、C两球与地球组成的系统机械能守恒，有，。所以，C球离开桌边时的速度为。点悟在应用机械能守恒定律分析多个物体的运动时，研究对象的选取至关重要。另外，上述求解过程采用了“系统减小的重力势能等于增加的动能”来列式，当然也可采用“系统末态的机械能等于初态的机械能”来列式。请同学们试着做一下，并将这两种解法作一比较。【例12】有一光滑水平板，板的中央有一小孔，孔内穿入一根光滑轻线，轻线的上端系一质量为M的小球，轻线的下端系着质量分别为m1和m2的两个物体，当小球在光滑水平板上沿半径为R的轨道做匀速圆周运动时，轻线下端的两个物体都处于静止状态（如下图）．若将两物体之间的轻线剪断，则小球的线速度为多大时才能再次在水平板上做匀速圆周运动？解析：该题用守恒观点和转化观点分别解答如下：解法一：（守恒观点）选小球为研究对象，设小球沿半径为R的轨道做匀速圆周运动的线速度为v0，根据牛顿第二定律有①当剪断两物体之间的轻线后，轻线对小球的拉力减小，不足以维持小球在半径为R的轨道上继续做匀速圆周运动，于是小球沿切线方向逐渐偏离原来的轨道，同时轻线下端的物体m1逐渐上升，且小球的线速度逐渐减小．假设物体m1上升高度为h，小球的线速度减为v时，小球在半径为（R＋h）的轨道上再次做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有②再选小球M、物体m1与地球组所的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体m1上升的过程，由于只有重力做功，所以系统的机械能守恒．选小球做匀速圆周运动的水平面为零势面，设小球沿半径为R的轨道做匀速圆周运动时m1到水平板的距离为H，根据机械能守恒定律有③以上三式联立解得解法二：（转化观点）与解法一相同，首先列出①②两式，然后再选小球、物体m1与地球组成的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体m1上升的过程，由于系统的机械能守恒，所以小球动能的减少量等于物体m1重力势能的增加量．即④①、②、④式联立解得

6点评：比较上述两种解法可以看出，根据机械能守恒定律应用守恒观点列方程时，需要选零势面和找出物体与零势面的高度差，比较麻烦；如果应用转化观点列方程，则无需选零势面，往往显得简捷．轻杆连接体问题BBCCA【例13】如图所示，长为l的轻杆AC可绕A端在竖直平面内无摩擦地转动，在C端和杆上的B处（AB=2/3l）各固定有质量均为m的小球，现将杆拉到水平位置后从静止释放，求：杆的C端到达最低位置时的速度和这一过程中杆的BC段对C球所做的功。[学生]在这个过程中小球C机械能是否守恒呢？[讲述]小球C机械能是否守恒，关键是杆BC对小球C的力是否沿杆方向。为此我们用绳替代杆来观察绳对球C的力[学生实验]用绳替代杆来观察绳对球C的力TVBVCT[学生]经过我们实验观察，我们发现，用绳替代杆后两小球不是同时到达最低位置，B比C先到。在下摆过程中BC间的绳与两小球速度不垂直，说明绳BC对B球做负功，对C球做正功。由此我们推知杆BC对B球的力与B球速度方向成钝角，杆对B球做负功；对C球的力与C球速度方向成锐角，杆对C球做正功。所以B球C球机械能都不守恒，但系统机械能守恒。解：两小球从水平位置到竖直位置的过程中系统机械能守恒。系统重力势能的减少等于系统动能的增加。BBCCALFFvv2L/3∵ωB=ωC而又V=ωR∴将代入（1）中，得[总结]机械能守恒定律在应用时同学们要注意它的两种表达形式：（1）初位置的机械能等于末位置的机械能物体（系统）重力势能的减少（增加）等于物体（系统）动能的增加（减少）答案：VC=分析：根据机械能守恒条件可知，由于杆BC分别对B作负功，对C作正功，因此，单独对B球或C球机械能不守恒，对B、C构成的系统，系统内只有两小球的重力做功，故系统的机械能守恒，选择在水平位置时h=0，则EF=0则：E1=Ep+EK=0E2=因为E1=E2所以又由于寄存定在杆上B、C点的小球做圆周运动具有相同的角速度，则VB:VC=rB:rC=2:3,即VB=代入上式同的角速度，则VB:VC=rB:rC=2:3，即VB=代入上式

7得VC=对C使用动能定理即可得【例14】如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动.开始时OB与地面相垂直.放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是A．A球到达最低点时速度为零B．A球机械能减少量等于B球机械能增加量C．B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度D．支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度【例15】一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B.支架的两直角边长度分别为2L和L，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示.开始时OA边处于水平位置，由静止释放，则（　　）A.A球的最大速度为2B.A球速度最大时，两小球的总重力势能最小C.A球速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45°D.A、B两球的最大速度之比vA∶vB=2∶1机械能守恒与速度关联【例16】如图所示，轻质长绳水平地跨在相距为2L的两个小定滑轮A、B上，质量为m的物块悬挂在绳上O点，O与A、B两滑轮的距离相等。在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F=mg。先托住物块，使绳处于水平拉直状态，由静止释放物块，在物块下落过程中，保持C、D两端的拉力F不变。（1）当物块下落距离h为多大时，物块的加速度为零？（2）在物块下落上述距离的过程中，克服C端恒力F做功W为多少？（3）求物块下落过程中的最大速度Vm和最大距离H？分析与解：物块向下先作加速运动，随着物块的下落，两绳间的夹角逐渐减小。因为绳子对物块的拉力大小不变，恒等于F，所以随着两绳间的夹角减小，两绳对物块拉力的合力将逐渐增大，物块所受合力逐渐减小，向下加速度逐渐减小。当物块的合外力为零时，速度达到最大值。之后，因为两绳间夹角继续减小，物块所受合外力竖直向上，且逐渐增大，物块将作加速度逐渐增大的减速运动。当物块下降速度减为零时，物块竖直下落的距离达到最大值H。当物块的加速度为零时，由共点力平衡条件可求出相应的θ角，再由θ角求出相应的距离h，进而求出克服C端恒力F所做的功。对物块运用动能定理可求出物块下落过程中的最大速度Vm和最大距离H。

8（1）当物块所受的合外力为零时，加速度为零，此时物块下降距离为h。因为F恒等于mg，所以绳对物块拉力大小恒为mg，由平衡条件知：2θ=120°，所以θ=60°，由图2-2知：h=L×tg30°=L　　　　　　　　　　　　　　　　[1]（2）当物块下落h时，绳的C、D端均上升h’，由几何关系可得：h’=-L[2]克服C端恒力F做的功为：W=F*h’　　　　　　　　　　　　　　[3]由[1]、[2]、[3]式联立解得：W=（-1）mgL（3）出物块下落过程中，共有三个力对物块做功。重力做正功，两端绳子对物块的拉力做负功。两端绳子拉力做的功就等于作用在C、D端的恒力F所做的功。因为物块下降距离h时动能最大。由动能定理得：mgh-2W=　　　　　　　[4]将[1]、[2]、[3]式代入[4]式解得：Vm=当物块速度减小为零时，物块下落距离达到最大值H，绳C、D上升的距离为H’。由动能定理得：mgH-2mgH’=0，又H’=-L，联立解得：H=。【例17】一轻绳通过无摩擦的定滑轮与在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2连接.已知定滑轮到杆的距离为m，物体m2由静止从AB连线为水平的位置开始下滑1m时，m1、m2恰受力平衡如图所示.试求：(1)m2在下滑过程中的最大速度.(2)m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.解析：(1)由图可知，随m2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m2在C点受力恰好平衡，因此m2从B到C的过程是加速过程，以后将做减速运动，所以m2的最大速度即出现在图示位置.对m1、m2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒.△E增=△E减，即m1υ21+m2υ22+m1g(-)sin30°=m2g·又由图示位置m1、m2受力平衡，应有：Tcos∠ACB=m2g,T=m1gsin30°.又由速度分解图知

9 υ1=υ2cos∠ACB,代入数值后可解得υ2=2.15m/s.(2)m2下滑距离最大时m1、m2速度为零，对整个过程应用机械能守恒定律，得△E′增=△E′减，即m1g(-)sin30°=m2gH.利用(1)中质量关系可求得m2下滑的最大距离为H=m=2.31m.说明该题综合运用了机械能守恒、受力平衡及速度分解等知识，其中正确表示出m1、m2速度间的关系是解决该题的关键.该题选用△E增=△E减表达式列方程，就避免了参考平面不好选取这样一个难点.与弹性势能相关【例18】如图，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为（m1＋m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g